1、 北京北京市市 2020 年高考年高考 6 月月 30 日日猜题卷（二）猜题卷（二） 数数 学学 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1.已知命题p：x R，e1 x ，那么命题 p的否定为（ ） A. 0 xR， 0 e1 x B.x R，e 1 x C. 0 xR， 0 e1 x D.x R，e 1 x 2.设集合 2 |340AxZ xx， 2 |e1 x Bx ，则AB=（ ） A. 1,0,1,2 B. 1,2) C. 1,0,1 D. 1,2 3.下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是（ ）
2、A. 3 ( )2xfx B. 1 2 ( )log |f xx C. 3 ( )3f xxx D. ( )sinf xx 4.已知 3 log2a ， 0.2 log0.3b ， 11 tan 3 c ，则a，b，c的大小关系是（ ） A. cba B. bac C. cab D. bca 5.为了宣传今年9月即将举办的“第十八届中国西部博览会”（简称“西博会”） ，组委会举办了 “西博会”知识有奖问答活动. 在活动中，组委会对会议举办地参与活动的1565岁市民进 行随机抽样，各年龄段人数情况如下： 组号 分组 各组人数 各组人数频率分布直方图 第1组 15,25) 10 第2组 25,35
3、) a 第3组 35,45) b 第4组 45,55) c 第5组 55,65 d 根据以上图表中的数据可知图表中a和x的值分别为（ ） A. 20，0.15 B. 15，0.015 C. 20，0.015 D. 15，0.15 6.已知向量(2,2 3)a ，若 16 3 a b ，则b在a上的投影是（ ） A. 3 4 B. 3 4 C. 4 3 D. 4 3 7.某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥中最长的棱的长度为（ ） A. 5 B. 3 C. 6 D. 2 3 8.已知ABC，则“sincosAB ”是“ABC是直角三角形”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
4、 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就， 它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是 由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记 n a为图中虚线上的数1,3,6,10,构成的数列 n a 的第n项，则 100 a的值为（ ） A. 5049 B. 5050 C. 5051 D. 5101 10.关于函数 2 ( )(1)exf xxax，有以下三个结论： 函数恒有两个零点，且两个零点之积为1； 函数的极值点不可能是1； 函数必有最小值. 其中正确结论的个数有（ ） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 二、填空题共 5
5、小题，每小题 5 分，共 25 分。 11.在 5 2 x x 的二项展开式中， 3 x的系数为_.（用数字作答） 12.已知复数z在复平面内对应的点位于第一象限，且满足| | 5z ， 6zz，则z的实部 为_，虚部为_. 13.设无穷等比数列 n a的各项为整数， 公比为q， 且| | 1q ， 132 2aaa， 写出数列 n a 的一个通项公式_. 14.在平面直角坐标系中，已知点(0,1)A， (1,1)B ，P为直线AB上的动点，A关于直线OP 的对称点记为Q，则线段BQ的长度的最大值是_. 15.关于曲线 22 :4C xxyy，给出下列三个结论： 曲线C关于原点对称，但不关于x
6、轴、y轴对称； 曲线C恰好经过 4个整点（即横、纵坐标均为整数的点） ； 曲线C上任意一点到原点的距离都不大于2 2. 其中，正确结论的序号是_. 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16.已知：函数 1 ( )cossin()(0) 64 f xxx ； 向量( 3sin,cos2)mxx， 11 ( cos, ) 24 nx，且0，( )f xm n； 函数 1 ( )sin(2)(0,) 22 f xx 的图象经过点 1 (, ) 6 2 请在上述三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知_，且函数 ( )f x的图象相邻两条对称轴之
7、间的距离为 2 . （1）若0 2 ，且 1 sin 2 ，求( )f的值； （2）求函数 ( )f x在0,2 上的单调递减区间. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 17.体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度T（单位：C）平均在 3637CC之间即为正常体温，超过37.1 C即为发热.发热状态下，不同体温可分成以 下三种发热类型： 低热：37.138T； 高热：3840T； 超高热 （有生命危险） ：40T . 某位患者因患肺炎发热，于 12 日至 26 日住院治疗. 医生根据病情变化，从 14日开始，以 3 天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消
8、炎退热. 住院期间，患者每天上午 8:00 服药，护士每天下午 16:00为患者测量腋下体温记录如下： （1）请你计算住院期间该患者体温不低于39 C的各天体温平均值； （2）在19日23日期间，医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊 项目“项目”的检查，记X为高热体温下做“ 项目”检查的天数，试求X的分布列与数学 期望； （3）抗生素治疗一般在服药后 2-8 个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到 消炎退热效果.假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗 效果最佳，并说明理由. 18.在四棱锥PABCD中，平面PAD 平面ABCD.底面ABC
9、D为梯形， /ABCD， ABAD，且1AB ，2PAADDC， 2 2PD . （1）求证：ABPD； （2）求二面角PBCD的余弦值； （3）若M是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行. 19.已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ， 过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于 A，B两点，当直线l与x轴垂直时， 3AB . （1）求椭圆C的标准方程； （2）当直线l与x轴不垂直时，在x轴上是否存在一点P（异于点F） ，使x轴上任意点到 直线PA，PB的距离均相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由. 20.已知函数 2 ( )e(
10、) x f xaxaR. （1）若曲线( )yf x在(1,(1)f处的切线与x轴平行，求a； （2）已知 ( )f x在0,1上的最大值不小于2，求a的取值范围； （3）写出 ( )f x所有可能的零点个数及相应的a的取值范围.（请直接写出结论） 21.已知集合 12 |( ,),0,1 ,1,2, (2) nni SX Xx xxxin n，对于 12 (,) n Aa aa n S， 12 ( ,) nn Bb bbS，定义A与B的差为 1122 (,) nn ABababab；A与B之间的距离为 1122 ( , )=+ nn d A Bababab. （1）若(0,1)AB，试写出所
11、有可能的A，B； （2）, , n A B CS ，证明：(,)( , )d AC BCd A B； （3）, , n A B CS ，( , ), ( ,), ( ,)d A B d A C d B C三个数中是否一定有偶数？证明你的结论. 北京北京市市 2020 年高考年高考 6 月月 30 日日猜题卷（二）猜题卷（二） 数数 学学 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1.已知命题p：x R，e1 x ，那么命题 p的否定为（ ） A. 0 xR， 0 e1 x B. x R，e 1 x C. 0 xR， 0 e1
12、x D. x R，e 1 x 【答案】A 【解析】原命题是全称命题， 命题p的否定是“ 0 xR， 0 e1 x ”. 故选：A. 2.设集合 2 |340AxZ xx， 2 |e1 x Bx ，则AB=（ ） A. 1,0,1,2 B. 1,2) C. 1,0,1 D. 1,2 【答案】C 【解析】由题意 2 |340| 141,0,1,2,3,4AxZ xxxZx ， 2 |e1|20|2 x Bxx xx x ， 则 1,0,1,2,3,4|21,0,1ABx x . 故选：C. 3.下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是（ ） A. 3 ( )2xfx B. 1 2 (
13、 )log |f xx C. 3 ( )3f xxx D. ( )sinf xx 【答案】C 【解析】对于 A， 3 ()2fxxf x ，不是奇函数，故 A 错误； 对于 B， 1 2 ()log |fxxf x ，所以 f x为偶函数不是奇函数，故 B 错误； 对于 C， 3 ()3fxxxf x ，所以 f x为奇函数；由 2 ()31fxx ，当 0,1x时，()0fx ，故 f x在0,1上单调递减，故 C 正确； 对于 D，由正弦函数的单调性可知，函数( )sinf xx在0,1上单调递增，故 D错误. 故选：C. 4.已知 3 log2a ， 0.2 log0.3b ， 11 t
14、an 3 c ，则a，b，c的大小关系是（ ） A. cba B. bac C. cab D. bca 【答案】A 【 解 析 】 由 对 数 函 数 的 单 调 性 可 知 33 log2log31a ， 0.20.2 0log0.3log0.21b， 由正切函数的性质得 112 tantan30 33 c ， 故01cba . 故选：A. 5.为了宣传今年9月即将举办的“第十八届中国西部博览会”（简称“西博会”） ，组委会举办了 “西博会”知识有奖问答活动. 在活动中，组委会对会议举办地参与活动的1565岁市民进 行随机抽样，各年龄段人数情况如下： 组号 分组 各组人数 各组人数频率分布直
15、方图 第1组 15,25) 10 第2组 25,35) a 第3组 35,45) b 第4组 45,55) c 第5组 55,65 d 根据以上图表中的数据可知图表中a和x的值分别为（ ） A. 20，0.15 B. 15，0.015 C. 20，0.015 D. 15，0.15 【答案】C 【解析】由题意可得总人数为 10 100 0.01 10 人，则100 0.02 1020a ， 由各组频率和为 1可得0.01 0.020.030.025101x，解得0.015x . 故选：C. 6.已知向量(2,2 3)a ，若 16 3 a b ，则b在a上的投影是（ ） A. 3 4 B. 3
16、4 C. 4 3 D. 4 3 【答案】D 【解析】由题意b在a上的投影为 2 2 16 4 3 3 22 3 a b a . 故选：D. 7.某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥中最长的棱的长度为（ ） A. 5 B. 3 C. 6 D. 2 3 【答案】B 【解析】将几何体还原在长方体中，如图，则该几何体即为ABCD， 可得最长棱为长方体的一条体对角线 22 2213AC . 故选：B. 8.已知ABC，则“sincosAB ”是“ABC是直角三角形”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】若sinco
17、sAB，则 2 AB 或 2 AB ，不能推出ABC是直角三角形； 若 2 A ，则sincosAB，所以ABC是直角三角形不能推出sincosAB; 所以“sincosA B”是“ABC是直角三角形”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 9.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就， 它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是 由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记 n a为图中虚线上的数1,3,6,10,构成的数列 n a 的第n项，则 100 a的值为（ ） A. 5049 B. 5050 C. 5051 D. 5101 【答案】B 【解析】由题意得 1 1a ， 2 312a ， 3
18、 6123a ， 4 101234a 观察规律可得 1 123 2 n n n an ， 所以 100 100 101 5050 2 a . 故选：B. 10.关于函数 2 ( )(1)exf xxax，有以下三个结论： 函数恒有两个零点，且两个零点之积为1； 函数的极值点不可能是1； 函数必有最小值. 其中正确结论的个数有（ ） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 【答案】D 【解析】由题意函数 2 ( )1 exf xxax的零点即为函数 2 1yxax的零点， 令 2 10xax ，则 2 40a，所以方程必有两个不等实根 1 x， 2 x，设 12 xx， 由韦达定
19、理可得 12 1x x ，故正确； 22 ( )2e1 e21 e xxx fxxaxaxxaxa ， 当1x 时， 11 ( )121 e20fxaae ，故1不可能是函数 ( )f x的极值 点，故正确； 令( )0fx 即 2 210xaxa ， 2 2 24180aaa， 设 2 210xaxa 的两个实数根为 3 x， 4 x且 34 xx， 则当 3 ,xx ， 4, xx时，( )0fx，函数( )f x单调递增， 当 34 ,xx x时，( )0fx，函数( )f x单调递减，所以 4 ()f x为函数极小值； 由知，当 1 ,xx 时，函数( )0f x ，所以当 3 ,xx
20、 时，( )0f x ， 又 (0) 0 x fe ，所以 3 0,x，所以 4 ()00f xf， 所以 4 ()f x为函数的最小值，故正确. 故选：D. 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 11.在 5 2 x x 的二项展开式中， 3 x的系数为_.（用数字作答） 【答案】80 【解析】由题意 5 2 x x 的通项公式为 55 2 155 2 2 r r rrrr r TC xCx x ， 令5 23r即4r ，则 4 4 5 280C. 故答案为：80. 12.已知复数z在复平面内对应的点位于第一象限，且满足| | 5z ， 6zz，则z的实部 为_，虚部为_.
21、 【答案】 (1). 3 (2). 4 【解析】设0,0zabi ab，则z abi ， 由 6zz 可得26a 即3a ， 则3zbi ，由| 5z 可得 22 35zb，解得4b， 所以34zi ，故z的实部为 3，虚部为 4. 故答案为：3，4. 13.设无穷等比数列 n a的各项为整数， 公比为q， 且| | 1q ， 132 2aaa， 写出数列 n a 的一个通项公式_. 【答案】 1* 2() n n anN （答案不唯一） 【解析】由题意可得数列首项 1 a、公比q均为整数， 由 132 2aaa可得 2 111 2aa qa q， 若 1 0a ，则 2 210qq 无解，不
22、合题意； 若 1 0a ，则 2 210qq ，解得1q . 所以数列 n a首项 1 0a . 所以数列 n a的通项公式可以为 1* 2() n n anN . 故答案为： 1* 2() n n anN （答案不唯一）. 14.在平面直角坐标系中，已知点(0,1)A， (1,1)B ，P为直线AB上的动点，A关于直线OP 的对称点记为Q，则线段BQ的长度的最大值是_. 【答案】 21 【解析】A关于直线OP的对称点记为Q，P为直线AB上的动点， OQOA，Q点轨迹为以O为圆心，OA为半径的圆（不包括点F） ，如图， 又 1 12OB ， max 221BQOA=+=+. 故答案为： 21
23、. 15.关于曲线 22 :4C xxyy，给出下列三个结论： 曲线C关于原点对称，但不关于x轴、y轴对称； 曲线C恰好经过 4个整点（即横、纵坐标均为整数的点） ； 曲线C上任意一点到原点的距离都不大于2 2. 其中，正确结论的序号是_. 【答案】 【解析】设 ,P a b为曲线上任意一点，则 22 4aabb， 设点P关于原点、x轴、y轴的对称点分别为,Qab、,M ab、,Na b， 因为 22 22 4aabbaabb ； 2 222 4aabbaabb ； 2 222 4aa bbaabb ； 所以点Q在曲线C上，点M、点N不在曲线C上， 所以曲线C关于原点对称，但不关于x轴、y轴对
24、称，故正确； 当0x 时，2y ；当0y ，2x . 此外，当2x 时，2y ；当2x 时，2y . 故曲线过整点0,2，0, 2，2,2，2, 2，2,0，2,0，故错误； 又 2 22 20xyxyxy，所以 22 2 xy xy 恒成立， 由 22 4xxyy可得 22 22 44 2 xy xyxy ，当且仅当x y 时等号成立， 所以 22 8xy，所以曲线上任一点到原点的距离 22 22xy ，故正确. 故答案为：. 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16.已知：函数 1 ( )cossin()(0) 64 f xxx ； 向量( 3s
25、in,cos2)mxx， 11 ( cos, ) 24 nx，且0，( )f xm n； 函数 1 ( )sin(2)(0,) 22 f xx 的图象经过点 1 (, ) 6 2 请在上述三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知_，且函数 ( )f x的图象相邻两条对称轴之间的距离为 2 . （1）若0 2 ，且 1 sin 2 ，求( )f的值； （2）求函数 ( )f x在0,2 上的单调递减区间. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案不唯一 【解析】方案一：选条件 因为 1 ( )cossin() 64 f xxx 1 cos(sincoscossi
26、n) 664 xxx 2 311 sincoscos 224 xxx 31 sin2cos2 44 xx 131 (sin2cos2) 222 xx 1 sin(2) 26 x ， 又 2 2 T ，所以1，所以 1 ( )sin(2) 26 f xx . 方案二：选条件 因为( 3sin,cos2)mxx， 11 ( cos, ) 24 nx， 所以 311 ( )sincoscos2sin(2) 2426 f xm nxxxx . 又 2 2 T ，所以1，所以 1 ( )sin(2) 26 f xx . 方案三：选条件 由题意可知， 2 2 T ，所以1，所以 1 ( )sin(2) 2
27、 f xx. 又因为函数 ( )f x图象经过点 1 (, ) 6 2 ，所以 11 sin(2) 226 . 因为| 2 ，所以 6 ，所以 1 ( )sin(2) 26 f xx . （1）因为0 2 ， 1 sin 2 ，所以 6 . 所以 11 ( )()sin 6222 ff （2）由 3 222, 262 kxkkZ ， 得 2 , 63 kxkkZ ， 令0k ，得 2 63 x ，令1k ，得 75 63 x ， 所以函数 ( )f x在0,2 上的单调递减区间为 2 , 63 ， 75 , 63 . 17.体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度T（单位：C）平均
28、在 3637CC之间即为正常体温，超过37.1 C即为发热.发热状态下，不同体温可分成以 下三种发热类型： 低热：37.138T； 高热：3840T； 超高热 （有生命危险） ：40T . 某位患者因患肺炎发热，于 12 日至 26 日住院治疗. 医生根据病情变化，从 14日开始，以 3 天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热. 住院期间，患者每天上午 8:00 服药，护士每天下午 16:00为患者测量腋下体温记录如下： （1）请你计算住院期间该患者体温不低于39 C的各天体温平均值； （2）在19日23日期间，医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊 项目“项
29、目”的检查，记X为高热体温下做“ 项目”检查的天数，试求X的分布列与数学 期望； （3）抗生素治疗一般在服药后 2-8 个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到 消炎退热效果.假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗 效果最佳，并说明理由. 【答案】 （1）39.55 C； （2）分布列见解析， 6 () 5 E X ； （3）答案不唯一，给出合理理由 即可. 【解析】 （1）由表可知，该患者共 6 天的体温不低于39 C，记平均体温为x， 1 (39.439.740.1 39.939.2+39.0)39.55 C 6 x . 所以，患者体温不低于39 C的各
30、天体温平均值为39.55 C. （2）X的所有可能取值为0，1，2. 30 32 3 5 1 (0) 10 C C P X C ， 21 32 3 5 63 (1) 105 C C P X C ， 12 32 3 5 3 (2) 10 C C P X C . 则X的分布列为： X 0 1 2 P 1 10 3 5 3 10 所以 1336 ()012 105105 E X . （3）“抗生素 C”治疗效果最佳可使用理由： “抗生素 B”使用期间先连续两天降温 1.0C又回升 0.1C，“抗生素 C”使用期间持续降温 共计 1.2C，说明“抗生素 C”降温效果最好，故“抗生素 C”治疗效果最佳.
31、 抗生素 B”治疗期间平均体温 39.03C，方差约为0.0156；“抗生素 C”平均体温 38C， 方差约为0.1067，“抗生素 C”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果 明显，故“抗生素 C”治疗效果最佳. “抗生素 B”治疗效果最佳可使用理由： 自使用“抗生素 B”开始治疗后， 体温才开始稳定下降， 且使用“抗生素 B”治疗当天共降温 0.7 C，是单日降温效果最好的一天，故“抗生素 B”治疗效果最佳. 18.在四棱锥PABCD中，平面PAD 平面ABCD.底面ABCD为梯形， /ABCD， ABAD，且1AB ，2PAADDC， 2 2PD . （1）求证：ABPD；
32、 （2）求二面角PBCD的余弦值； （3）若M是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行. 【答案】 （1）见解析； （2） 6 6 ； （3）见解析 【解析】 （1）证明：因为平面ABCD 平面PAD， 平面ABCD平面PADAD， AB平面ABCD， ABAD， 所以AB 平面PAD， 又因为PD 平面PAD， 所以ABPD. （2）因为2PAAD， 2 2PD ，所以PAAD. 由（1）得AB 平面PAD，所以ABPA， 故AB，AD，AP两两垂直. 如图，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为 , ,x y z轴， 建立空间直角坐标系Axyz， 则(0,0,2
33、)P，(1,0,0)B，(2,2,0)C，(0,2,0)D. 因为PA 平面BCD，所以平面BCD的一个法向量是(0,0,1)n . 而 (1,0, 2)PB uur ，(2,2, 2)PC ， 设平面PBC的一个法向量为( , , )mx y z， 则由 0, 0, m PB m PC 得 20 2220 xz xyz 取1z ，有(2, 1,1)m ， 所以 16 cos, 66 n m n m n m . 由题知，二面角PBCD为锐角，所以二面角PBCD的余弦值为 6 6 . （3）证明：假设棱BC上存在点F，/ /MFPC，设,0,1BFBC. 依题意，可知(0,0,1)M，(1,2,
34、0)BC ，(1,2 ,0)F， 所以(1,2 , 1)MF，(2,2, 2)PC ，设MFPC， 根据假设，有 12 22 12 ，而此方程组无解，故假设错误，问题得证. 19.已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ， 过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于 A，B两点，当直线l与x轴垂直时， 3AB . （1）求椭圆C的标准方程； （2）当直线l与x轴不垂直时，在x轴上是否存在一点P（异于点F） ，使x轴上任意点到 直线PA，PB的距离均相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1） 22 1 43 xy ； （2）存在点 (4,0)P 【
35、解析】 （1）由题意得 2 222 2 3, 1 , 2 b a c a abc ，解得:2a ， 3b ，1c . 所以椭圆的标准方程为： 22 1 43 xy . （2） 依题意， 若直线l的斜率不为零， 可设直线:1(0)l xmym， 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy. 假设存在点P，设 0 (,0)P x，由题设， 0 1x ，且 01 xx， 02 xx. 设直线PA，PB的斜率分别为 1 k， 2 k， 则 1 1 10 y k xx ， 2 2 20 y k xx . 因为 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy在1xmy上， 故 11 1xmy， 2
36、2 1xmy， 而x轴上任意点到直线PA，PB距离均相等等价于“PF平分APB”， 继而等价于 12 0kk. 则 12 12 1020 yy kk xxxx 1221012 1020 () ()() x yx yxyy xxxx 12012 1020 2(1)() 0 ()() my yxyy xxxx . 联立 22 1 43 1 xy xmy ，消去x得： 22 (34)690mymy， 有 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y m . 则 00 12 22 10201020 1866246 0 (34)()()(34)()() mmmxmmx kk mxxx
37、xmxxxx ， 即 0 40mmx，故 0 4x 或 0m （舍）. 当直线l的斜率为零时，(4,0)P也符合题意. 故存在点(4,0)P，使得x轴上任意点到直线PA，PB距离均相等. 20.已知函数 2 ( )e() x f xaxaR. （1）若曲线( )yf x在(1,(1)f处的切线与x轴平行，求a； （2）已知 ( )f x在0,1上的最大值不小于2，求a的取值范围； （3）写出 ( )f x所有可能的零点个数及相应的a的取值范围.（请直接写出结论） 【答案】 （1） e 2 a ； （2）(,e2； （3）见解析 【解析】 （1）因为 2 ( )e() x f xaxaR，故(
38、)e2 x fxax. 依题意(1)e20fa ，即 e 2 a . 当 e 2 a 时， e (1)0 2 f，此时切线不与x轴重合，符合题意， 因此 e 2 a . （2）当0,1x时， ( )f x最大值不小于 2 2 ( )e2 x f xax在0,1x上有解， 显然0x 不是解，即 2 e2 x a x 在 (0,1x上有解， 设 2 e2 ( ) x g x x ， (0,1x， 则 3 e2e4 ( ) xx x g x x . 设( )e2e4 xx h xx ，(0,1x， 则( )e (1)0 x h xx. 所以( )h x在(0,1单调递减， ( )(1)40h xhe
39、， 所以( )0g x ，所以( )g x在(0,1单调递增， 所以 max ( )(1)2g xge. 依题意需2ae ， 所以a的取值范围为(,e2. （3）当0a 时，( )yf x有 0个零点；当 2 e 0 4 a时， ( )yf x有 1 个零点 当 2 e 4 a 时， ( )yf x有 2 个零点；当 2 e 4 a 时， ( )yf x有 3 个零点. 21.已知集合 12 |( ,),0,1 ,1,2, (2) nni SX Xx xxxin n，对于 12 (,) n Aa aa n S， 12 ( ,) nn Bb bbS，定义A与B的差为 1122 (,) nn AB
40、ababab；A与B之间的距离为 1122 ( , )=+ nn d A Bababab. （1）若(0,1)AB，试写出所有可能的A，B； （2）, , n A B CS ，证明：(,)( , )d AC BCd A B； （3）, , n A B CS ，( , ), ( ,), ( ,)d A B d A C d B C三个数中是否一定有偶数？证明你的结论. 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）一定有偶数，理由见解析 【解析】 （1）由题意可得，所有满足要求的A，B为： 0,0A，0,1B ； 0,1A，0,0B ； 1,0A，1,1B ； 1,1A，1,0B . （2）证明
41、：令 12 (,) n Aa aa， 12 ( ,) n Bb bb， 12 ( ,) n Cc cc， 对1,2,in， 当0 i c 时，有 iiiiii acbcab； 当1 i c 时，有1(1) iiiiiiii acbcabab . 所以(,)d AC BC 11112222nnnn acbcacbcacbc 1122 ( , ) nn abababd A B. （3）A，B， n CS，( , )d A B，( ,)d A C，( ,)d B C三个数中一定有偶数. 理由如下： 设 12 (,) n Aa aa， 12 ( ,) n Bb bb， 12 ( ,) nn Cc ccS， ( , )d A Bk，( ,)d A Cl，( ,)d B Ch， 记0(0,0,0) n S，由（2）可知: ( , )(,)(0,)d A Bd AA BAdBAk， ( ,)(,)(0,)d A Cd AA CAdCAl，( ,)(,)d B Cd BA CAh， 所以(1,2, ) ii bain中 1的个数为k，(1,2, ) ii cain中 1的个数为l. 设t是使1 iiii baca成立的i的个数，则2hlkt . 由此可知，k，l，h三个数不可能都是奇数， 即 ( , )d A B，( ,)d A C，( ,)d B C三个数中一定有偶数.
