1、江苏省普通高校“专转本”统一考试模拟试卷（一）解析高等数学注意事项：1.考生务必将密封线内的各项填写清楚。2.考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，写在草稿纸上无效。3.本试卷五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟。一、 选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。1、是的（ ）A、可去间断点B、跳跃间断点 C、第二类间断点 D、连续点2、若是函数的可导极值点，则常数（ ）A、B、 C、 D、3、若，则（ ）A、B、 C、 D、4、设区域是平面上以点、为顶点的三角形区域，区域是在第一象限的部
2、分，则：（ ）A、B、C、D、05、设，则下列等式成立的是（ ）A、B、C、D、6、正项级数(1) 、(2) ，则下列说法正确的是（ ）A、若（1）发散、则（2）必发散 B、若（2）收敛、则（1）必收敛C、若（1）发散、则（2）不定D、若（1）、（2）敛散性相同二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上）。7、 8、函数在区间上满足拉格朗日中值定理的 9、 10、设向量、；且、互相垂直，则 11、交换二次积分的次序 12、幂级数的收敛区间为 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）。13、设函数 在内连续，并满足：、，求。14、设函数由方程所确定，
3、求、。15、计算。16、计算。17、已知函数，其中有二阶连续偏导数，求、。18、求过点且通过直线的平面方程。19、将函数展开为的幂级数，并写出它的收敛区间。20、求微分方程满足的特解。四、证明题（每小题9分，共18分）21、证明方程：在上有且仅有一根。22、设其中函数在处具有二阶连续导数，且，证明：函数在处连续且可导。五、综合题（每小题10分，共20分）23、已知曲边三角形由、所围成，求：（1）、曲边三角形的面积；（2）、曲边三角形饶轴旋转一周的旋转体体积。 24、设为连续函数，且，（1）、交换的积分次序；（2）、求。江苏省2012年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷解析（一）高等数学一、 选
4、择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。1、是的（ ）A、可去间断点B、跳跃间断点 C、第二类间断点 D、连续点解析：函数在处连续的定义为。实际上包含三个条件（1） 函数在处必须有定义；（2） 函数在处的极限存在；（3） 函数在处的极限值必须等于函数值；当上述三个条件不全满足时的点即为函数的间断点。而初等函数在定义区间之内均是连续的，所以，没有定义的点一定是间断点，分段函数的分段点是可能的间断点。根据点处的极限情况来加以分类：而，即函数在处没有定义，但左右极限均存在且相等，故本题答案选A2、若是函数的可导
5、极值点，则常数（ ）A、B、 C、 D、解析：该题考察函数极值点的必要条件，若处可导且为极值点，则 故本题，即，于是，故本题答案选C3、若，则（ ）A、B、 C、 D、解析：该题考察不定积分的基本概念以及凑微分法。求的不定积分就是找那些导数为的所有函数全体，不定积分求解正确与否，只要反过来求导是否为被积函数即可。故本题答案选D4、设区域是平面上以点、为顶点的三角形区域，区域是在第一象限的部分，则：（ ）A、B、C、D、0解析：该题考察函数奇偶性（对称性）的二重积分在对称区域上的积分性质。设积分区域关于 轴对称，(1) 若关于是奇函数，则有(2) 若关于是偶函数，则有其中是的上半区域。类似的，若
6、积分区域关于轴对称，(1) 若关于是奇函数，则有(2) 若关于是偶函数，则有其中是的右半区域。oxy故本题答案选A5、设，则下列等式成立的是（ ）A、B、C、D、解析：该题考察二元显函数偏导数的求法，偏导数的本质就是将其中一个变量当作常量对另一个变量的导数。，即，故本题答案选A6、正项级数(1) 、(2) ，则下列说法正确的是（ ）A、若（1）发散、则（2）必发散 B、若（2）收敛、则（1）必收敛C、若（1）发散、则（2）不定D、若（1）、（2）敛散性相同解析：该题考察正项级数的收敛性质，比较审敛法。若正项级数收敛，则一定收敛，因为当足够大时，由比较审敛法知收敛。若正项级数发散，则的敛散性不能
7、确定。如与。（请读者自行验证）故本题答案选C (其它选项可以举反例)二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上）。7、 ；解析：求极限时，先判断极限类型，若是或型可以直接使用罗比达法则，其余类型可以转化为或型。罗比达法则求极限的好处主要有两方面，一是通过求导降阶，二是通过求导将难求极限的极限形式转变为容易求极限的形式。不过，在求极限时应灵活使用多种方法，特别是无穷小量或是无穷大量阶的比较，使用等价无穷小或是等价无穷大的目的是将函数转换为幂的形式，方便判别阶数。 8、函数在区间上满足拉格郎日中值定理的 ；解析：在江苏省“专转本”考试中，微分中值定理考察的层次为
8、识记与理解。主要考察罗尔定理与拉格朗日定理的条件与结论，定理的条件是充分的，但不必要。若遇到证明至少存在一点的表达式，特别是带有导数的，一般都是利用罗尔定理构造辅助函数证明。，即 又，所以于是，得。9、 ；解析：该题考察奇偶函数的定积分在对称区间上的积分性质。10、设向量、；、互相垂直，则 ；解析：该题考察向量的基本运算数量积运算。两向量数量积为对应分量乘积之和，结果是一个数量。两向量垂直的充要条件是数量积为0。（平行的充要条件是向量积为0向量或分量对应成比例）由条件，得。11、交换二次积分的次序 ；解析：二重积分问题是很多“专转本”同学的难点。首先要理解二重积分的几何意义，特别是对称型简化积
9、分计算。在直角坐标系下，首先要画出积分区域，然后根据被积函数的特点与区域的形状选择适当的积分顺序。积分区域 转化为故。12、幂级数的收敛区间为 ；解析：对于幂级数，如果，则收敛半径，收敛区间为。若幂级数缺少的奇次项（偶次项）或上述极限不存在（不是无穷），则此时将当作常量转化为常数项级数处理。本题，所以，收敛区间为。对于幂级数只需作变量代换即可。三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）。13、设函数 在内连续，并满足：、，求。解析：分段函数在分段点处的极限、连续性与可导性，若分段点的左右两侧的表达式互不相同，则必须使用定义左右分别讨论。本题只需按照连续性定义讨论即可。在连续，等价于，也
10、即 解得。14、设函数由方程所确定，求、。解析：由参数方程所确定函数的导数是常考的一个内容，首先需要熟记一阶导公式：（各自对参数导数的比值），（将当作中间变量，本质为复合函数求导）；。15、计算。解析：该题考察三角函数的积分，熟记三角函数公式，常用导数公式。16、计算。解析：该题考察定积分的分部积分，注意的选择。当被积函数为五种基本初等函数中某两类不同类型函数的乘积时，一般采用分部积分法，关键是的选择，一般按照“反（三角函数）、对（数函数）、幂（函数）、三（角函数）、指（数函数）”的优先顺序选择，另外部分凑成某个函数的微分（那个函数即为）原式17、已知函数，其中有二阶连续偏导数，求、。解析：该
11、题型是几乎每年必考，需要认真掌握。第一步：变量的关系网络图其中1，2分别表示第二步：寻找与对应的路径，计算的过程可以总结为“路中用乘，路间用加”，18、求过点且通过直线的平面方程。解析：求平面方程，基本方法是使用点法式，求出平面上的一个定点和法向量。平面上的定点已知，又直线过点，其方向向量法向量，；故平面点法式方程为： ，即。19、把函数展开为的幂级数，并写出它的收敛区间。解析：函数展开成幂级数是很多同学在解题时遇到的一个很棘手的问题，大家普遍反映这个很难。此处给予较详细的讲解；函数展开成幂级数，一种是在展开，展开成形如的幂级数。 还有一种是在展开，展开成形如的幂级数其中展开成形如的幂级数是最
12、基本的，解题之前，需熟记下列常用展开式（1） （2） 将上式中换成，则上式变为 因为，对上式两边积分可得的幂级数展开式（3） （4） 因为，对上式两边关于求导可到下式（5） 综上，对于需要熟记的几个常用的初等函数的幂级数展开式，如果学得灵活，只需熟记（1）、（2）、（4）即可。其他的可通过积分或是求导的方法得到。如果以上五个函数需要展开成形如的幂级数，只需将式子中的换成例如：将函数展开成幂级数，首先是将需要展开的函数分解为以上五个函数的形式，然后使用已有的函数展开式。解法：，收敛域为。这里用到 关于函数展开成幂级数的几点说明：1、 函数展开成幂级数，首先需要将函数通过分解，拼凑，求导或是积分等
13、手段转化为上面给出的五个函数的展开式的形式。例如：将函数展开成关于的幂级数。首先需要转化，转化方法多样。 以上转化的一些函数都可以展开为幂级数，只是通过求导或是积分转化的较麻烦，还需再积分或是求导，得到原来函数的幂级数展开式。例如：将函数展开成关于的幂级数。首先需要转化，因为已有的展开式为中的需要变为1，也即需要单位化，可提取，即转化为例如：将函数展开成关于的幂级数。 将上式中的换为，即得的幂级数展开式。再由关系式可得幂级数展开式。函数展开成幂级数，还可对展开式两边乘、除以某些项，但必须使得最后结果仍然是幂级数。例如：将函数展开成关于的幂级数。只需将两边同乘即可。例如：将函数展开成关于的幂级数
14、，只需在的展开式两边同除以即可。2、 求函数的幂级数展开式，大家需要认识到，幂级数是表示函数的一种方法，既然幂级数本质上是函数，那么，就需要求函数的定义域，也即幂级数的收敛域。20、求微分方程满足的特解。解析：解微分方程首先要判别类型，该方程是一阶线性非齐次方程。标准形式：，其通解为微分方程化为，通解为因为，所以，故特解为。另外，有时需将变量和对调位置，化为。其通解为 四、证明题（每小题9分，共18分）21、证明方程：在上有且仅有一根。解析：证明方程在某区间上根的个数问题，先证根的存在性，一般用零点定理（若与导数有关，有时可以用罗尔定理），结合单调性考察。证明：令，且，由连续函数零点定理知，在
15、上至少有一实根；又，当时，即单调递减，综上，方程在上有且仅有一根。22、设其中函数在处具有二阶连续导数，且，证明：函数在处连续且可导。解析：分段函数在分段点处的极限、连续性与可导性，若分段点的左右两侧的表达式互不相同，则必须使用定义左右分别讨论。本题只需按照连续性、可导性定义讨论即可。在连续，等价于，也即，连续性得证；，可导性得证。五、综合题（每小题10分，共20分）23、已知曲边三角形由、所围成，求：（1）、曲边三角形的面积；（2）、该曲边三角形绕轴旋转一周的旋转体体积。 解析：该类题型是定积分应用中常考的题型，但是近两年在该知识点常出综合题。结合微分方程，极限等知识点出题。（1）；（2）。24、设为连续函数，且，（1）、交换的积分次序；（2）、求。解析：二重积分问题是很多“专转本”同学的难点。首先要理解二重积分的几何意义，特别是对称型简化积分计算。在直角坐标系下，首先要画出积分区域，然后根据被积函数的特点与区域的形状选择适当的积分顺序。积分区域为：，（1）；（2），。
