1、二面角的求解【方法总结】二面角A-BC-D的求法：1、先确定两个平面，面ABC及面BCD和其两面的交线BC，根据题意过点A或点D作交线BC的垂线（一般情况选择在等腰三角形中作垂线AB=AC时，或者在直角三角形中作垂线BAC=900时，应该过点A作BC垂线）；2、1)反连OD，证明ODBC；2）若OD不垂直于BC，看面BCD内是否有与交线BC垂直的直线，若有直线lBC，则直接过点O作l的平行线；3、若两个平面上没有对应的等腰三角形则看两平面是否有垂直于交线BC的直线若有可将两垂线平移至相交直线，求其夹角。【巩固练习】1、在长方体中，若，则二面角的大小为（ ）ABCD【答案】A【解析】如图所示，
2、，取的中点，连接., 为等腰三角形，, ，则是二面角的平面角，直角三角形中，,故选A.2已知矩形的两边，平面，且，则二面角的正切值为（ ）ABCD【答案】B【解析】如图所示，在平面内，过作的垂线，垂足为，连接，因为平面， 平面，所以，因为， ，故平面，因为平面，故，所以为的平面角，在直角三角形中， ，故，故，故选B.3如图，已知，是的中点，沿直线将翻折成，所成二面角的平面角为，则A. B. C. D. B【解析】解法一 设，则由题意知在空间图形中，连结，设=在中，过作，过作，垂足分别为过作，使四边形为平行四边形，则，连结，则就是二面角的平面角，所以在中，同理，故显然平面，故在中，在中，=，所以
3、，所以（当时取等号），因为，而在上为递减函数，所以，故选B解法二 若，则当时，排除D；当时，排除A、C，故选B4、如图，在直棱柱中，则二面角的平面角的正弦值为_.【答案】【解析】过作交于，过作,交于，连接.由于三棱柱为直三棱柱，故，所以平面，所以，因此平面，所以.故是二面角的平面角的补角，由于，故.在直角三角形中，.5如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，则二面角的大小为_.【答案】.【解析】由题意，四棱锥中，底面是边长为的正方形，所以，所以，所以，同理，因为，所以平面，则，又，且，所以平面，则，所以为二面角的平面角，在中，所以，所以二面角的大小为.6、如图，已知在直四棱柱中，（1
4、）求证：平面；（2）求二面角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）设是的中点，连结，则四边形为正方形，故，即又，平面，（2）由（I）知平面，又平面，取的中点, 连结，又，则取的中点，连结，则,.平面为二面角的平面角连结，在中，取的中点，连结，在中，.二面角的正弦值为7、已知四棱柱的底面为菱形，平面，.（1）证明：平面；（2）求钝二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：连接交于点，易知为中点，为中点，在中，平面，平面，平面.（2）平面，且为的中点，平面且，平面，如图，建立空间直角坐标系.易得：，设平面的一个法向量为，则，令，得，.同理可得平面的一个
5、法向量为，钝二面角的余弦值为.8、如图，在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且DAB=60，,PB=2，E，F分别是BC,PC的中点（）证明：AD平面DEF；（）求二面角P-AD-B的余弦值【解析】法一：（）证明：取AD中点G，连接PG，BG，BD因PA=PD，有，在中，有为等边三角形，因此，所以平面PBG又PB/EF，得，而DE/GB得AD DE，又，所以AD 平面DEF。（），为二面角PADB的平面角，在，在，9、如图，在五面体中，四边形是正方形，平面，=1，=，45（）求异面直线与所成角的余弦值；（）证明平面；（）求二面角的正切值【解析】（）因为四边形是正方形，所以/.故为异
6、面直线与所成的角.因为平面，所以.故.在中，=1，=，=3,故=.所以异面直线和所成角的余弦值为.（）证明：过点作/,交于点，则.由,可得,从而,又,=,所以平面.()解：由（）及已知，可得=，即为的中点.取的中点，连接，则,因为/,所以/.过点作，交于，则为二面角-的平面角。连接，可得平面,故.从而.由已知，可得=.由/,得.在中，,所以二面角-的正切值为10、如图，在四棱锥中，底面，是边长为的正方形且，点是的中点（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）由题意，底面是正方形，.底面，平面，.，平面.平面，.又，点是的中点，平面.平面，；（
7、2）法：由题知、两两垂直，以、为、轴建立空间直角坐标系则，则，平面，则是平面的一个法向量，由（1）知平面，是平面的一个法向量，且，因此，平面与平面所成锐二面角的大小等于；法二：过引直线，使得，则，平面，平面，就是平面与平面所成二面角的棱由条件知，已知，则平面由作法知，则平面，所以，就是平面与平面所成锐二面角的平面角在中，平面与平面所成锐二面角的大小等于11如图，在四棱锥中，底面为矩形，为等边三角形，且平面平面.为的中点，为的中点，过点，的平面交于.（1）求证：平面；（2）若时，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）为矩形，平面，平面平面.又因为平面平面，.为中点，为
8、中点，所以平行且等于，即四边形为平行四边形所以，平面，平面所以平面（2）不妨设，.因为为中点，为等边三角形，所以，且 ，所以有平面，故因为平面平面平面，又，平面，则延长交于点，过点作交直线于点，由于平行且等于，所以为中点，由于，所以平面，则，所以即为二面角的平面角在中，所以，所以.12如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，（1）求证：平面PAC（2）若，求二面角的正切值【答案】（1）详见解析（2）【解析】（1）平面ABCD，在底面菱形ABCD中，平面PAC（2）过点A作CD延长线的垂线，系足为E，连接PE，平面PAE，则是二面角的平面角在菱形ABCD中，13如图，在三棱柱中，平面
9、ABC，EF分别为，的中点，D为上的点，且（1）求证：平面ABC（2）求证：平面平面（3）若三棱柱所有棱长都为a，求二面角的平面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）证明：因为分别为，的中点，所以，又平面，平面，故 平面 （2）平面，平面，平面平面（3）此时，D为的中点过点D作垂线，垂足为H连接，平面，则是二面角的平面角，故二面角的平面角的余弦值为.14在三棱锥中，且,（1）证明：；（2）求二面角的大小【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）因为，所以平面，因为平面，故，因为，故平面，因为平面，故.（2），是侧面与底面所成二面角的平面角在中，故，在中，因为，
10、即侧面与底面所成二面角的平面角的大小为15如图所示，是正三角形，线段和都垂直于平面，设，且为的中点（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的较小二面角的大小【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）如图所示，取的中点，连接.，.又，.四边形为平行四边形故.平面，平面，平面.（2）延长交的延长线于，连.由，知，为的中点，又为的中点，.又平面，平面.为所求二面角的平面角在等腰直角三角形中，易求.故所求二面角的大小为.16如图，四边形是直角梯形，又，直线与直线所成的角为.（1）求证：平面平面；（2）求二面角平面角正切值的大小.【答案】（1）见解析；（2）【解析】证明：，平面，平面，又平面，平面平面（2）取的中点，则，连接，.，从而平面，直线与直线所成的角为，在中，由余弦定理得，在中，作于，由平面，为二面角的平面角，在中，可得，在中，.17如图所示，在四棱锥中，底面是棱长为2的正方形，侧面为正三角形，且面面，分别为棱的中点 （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值【答案】(1)见证明；(2) 【解析】（1）证明：取PD中点G，连结为的中位线，且， 又且，且，EFGA是平行四边形，则， 又面，面， 面； （2）解：取AD中点O，连结PO， 面面，为正三角形，面，且， 连交于，可得，则，即 连，又，可得平面，则， 即是二面角的平面角， 在中，即二面角的正切值为
