1、2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定一、基础达标1下列说法中正确的个数是()若直线l与平面内一条直线垂直，则l.若直线l与平面内两条直线垂直，则l；若直线l与平面内两条相交直线垂直，则l；若直线l与平面内任意一条直线垂直，则l；若直线l与平面内无数条直线垂直，则l.A1 B2 C3 D4答案B解析对，均不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的正确的是，故选B.2已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A有且只有一个 B至多一个C有一个或无数个 D不存在答案B解析若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有
2、一个，否则不存在3(2014淮北高一检测)线段AB的长等于它在平面内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面所成的角为()A30 B45C60 D120答案C解析如图，AC，ABB，则BC是AB在平面内的射影，则BCAB，所以ABC60，它是AB与平面所成的角4空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A垂直且相交 B相交但不一定垂直C垂直但不相交 D不垂直也不相交答案C解析取BD中点O，连接AO，CO，则BDAO，BDCO，BD面AOC，BDAC，又BD、AC异面，选C.5已知ABC所在平面外一点P到ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是ABC的_答案外心
3、解析P到ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到ABC三顶点的距离都相等，所以是外心6(2014舟山高一检测)如图所示，PA平面ABC，ABC中BCAC，则图中直角三角形的个数有_答案4解析BC平面PACBCPC，直角三角形有PAB、PAC、ABC、PBC.7在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：A1C平面BC1D.证明如图，连接AC，所以ACBD.又BDA1A，ACAA1A，AC，A1A平面A1AC，BD平面A1AC.A1C平面A1AC，BDA1C.同理可证BC1A1C.又BDBC1B，BD，BC1平面BC1D，A1C平面BC1D.二、能力提升8(2014青岛高一检测)如图
4、，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A. B.C. D.答案D解析如右图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，连接A1C1、B1D1，交于O点，连接OB，由已知A1B1C1D1是正方形，A1C1B1D1.又BB1平面A1B1C1D1，OC1平面A1B1C1D1，OC1BB1.而BB1B1D1B1，OC1平面BB1D1D.OB是BC1在平面BB1D1D内的射影C1BO是BC1与平面BB1D1D所成的角在正方形A1B1C1D1中，OC1A1C1.在矩形BB1C1C中，BC1.sinC1BO.9在正方体ABCDA1B1C1D1中，
5、E为A1B1的中点，则AE与平面ABC1D1所成角的正弦值为_答案解析如图，取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连接AO.由已知正方体易知EO平面ABC1D1，所以EAO为AE与平面ABC1D1所成的角，设正方体棱长为1，在RtEOA中，EOEFA1D，AE，sinEAO.所以直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为.10.如图所示，在矩形ABCD中，AB1，BCa(a0)，PA平面AC，且PA1，若BC边上存在点Q，使得PQQD，则a的取值范围是_答案2，)解析因为PA平面AC，QD平面AC，所以PAQD.又因为PQQD，PAPQP，所以QD平面PAQ，所以AQQD.当0a2
6、时，由四边形ABCD是矩形且AB1知，以AD为直径的圆与BC无交点，即对BC上任一点Q，都有AQD2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1，Q2，此时AQ1DAQ2D90，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2)，使PQQD.11.(2014南昌高一检测)如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点试确定点F的位置，使得D1E平面AB1F.解连接A1B，CD1，则A1BAB1，A1D1AB1，又A1D1A1BA1，AB1面A1BCD1，又D1E面A1BCD1，AB1D1E.于是D1E平面AB1FD1EAF.连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内
7、的射影D1EAFDEAF.ABCD是正方形，E是BC的中点，当且仅当F是CD的中点时，DEAF，即当点F是CD的中点时，D1E平面AB1F.三、探究与创新12已知：AB，PQ于Q，PO于O，OR于R，求证：QRAB.证明如图，AB，PO于O，POAB.PQ于Q，PQAB.POPQP，AB平面PQO.OR于R，PQOR.PQ与OR确定平面PQRO.即AB平面PQRO.又QR平面PQRD，QRAB.13已知四面体ABCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正弦值解过点A作AO平面BCD，连接OD，OB，OC，可知O是BCD的中心作QPOD，如图所示QPAO，QP平面BCD.连接CP，则QCP即为CQ与平面DBC所成的角设四面体的棱长为a，在正ACD中，Q是AD的中点，CQa.QPAO，Q是AD的中点，O为BCD的重心，QPAOaa，即sinQCP.CQ与平面DBC所成角的正弦值为.
