1、83 83 含参等式及其含参不等式含参等式及其含参不等式 二、含参不等式二、含参不等式：.按问法分类：按问法分类：.按参量分类：按参量分类：.按知识分类：按知识分类：1.1.常见题型：常见题型：2.2.常用思想及方法：常用思想及方法：.数形结合：数形结合：.分类讨论：分类讨论：.参量分离法：参量分离法：.变换主元法：变换主元法：一、含参等式一、含参等式：高中数学研究的主要内容关系 确定关系 随机关系 数数关系：形形关系：立体几何解析几何代数 数形关系：函数方程不等式不等式解析式不等式概述不等式概述概念性质应用解不等式证不等式求 最 值 规律与统计不等式的不等式的性质性质(一一)作用作用：变形化
2、简不等式2.运算性质1.基本性质(二二)性质：性质：3.重要的不等式多多益善十四条 文字背诵是关键说明：不等式的性质分类：按课本上的分类方式：按资料上的分类方式：单向式；双向式按自己的分类方式：1.1.基本性质基本性质大小的定义大小的定义对称性对称性传递性传递性如果a-b是正数，那么ab；如果a-b是等于零，那么a=b；如果a-b是负数，那么ab；如果ab,bc,那么ac如果ab，那么ba，如果bb000.abababababab；abbaab，bc ac2.2.运算性质运算性质对一个不等式的运算(变形)对多个不等式的运算(变形)对一个不等式的运算对一个不等式的运算(变形变形)加(减):如果a
3、b，那么a+cb+c乘(除)：如果ab,且c0,那么acbc如果ab,且c0,那么acb,c0 acbcab a+cb+cab,c0 acb，且cd，那么a+cb+d同号可倒：同号可倒：乘乘：ab，cd a+cb+d如果a b 0，且cd0，那么acbda b 0，cd0 acbd若ab,ab0,则11.ab注1.若2个不等式需进行减减(除除)运算，一般是转换成加加(乘乘)注2.若变量间具有约束关系时，等号没有可加(乘)性 加加：同向可同向可正值同向可正值同向可3.3.重要的重要的(经典)不等式不等式11均值不等式：cba11133abcba112ab则若,c,Rba2ba 222ba(调和平
4、均值)(几何平均值)(幂平均值)(算数平均值)当且仅当当且仅当a=b=c时，时，“=”成立成立33333cba3cba(当且仅当当且仅当=时等号成立时等号成立)2 2+2 22 2 当且仅当=时等号成立二元二元的均值不等式的均值不等式 若,R+,则211+2+22+2注1：使用前提是正数 当且仅当等相连 放缩消元变结构 应用特例求最值注2：与对号函数 的关联21xx21xx21xxxkxy或注3：即12三角形三角形(绝对值绝对值)不等式不等式|1 12 23 3n|1 1|+|+|2 2|+|+|3 3|+|+|n|-|-|+|+|注1.放缩换序增减号 特例消元求最值 注2.拍扁三角取等号 同
5、号异号是关键“=”成立的条件：中间“”时,右侧取“=”的条件是“0”中间“”时,右侧取“=”的条件是“0”左侧取“=”的条件是“0且|”左侧取“=”的条件是“0且|”13柯西不等式柯西不等式 i：一般式 ii：向量式|baba方和积方和积 积方和积方和1.1.表述方式众多：表述方式众多：2.2.应用：应用：i：作用：换序变结构 ii：用途：解证求最值nbbb,21注：最常见的是将 配凑为naaa,21naaa1,1,121 常数列,2121取时或当且仅当nnbbbaaa14排序不等式反序和反序和乱序和乱序和顺序和顺序和15分数的性质分数的性质若 ,a,b,c,d,m,n0,则dcbadcndm
6、bncmaba特例2：若 ,a,b,m0,则1ba1mbmaba特例1：若 ,a,b,m0,则1ba1mbmaba注：真分数的分子分母加同一正数后放大(糖水不等式，调日术，插值定理糖水不等式，调日术，插值定理)nxxx,21nxfxfxfnxxxfnn)()()()(2121nxxx21设f(x)是(a,b)内的凸函数,则对于(a,b)内任意的n个实数琴生琴生(Jensen)(Jensen)不等式不等式:,有当且仅当 时取等号nxxx,21nxfxfxfnxxxfnn)()()()(2121nxxx21设f(x)是(a,b)内的凹函数,则对于(a,b)内任意的n个实数,有当且仅当 时取等号凸凹
7、性与琴生凸凹性与琴生(Jensen)(Jensen)不等式不等式 1617伯努利不等式伯努利不等式参选修4-5P：51 52 xx1)1(xx1)1(:若x-1,且0 或1，则:若x-1,且0 1，则)1()1)(1()1(2121nnxxxxxx(当且仅当n=1时等号成立)如果x是实数,且x-1,x0,且n为大于1的自然数,则 nxxn1)1(注：伯努利不等式常见的推论：:若xi-1,则18lnx不等式与数列不等式不等式与数列不等式(1).“半成品”辅助函数 的衍变 1ln11xxx大多数是)1ln(131211nnkkx1(2).令 ，由迭加法可得(3).令 ，由迭加法可得1kxk)1ln
8、(1433221nnnn二元不等式一元不等式抽象不等式含参不等式整式不等式整式不等式分式不等式分式不等式不等式组绝对值不等式根式不等式连不等式指数不等式指数不等式对数不等式对数不等式三角不等式三角不等式线性规划四成立不等式的应用不等式的应用1.1.解不等式：解不等式：常见题型一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法1.1.公式公式(口诀口诀)法：法：口诀口诀1 1：大于号要两头：大于号要两头 小于号要中间小于号要中间口诀口诀2 2：一正二方三大头：一正二方三大头 无根大全小为空无根大全小为空2.2.其他其他法：法：配方法：配方法：图象图象(标根标根)法：法：因式分解法：因式分解法：标根法解一元
9、标根法解一元n次不等式次不等式 一正二方三穿线 奇穿偶切右上方上大下小中为等 函数简图是本质数形结合“或”字型 书写格式整体观解不等式组解不等式组通法通法:“截”成不等式组解连不等式解连不等式特法特法:左右是常数时，可变形成高次不等式解根式不等式解根式不等式去掉根号是常法 正值可方奇无限留意等号定义域 数形结合是特法抽象不等式抽象不等式 抽象不等具体化 数形结合性质法辅助函数是关键 增大减小是根本分式不等式的解法分式不等式的解法 1.“1.“左右左右”去分母法去分母法 2.“2.“上下上下”去分母法去分母法常用结论要背熟 辅助函数是关键数法主要单调性 上大下小中方程形法：形法：数法：数法：上大
10、下小中方程上大下小中方程背诵法：背诵法：数法主要单调性数法主要单调性常用结论要背熟常用结论要背熟辅助函数是关键辅助函数是关键解指数解指数,对数及三角不等式对数及三角不等式1.若xsin02.若xcos03.若xtan0,则xxcosxsin4.若5.若xsinxtan,则x,则x,则x,则xxcossinxcosxsin xcosxsin xtanxsin xtanxsin xtanxsin xtanxsin x常用结论要背熟常用结论要背熟1.若xsin02.若xcos03.若xtan0,则xxcosxsin4.若5.若xsinxtan,则x,则x,则x,则x常用结论要背熟常用结论要背熟6.大
11、同小异0alog x约束条件约束条件 目标函数目标函数(线性规划线性规划)可行解可行解可行域可行域最优解最优解定义域定义域解析式解析式值域值域一元一元函数函数目标函数线目标函数线最值最值最优解最优解取值范围取值范围多元不等式多元不等式数数形形一域二线三找点一域二线三找点 来先去后为最值来先去后为最值一域一域二线二线三找点三找点来先去后为最值来先去后为最值(多元函数多元函数)简言之，线性规划就是图象法解二元不等式1.1.直线型直线型：线性规划常见的几类目标函数线性规划常见的几类目标函数2.2.曲线型曲线型：3.3.其他型其他型：直线平移型：直线旋转型：直线旋移型：点线距离型：00 xxyyzby
12、axzyxz|cbyaxz(a,b为常数,截距)(x0,y0为常数,斜率)(,为参量,截距)(a,b,c为常数,距离)圆伸缩型：2020)()(yyxxz(x0,y0为常数,半径)向量型：常见解法常见题型形法数法“纯”不等式法函数法函数图象线性规划其他图象1.1.解不等式：解不等式：一般的，不等式解集的端点值是方程的根一般的，不等式解集的端点值是方程的根 不等式的应用不等式的应用数法：形法：比较法分析法综合法反证法数归法放缩法函数法法2.2.证明不等式常用的方法：证明不等式常用的方法：1.解不等式：不等式的应用不等式的应用数法：形法：函数图象最值定理（均值不等式）线性规划函数法（导数法）3.3
13、.求最值常用的方法：求最值常用的方法：2.证明不等式常用的方法：1.解不等式：不等式的应用不等式的应用绝对值不等式常见的题型绝对值不等式常见的题型解证1.最值一元二元2.含参单号三号3.双号1.定义：4.绝对值函数的图象：2.公式：形：形：数数：|0 xx)(000 xxxx)(0 xx)(0 xx)(0 xx(零点分段法的基础)几何意义距离(实数,复数,向量)3.性质：|f(x)|g(x)g(x)f(x)或 f(x)g(x)|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)绝对值不等式常用的结论绝对值不等式常用的结论 3.3.性质：性质：|-|-|+|+|注1.放缩换序增减号 特例消元求最值 注2
14、.拍扁三角取等号 同号异号是关键“=”成立的条件：中间“”时,右侧取“=”的条件是“0”中间“”时,右侧取“=”的条条件是“0”左侧取“=”的条件是“0且|”左侧取“=”的条件是“0且|”|=|=|=|=|=2 2；112233()|f xkxxkxxkxx单绝对值函数 ：三绝对值函数 ：0()|f xk xx双绝对值函数双绝对值函数 ：1122()|f xkxxkxx四点三线法四点三线法五点四线法三点二线法11()xf x，22()xf x，33()xf x，44()xf x，4.4.绝对值函数的图象：绝对值函数的图象：公式法 几何意义距离数法形法平方法换元法零点分段法函数图像翻折去号法增号
15、法不等式法保号法绝对值不等式常用的策略绝对值不等式常用的策略 83 83 含参等式及其含参不等式含参等式及其含参不等式 二、含参不等式二、含参不等式：.按问法分类：按问法分类：.按参量分类：按参量分类：.按知识分类：按知识分类：1.1.常见题型：常见题型：2.2.常用思想及方法：常用思想及方法：.数形结合：数形结合：.分类讨论：分类讨论：.参量分离法：参量分离法：.变换主元法：变换主元法：一、含参等式一、含参等式：若对 ,有 恒成立1122,DD1122()()ff若 ,使得 成立已知定义在 D1 上的函数 f1(x)的值域为I1定义在 D2 上的函数 f2(x)的值域为I2则等价于：12II
16、12I=I1122,DD1122()()ff则等价于：12II若对 ,使得 成立1122,DD若对 ,使得 成立则等价于：则等价于：一、含参等式一、含参等式2211,DD1122()()ff1122()()ff21II(含参函数与值域含参函数与值域)：(任意对任意，是值域相等任意对任意，是值域相等)(任意对存在，任意是子集任意对存在，任意是子集)(存在对存在，交集非空存在对存在，交集非空)(任意对存在，任意是子集任意对存在，任意是子集)(1)(2011年湖南)已知函数2()1,()43,xf xeg xxx()(),f ag b22,22(22,22)若有则b的取值范围为A B C.1,3 D
17、.(1,3)【B】析：由题意得：两函数值域值域的交集非空()11xf xe 2222b解得解：因2()431g bbb 由题意得 另法：可由答案的提示性，采用小作：特值法练习练习1.1.含参等式：含参等式：(1)(2011年湖南)已知函数2()1,()43,xf xeg xxx()(),f ag b22,22(22,22)若有则b的取值范围为A B C.1,3 D.(1,3)析：此类题，还可以将：()(),f ag b变式为()0f(a)+g b()1f(a)g b等形式(2)金考案P：112 左上(2014年四川)设mR，过定点A的动直线 和过定点B的 动直线 交于点 P(x,y)，则的最大
18、值是_0 xmy30mxym|PAPB析：由点斜式易得：A(0,0)，B(1,3)又由两直线方程易得：APBP 22|2PAPBPAPB222|10PAPBAB|5PAPB故当且仅当 时取“=”从而55(3)金考案P：23 右中(2013年辽宁)222222,228.f xxaxag xxaxa 已知函数 12max,min,Hxf xg xHxf xg x设max,p q表示p,q中的较大值,min,p q表示p,q中的较小值()()1Hx 2Hx记 的最小值为A,的最大值为B,则A-B=2216aa2216aaA.16 B.-16 C.D.析：取大函数与取小函数；数形结合 2222f xx
19、axa2xa2xa 22228.g xxaxa 现将两图像画到一块解f(x)=g(x)得2xa 2222f xxaxa 22228.g xxaxa 2xa2xa 1max,Hxf xg x取大函数 的图象是故取大函数H1(x)的最小值A244f aa 2222f xxaxa 22228.g xxaxa 2xa2xa 2min,Hxf xg x取大函数H1(x)的最小值A244f aa 故取小函数H2(x)的最大值取小函数 的图象是B2412g aa 故 A-B=16二、含参不等式二、含参不等式：.按问法分类：按问法分类：.按参量分类：按参量分类：.按知识分类：按知识分类：1.1.常见题型：常见
20、题型：求最值解不等式证不等式单参型双参型多参型导数不等式，数列不等式二、含参不等式二、含参不等式：1.1.常见题型：常见题型：2.2.常用思想及方法：常用思想及方法：.分类讨论：分类讨论：.参量分离法：参量分离法：.变换主元法：变换主元法：.数形结合：数形结合：形法数法(1)通法特法(2)最值法子集法变换主元法分离参量法先猜后证法含参不等式含参不等式常常成立成立注注1.1.描述方式繁多描述方式繁多 引申变式多样引申变式多样含参不等式含参不等式恒恒成立成立含参不等式含参不等式恰恰成立成立含参不等式含参不等式能能成立成立注注3.3.解法灵活多样解法灵活多样 技巧性极强技巧性极强注注2.2.常成立是
21、基础常成立是基础 恒成立是重点恒成立是重点分类讨论含参不等式含参不等式四成立：四成立：(4)若1)(,)(2kxxgxxf对 1,2,恒成立21,xx)()(21xgxf)(xf最小值)(xg最大值等价于在1,2上若 1,2使得 成立21,xx)(xf最大值)(xg最小值等价于在1,2上)()(21xgxf对 1,2,1,2,使得 成立1x2x)()(21xgxf)(xf最大值)(xg最大值等价于在1,2上,求各条件下的k的取值范围对 1,2,1,2,使得 成立)()(21xgxf1x2x)(xf最小值)(xg最小值等价于在1,2上(5)(2015年全国简化)设函数 2()mxf xexmx1
22、2,1,1x x 12|()()|1f xf xe若对于任意 ,都有求m的取值范围 析：等价于在-1,1上最大值)(xf最小值)(xf1e m 1,123()(23)xf xxaxae225()()4xg xae12,0,4 12()()1fg成立，求正数a的取值范围(6).(2006年湖北简化)已知,若存在 使得析1：等价于在0,4上12()()1fg最小值析2：因在0,4上3(23)()6aef xa2242525()()44ag xae因在0,4上析3：又因22251()(6)()042aaa故2121()()()2fga最小值3(0)2，(7).(2015年全国化简)已知函数()lng
23、 xx 314f xxax()min(),()h xf x g x,讨论函数 零点的个数 解：:当x1时，因:当0 x1时,因g(x)0,故只需讨论f(x)的零点即可5(1)min,04ha()()h xg x0故h(x)在(1,+)上无零点:当x=1时，因54a05()4a5()4a 故当 时,x=1是h(x)的零点；当 时,h(x)无零点54a 54a 即等价于研究方程 在(0,1)上的根214xax“牛顿三叉戟线牛顿三叉戟线”也也函数 的图像牛顿三叉戟线牛顿三叉戟线 2kfxxxk 0k=0k 0铅直渐近线：y轴 曲线渐近线：抛物线 y=x2:当0 x1时设 214F xxx3/281()4xFxx因当0 x1时,解F/(x)0得F(x)在 上1(0,)2当0 x1时,解F/(x)0得F(x)在 上1(,1)2 5,14F1324F又因x0时,解F(x)+，10:当 时,F(x)无零点534a-35=44aa-或-30:当 时,F(x)有2个零点解：:当x1时:当0 x1时h(x)无零点:当x=1时当 时,h(x)有1个零点；当 时,h(x)无零点54a 54a 10:当 时,F(x)无零点534a-35=44aa-或-30:当 时,F(x)有2个零点综上:当 时,h(x)有 个零点:当 时,h(x)有 个零点；5344a-54a或-3=4a或-
