1、4.2换 底 公 式问题问题引航引航1.1.换底公式的表达式是什么换底公式的表达式是什么?其满足什么条件其满足什么条件?2.2.换底公式有何特点换底公式有何特点?如何应用换底公式对对数如何应用换底公式对对数式进行化简求值式进行化简求值?(1)(1)形式：形式：loglogb bN N=_.=_.(2)(2)适用条件：适用条件：_._.(3)(3)变形：变形：loglogb ba a=_.=_.aalog Nlog ba,ba,b0,a,b1,N0,a,b1,N0 0a1log b1.1.判一判：判一判：(正确的打正确的打“”，错误的打，错误的打“”)”)(1)log75(1)log75不能用不
2、能用lnln 5 5和和lnln 7 7表示表示.().()(2)(2)等式等式 成立成立.(.()(3)(3)换底公式只能将对数转化为以换底公式只能将对数转化为以1010或或e e为底的对数为底的对数.().()(4)(4)等式等式logloga ab b=logloga ablogblogb ba=1.()a=1.()33log blg blg alog ab1log a2.2.做一做：做一做：(请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上)(1)log(1)log2 23log3log3 32=_.2=_.(2)=_.(2)=_.(3)(3)已知已知loglog3 34log4log
3、4 48log8log8 8m m2 2，则，则m m_._.88log 9log 3【解析【解析】1.(1)1.(1)错误，因为由换底公式可知错误，因为由换底公式可知loglog7 75=5=(2)(2)正确，因为正确，因为 所以正确所以正确.(3)(3)错误错误.换底公式可以将对数转化为以任何大于换底公式可以将对数转化为以任何大于0 0且不等于且不等于1 1的实数为底的对数的实数为底的对数.(4)(4)正确正确.等式等式 成立的条件是成立的条件是a,ba,b0,a,b10,a,b1，而等式而等式logloga ablogblogb ba a=1=1成立的条件也是成立的条件也是a,ba,b0
4、,a,b1.0,a,b1.答案：答案：(1)(1)(2)(3)(2)(3)(4)(4)ln 5.ln 733lg blog blg blg 3lg alog alg alg 3，ab1log blog a2.(1)log2.(1)log2 23 3loglog3 32=2=答案：答案：1 1(2)=log(2)=log3 39=2.9=2.答案：答案：2 2(3)log(3)log3 34 4loglog4 48 8loglog8 8m m所以所以m m3 32 29.9.答案：答案：9 9lg 3 lg 21.lg 2 lg 388log 9log 33lg 4 lg 8 lg mlg ml
5、og m2lg 3 lg 4 lg 8lg 3，【要点探究【要点探究】知识点知识点 换底公式换底公式1.1.对换底公式的两点说明对换底公式的两点说明(1)(1)成立的条件：公式是在左右两边对数式都有意义的情况下成立的条件：公式是在左右两边对数式都有意义的情况下才能成立才能成立.(2)(2)作用：换底公式可以将对数化成以作用：换底公式可以将对数化成以1010或或e e为底的对数为底的对数,可以可以将不同底的对数化成同底的对数将不同底的对数化成同底的对数,在不同底的对数之间建起了在不同底的对数之间建起了一座桥梁一座桥梁.2.2.利用换底公式化简求值的思想和注意点利用换底公式化简求值的思想和注意点【
6、知识拓展【知识拓展】由换底公式可得出的常用结论由换底公式可得出的常用结论logloga ab bloglogb bc cloglogc ca a=1;=1;nnaalog blog b;nmaamlog blog b;n1aalog blog b.【微思考【微思考】(1)(1)换底公式的新底是唯一的吗换底公式的新底是唯一的吗?提示：提示：不是不是.这个底可以视情况而定这个底可以视情况而定,只要满足对数式的含义即只要满足对数式的含义即可可.(2)(2)换底公式可以与对数的运算性质同时使用吗换底公式可以与对数的运算性质同时使用吗?提示：提示：可以可以.换底公式只是一个桥梁换底公式只是一个桥梁,它可
7、以把底数不统一的对它可以把底数不统一的对数化成底数统一的对数数化成底数统一的对数,为充分利用对数的运算性质奠定基础为充分利用对数的运算性质奠定基础.【即时练【即时练】利用换底公式求值：利用换底公式求值：(1)log(1)log2 25 5loglog5 54.4.(2)log(2)log2 23 3loglog3 34 4loglog4 45 5loglog5 56 6loglog6 67 7loglog7 78.8.(3)(2014(3)(2014抚州高一检测抚州高一检测)235111logloglog.25819【解析【解析】(1)log(1)log2 25 5loglog5 54=4=(
8、2)log(2)log2 23 3loglog3 34 4loglog4 45 5loglog5 56 6loglog6 67 7loglog7 78 8(3)(3)lg 5 lg 4lg 42.lg 2 lg 5lg 2lg 3 lg 4 lg 5 lg 6 lg 7 lg 8lg 83.lg 2 lg 3 lg 4 lg 5 lg 6 lg 7lg 2235111lg lg lg 11125819logloglog25819lg 2lg 3lg 522lg 54lg 32lg 316lg 316log 3.lg 2lg 3lg 5lg 2【题型示范【题型示范】类型一类型一 用换底公式表示对
9、数式用换底公式表示对数式【典例【典例1 1】(1)(2014(1)(2014九江高一检测九江高一检测)已知已知loglog7 73=a,log3=a,log7 74=b,log4=b,log494948=48=(用用a,ba,b表示表示).).(2)(2)已知已知loglog14147=a,147=a,14b b=5,=5,用用a,ba,b表示表示loglog353528.28.【解题探究【解题探究】1.1.如何建立如何建立loglog49494848同同a,ba,b的关系的关系?2.2.题题(2)(2)中如何求解中如何求解b?logb?log35352828如何用如何用a,ba,b表示表示?
10、【探究提示【探究提示】1.1.借助换底公式统一底数借助换底公式统一底数.2.2.借助对数的定义求解借助对数的定义求解b,b,然后利用换底公式把然后利用换底公式把loglog35352828换成以换成以1414为底的对数为底的对数.【自主解答【自主解答】(1)(1)因为因为答案：答案：(2)(2)因为因为loglog14147 7a,14a,14b b5 5，所以，所以b bloglog14145.5.所以所以277777749277log16 3log 48log 3log 4log 32log 4log 48log 49log 722a2b.2a2b22141435141414loglog
11、287log 28log 35log(5 7)214141414log 14log 72a.log 5log 7ab【延伸探究【延伸探究】在题在题(2)(2)条件不变的情况下，求条件不变的情况下，求loglog7 75 5的值的值.【解析【解析】loglog7 75=5=1414log 5b.log 7a【方法技巧【方法技巧】应用换底公式应注意的两个方面应用换底公式应注意的两个方面(1)(1)利用换底公式可以把不同底的对数化成同底的对数利用换底公式可以把不同底的对数化成同底的对数,要注意要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用换底公式的正用、逆用以及变形应用.(2)(2)题目中有指数式和对数式时
12、题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式与对数式统一要注意将指数式与对数式统一成一种形式成一种形式.【变式训练【变式训练】已知已知2 2x x=3,log=3,log4 4 =y,=y,求求x+2yx+2y的值的值.【解题指南【解题指南】把指数用对数表示把指数用对数表示,再用换底公式化为同底的进再用换底公式化为同底的进行计算求值行计算求值.【解析【解析】因为因为2 2x x=3,=3,所以所以x=logx=log2 23,3,所以所以x+2y=logx+2y=log2 23+2log3+2log4 4 =log=log2 23+log3+log2 2 =log =log2 23+log3+lo
13、g2 28-log8-log2 23 3=log=log2 22 23 3=3.=3.838383【补偿训练【补偿训练】设设x xa a=y=yb b=z=zc c且且 ,其中其中x,y,zx,y,z均为正数均为正数.求证：求证：z=xyz=xy.【证明【证明】设设x xa a=y=yb b=z=zc c=t(t=t(t0,t1),0,t1),则则a=loga=logx xt,b=logt,b=logy yt t,c=logc=logz zt t,而而 ,所以所以 ,即即loglogt tx+logx+logt ty=logy=logt tz z,所以所以loglogt t(xy)=log(x
14、y)=logt tz z,即即xyxy=z.=z.111abc111abcxyz111log tlog tlog t类型二类型二 换底公式的实际应用换底公式的实际应用【典例【典例2 2】(1)(2014(1)(2014九江高一检测九江高一检测)一种放射性物质不断变化为其他物一种放射性物质不断变化为其他物质质,每经过一年剩余的质量约是原来的每经过一年剩余的质量约是原来的75%,75%,估计约经过估计约经过_年年,该物质的剩余质量是原来的该物质的剩余质量是原来的 (结果保留结果保留1 1位有效数字位有效数字)(lg20.3010,lg30.4771)?(lg20.3010,lg30.4771)?(
15、2)(2)根据建设有中国特色的社会主义的战略方针根据建设有中国特色的社会主义的战略方针,我国工农业总我国工农业总产值从产值从20102010年到年到20302030年经过年经过2020年将要翻两番年将要翻两番,问平均增长率至问平均增长率至少应为多少少应为多少?(lg20.3010,lg30.4771,lg1.0720.0301)?(lg20.3010,lg30.4771,lg1.0720.0301)13【解题探究【解题探究】1.1.题题(1)(1)建立等量关系的依据是什么建立等量关系的依据是什么?2.2.题题(2)(2)中中“翻两番翻两番”的含义是什么的含义是什么?【探究提示【探究提示】1.1
16、.题题(1)(1)建立等量关系的依据是建立等量关系的依据是“每经过一年剩余的质量约是每经过一年剩余的质量约是原来的原来的75%”.75%”.2.2.题题(2)(2)中中“翻两番翻两番”的含义是总产值变为原来的的含义是总产值变为原来的4 4倍倍.【自主解答【自主解答】(1)(1)假设经过假设经过x x年年,该物质的剩余质量是原来的该物质的剩余质量是原来的 ,根据题意得：根据题意得：0.750.75x x=,=,所以所以x=logx=log0.750.75 =(=(年年).).故估计约经过故估计约经过4 4年年,该物质的剩余质量是原来的该物质的剩余质量是原来的 .答案：答案：4 413131313
17、lg 3lg 34lg 3lg 4lg 32lg 2(2)(2)设设20102010年总产值为年总产值为a,a,平均增长率为平均增长率为x,x,由题意由题意,得得a(1+x)a(1+x)2020=4a,=4a,即即(1+x)(1+x)2020=4,=4,将上式化为对数式得将上式化为对数式得lg(1+x)lg(1+x)2020=lg4,=lg4,即即20lg(1+x)=2lg20.6020.20lg(1+x)=2lg20.6020.所以所以lg(1+x)0.0301lg1.072.lg(1+x)0.0301lg1.072.所以所以1+x1.072,1+x1.072,即即x0.072.x0.072
18、.故平均增长率至少应为故平均增长率至少应为7.2%.7.2%.【方法技巧【方法技巧】解有关对数应用问题的四个步骤解有关对数应用问题的四个步骤(1)(1)审清题意审清题意,弄清各数据的含义弄清各数据的含义.(2)(2)恰当地设未知数恰当地设未知数,建立数学模型建立数学模型,即已知即已知a ax x=N(a,N=N(a,N是常数是常数,且且a0,a1),a0,a1),求求x.x.(3)(3)利用换底公式借助于计算器来解数学模型利用换底公式借助于计算器来解数学模型.(4)(4)还原为实际问题还原为实际问题,归纳结论归纳结论,注意有时要检验结论是否符合注意有时要检验结论是否符合实际意义实际意义.【变式
19、训练【变式训练】抽气机每次抽出容器内空气的抽气机每次抽出容器内空气的60%,60%,要使容器内要使容器内的空气少于原来的的空气少于原来的0.1%,0.1%,则至少要抽几次则至少要抽几次?(lg20.3010)?(lg20.3010)【解析【解析】设至少抽设至少抽n n次可使容器内空气少于原来的次可使容器内空气少于原来的0.1%,0.1%,则则a(1-60%)a(1-60%)n n0.1%a(0.1%a(设原先容器中的空气体积为设原先容器中的空气体积为a),a),即即0.40.4n n0.001,0.001,两边取常用对数得两边取常用对数得n nlg0.4lg0.001,lg0.4 7.5.n
20、7.5.故至少需要抽故至少需要抽8 8次次.lg 0.0013lg 0.42lg 2 1【补偿训练【补偿训练】某化工厂生产化工产品某化工厂生产化工产品,去年生产成本为去年生产成本为5050元元/桶桶,现使生产成本平均每年降低现使生产成本平均每年降低28%,28%,那么几年后每桶的生产成本为那么几年后每桶的生产成本为2020元元(lg20.3010,lg30.4771,(lg20.3010,lg30.4771,精确到精确到1 1年年)?)?【解题指南【解题指南】设设x x年后每桶的生产成本为年后每桶的生产成本为2020元元,由题意列出关于由题意列出关于x,50,28%,20 x,50,28%,2
21、0之间的关系式之间的关系式,解出解出x.x.【解析【解析】设设x x年后每桶的生产成本为年后每桶的生产成本为2020元元.1 1年后每桶的生产成本为年后每桶的生产成本为5050(1-28%),(1-28%),2 2年后每桶的生产成本为年后每桶的生产成本为5050(1-28%)(1-28%)2 2,x x年后每桶的生产成本为年后每桶的生产成本为5050(1-28%)(1-28%)x x=20.=20.所以所以,0.72,0.72x x=0.4,=0.4,等号两边取常用对数等号两边取常用对数,得得xlg0.72=lg0.4.xlg0.72=lg0.4.故故所以，所以，3 3年后每桶的生产成本为年后
22、每桶的生产成本为2020元元12lg 4 10lg 0.4lg 4 1xlg 0.72lg 722lg 72 102lg 2 13lg 22lg 320.301 0 2 10.39833 0.301 02 0.477 120.142 8 年【巧思妙解【巧思妙解】“指数式和对数式指数式和对数式”问题的换底技巧问题的换底技巧【典例【典例】设设3 3a a=4=4b b=36,=36,则则 =.【教你审题【教你审题】21ab【常规解法【常规解法】由由3 3a a=4=4b b=36=36得得loglog3 336=a,log36=a,log4 436=b,36=b,由换底公式可得由换底公式可得a=l
23、oga=log3 336=,b=log36=,b=log4 436=.36=.所以所以 =2=2loglog36363+log3+log36364=log4=log36369+log9+log36364 4=log=log363636=1.36=1.答案：答案：1 1361log 3361log 421ab【巧妙解法【巧妙解法】等式等式3 3a a=4=4b b=36=36两边都取以两边都取以1010为底的对数为底的对数,得得lg3lg3a a=lg4lg4b b=lg36,=lg36,即即alg3=blg4=lg36,alg3=blg4=lg36,所以所以 =log=log36369,=lo
24、g9,=log36364,4,所以所以 =1.=1.答案：答案：1 121ab2a1b【方法对比【方法对比】常规方法切入点简单常规方法切入点简单,但步骤有点复杂但步骤有点复杂,倘若对对数的运算性质倘若对对数的运算性质不熟不熟,则会导致运算错误则会导致运算错误,而巧妙解法直接统一底数而巧妙解法直接统一底数,思路清晰思路清晰,方便快捷方便快捷.【教你一招【教你一招】处理处理“指数式和对数式指数式和对数式”问题的换底技巧问题的换底技巧题目中有指数式和对数式时题目中有指数式和对数式时,要注意指数式与对数式的互化要注意指数式与对数式的互化,为为了便于运算了便于运算,常借助换底公式把题目中不同底数的对数化
25、成同常借助换底公式把题目中不同底数的对数化成同底数的对数底数的对数,如本例中直接取常用对数如本例中直接取常用对数,然后应用对数运算性质然后应用对数运算性质进行计算进行计算.【类题试解【类题试解】设设3 3a a5 5b b ，则，则 _._.【常规解法【常规解法】将将3 3a a5 5b b 的两边取以的两边取以1515为底的对数得，为底的对数得，alogalog15153=blog3=blog15155=,5=,所以所以所以所以答案：答案：2 21511ab15121515112log 32log 5,ab，1515112log 32log 5 2.ab【巧妙解法【巧妙解法】将将3 3a a5 5b b 的两边取常用对数得，的两边取常用对数得，alg 3alg 3blg 5blg 5 lg 15lg 15，所以，所以所以所以答案：答案：2 21512lg 15lg 15ab2lg 32lg 5，112lg 32lg 52lg 152.ablg 15lg 15lg 15
