1、 山东省第一次仿真联考山东省第一次仿真联考 数学数学 一、单项选择题： 1已知复数z满足2 iiz ，则z （ ） A 12 i 55 B 12 i 55 C 12 i 55 D 12 i 55 2已知集合 2 230Axxx ，20Bxx，则AB（ ） A1,3 B1,3 C1,2 D1,2 3空气质量指数简称AQI，是定量描述空气质量的指数，空气质量指数小于 50 表示空气质量为优下图 是某市一周的空气质量指数趋势图，则下列说法错误的是（ ） A该市这周有 4 天的空气质量指数为优 B该市这周空气质量指数的中位数是 31 C该市这周空气质量指数的极差是 65 D该市这周空气质量指数的平均数
2、是 53 4函数 ln1 1 x f x x 的部分图象大致是（ ） A B C D 5已知:1p xa， 3 :1 1 q x ，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（ ） A0,1 B0,1 C1,2 D1,2 6已知0a，0b，且320abab，则3ab的最小值是（ ） A6 B8 C12 D16 7踢毽子是中国民间传统的运动项目之一，起源于汉朝，至今已有两千多年的历史，是一项简便易行的健 身活动某单位组织踢毽子比赛，把 10 人平均分成甲、乙两组，其中甲组每人在 1 分钟内踢毽子的数目分别 为 26，29，32，45，51；乙组每人在 1 分钟内踢毽子的数目分别为 28，31，3
3、8，42，49从甲、乙两组中 各随机抽取 1 人，则这两人踢毽子的数目之和为奇数的概率是（ ） A 5 9 B 4 9 C 13 25 D 12 25 8 已 知 fx是 函 数 f x的 导 数， 且 fxf x， 当0x时 ， 3fxx， 则 不等 式 3 13 2 f xf xx的解集是（ ） A 1 ,0 2 B 1 , 2 C 1 , 2 D 1 , 2 二、多项选择题： 9已知函数 tan ,tansin sin ,tansin xxx f x xxx ，则（ ） A f x的值域为1, B f x的单调递增区间为, 2 kkk Z C当且仅当 2 kxkk Z时， 0f x D
4、f x的最小正周期时2 10已知奇函数 f x是定义在R上的减函数，且 21f，若 1g xf x，则下列结论一定成立 的是（ ） A 10g B 1 2 2 g C 0gxg x D110gxg x 11已知双曲线 22 22 1 xy ab （0a，0b）的右焦点为 2 6,0F，点P的坐标为（0，1） ，点Q为双 曲线C左支上的动点，且PQF的周长不小于 14，则双曲线C的离心率可能为（ ） A3 B2 3 C5 D3 12 一个正方体的平面展开图如图所示， 在这个正方体中， 点H是棱DN的中点，P，Q分别是线段AC， BN（不包含端点）上的动点，则下列说法正确的是（ ） A在点P的运动
5、过程中，存在/HP BM B在点Q的运动过程中，存在FQAH C三棱锥HQAC的体积为定值 D三棱锥BPEM的体积不为定值 第第卷卷 三、填空题： 13已知向量,2am，1, 3b ，若ab，则a _ 14五一放假期间，某社区安排甲、乙、丙、丁、戊这 5 位工作人员值班，每人值班一天，若甲排在第一 若甲排在第一天值班，且丙与丁不排在相邻的两天值班，则可能的值班方式有_种 15 在四棱锥PABCD中四边形ABCD是边长为 2 的正方形，5PCPD， 平面PCD平面ABCD， 则四棱锥PABCD外接球的表面积为_ 16已知抛物线: 220C xpy p的焦点为F，斜率为 1 的直线l过点F，且与抛
6、物线C交于A，B两 点，点M在抛物线C上，且点M在直线l的下方，若MAB面积的最大值是4 2，则抛物线C的方程 是_，此时，点M的坐标为_ 四、解答题： 17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，在 1 coscossinsin 2 bACaBCb； 1 coscossin23 cos 2 bBCcBaB； cos 2 cos bA ac B 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中， 并作答已知D是BC上的一点，2BCBDAB，2 7AD ，6AB，若_，求ACD的 面积 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18设数列 n a的前n项和为 n S，且 2 2 n Snn
7、 （1）求 n a的通项公式； （2）若 1 1 nn n nn aa b aa ，求数列 n b的前n项和 n T 19在斜三棱柱 111 ABCA B C中，ABC为等腰直角三角形， 1 222 2AAABAC，平面 11 BBCC 平面ABC，点E为棱 1 A A的中点， 1 60B BC （1）证明：平面 1 BCE 平面 11 BBCC （2）求二面角 1 ABCE的余弦值 20 某公司采购了一批零件， 为了检测这批零件是否合格， 从中随机抽测 120 个零件的长度 （单位： 分米） ， 按数据分成1.21.3，1.3,1.4，1.4,1.5，1.5,1.6，1.6,1.7，1.7,
8、1.8这 6 组，得到如图所示的 频率分布直方图，其中长度大于或等于 1.59 分米的零件有 20 个，其长度分别为 1.59，1.59，1.61，1.61， 1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以这 120 个零件在各组的长度的频率估计整批零件在各组长度的概率 （1）求这批零件的长度大于 1.60 分米的频率，并求频率分布直方图中m，n，t的值； （2）若从这批零件中随机选取 3 个，记X为抽取的零件长度在1.4,1.6的个数，求X的分布列和数学期 望； （3） 若变量
9、S满足0.68260.05PS且220.95440.05PS， 则称变量S满足近似于正态分布 2 ,N 的概率分布如果这批零件的长度Y（单位：分米）满足近似于 正态分布1.5,0.01N的概率分布，则认为这批零件是合格的将顺利被签收；否则，公司将拒绝签收试 问，该批零件能否被签收？ 21在直角坐标系xOy中已知1,0F，动点P到直线6x的距离等于22PF 动点P的轨迹记为曲线 C （1）求曲线C的方程； （2）已知2,0A，过点F的动直线l与曲线C交于B，D两点，记AOB和AOD的面积分别为 1 S 和 2 S，求 12 SS的最大值 22已知函数 lnf xxmx mR （1）讨论 f x的
10、单调性 （2）若 f x恰有两个不同的零点 1 x， 2 x，证明： 12 0fxfx 山东省第一次仿真联考山东省第一次仿真联考 数学参考答案数学参考答案 1C 由题意可得： ii(2i)12 i 2i(2i)(2i)55 z ，则 12 i 55 z 2D 由题意得1,3A ，,2B 中，则1,2AB 3B 由图可知该市这周空气质量指数的中位数、极差、平均数分别是 43，65，53，有 4 天的空气质量指 数小于 50，故选 B 4A 设 ln x g x x ，因为 g xgx，所以 g x的图象关于y轴对称所以 f x的图象关于直 线1x对称，排除 CD；当10x 时，ln10x，所以
11、0f x ，排除 B，故选 A 5A 因为1xa，所以11axa 即:11p axa ，因为 3 1 1x ，所以12x ， 即: 12qx 因为p是q的充分不必要条件，所以 11 12 a a ，解得01a 6B 因为320bbaa，所以 31 2 ab ， 所以 1311 331 33106 108 222 ba abab abab （当且仅当2al 时取等号） 7C 由题意可得所求概率 1111 3322 11 55 13 25 C CC C P C C 8D 设 2 3 2 g xfxx，则 3g xfxx因为当0x时， 3fxx，所以当0x时， 0g x ，即 g x在0,上单调递增
12、因为 fxf x，所以 f x为偶函数则 g x也是偶 函数因为 3 13 2 f xf xx，所以 2 2 33 11 22 f xxf xx，即 1g xg x，则 1xx，解得 1 2 x 9AD 当tansinxx，即 2 kxkk Z时， tan0,f xx；当tansinxx，即 2 kxkk Z时， sin1,1f xx 综上， f x的值域为1, ，故 A 正确； f x 的 单 调 递 增 区 间 是2,2 22 kk 和 3 2,2 2 kkk Z， B错 误 ； 当 2,2 2 xkkk Z时， 0f x ，故 C 错误；结合 f x的图象可知 f x的最小正周期 是2，
13、故 D 正确 10 AC 因为 f x为定义在R上的奇函数， 所以 00f， 因为 1g xf x， 所以 100gf， 故 A 正确； 因为 f x为定义在R上的减函数， 且 21f， 210fff， 即 110f 所 以 120g ，故 B 不一定成立；因为 1g xf x，所以11gxfxf x ，所 以 11gxg xf xf x，因为 f x是定义在R上的减函数，所以11f xf x， 所 以110fxfx ， 即 0gxg x， 故 C 正 确 ； 因 为 1g xfx， 所 以 1gxfxfx ， 1g xf x，所以 110gxg xf xf x ，选项 D 错误 11 AC
14、设 双 曲 线C的 左 焦 点 为 F 则2Q FQ Fa 即2Q FQ Fa， 故 22QFPQQFPQaPFa 由 题 意 可 得24 15PF PF ， 所 以 221 4P QQ FP FP Fa， 所以2a 则双曲线 C 的离心率 2 6 6 c e aa 因为1e 所 以双曲线 C 的离心率的取值范围为1, 6 12 BC 由平面展开图， 还原正方体， 如图所示 对于 A 选项， 因为点P是线段AC上的动点， 所以HP 平面ACH，因为BM 平面ACH，且BM与平面ACH不平行，所以不存在/HPBM故 A 错误； 对于 B 选项 连接BD，BDACO， 连接OF，OFBNG， 取A
15、D的中点K， 连接EK，OK 则 O为BD的中点，/OK EF，所以E，F，O，K四点共面，因为AHEK，AHEF，所以AH 平面EFOK，因为GF 平面EFOK，所以AHGF，即当点Q运动到G点时，FQAH，故 B 正 确； 对于 C 选项， 因为点H是棱DN的中点， 所以/OH BN， 因为OH 平面ACH，BN 平面ACH， 所以/BN平面ACH， 则直线BN上的任意一点到平面ACH的距离相等， 且为定值， 因为点Q是线段BN 上 的 动 点 ， 所 以 点Q到 平 面ACH的 距 离d为 定 值 ， 因 为A C H的 面 积 为 定 值 ， 所 以 1 3 HQ WQW HA C H
16、 VVdS （定值） ， 故 C 正确； 对于 D 选项， 因为点P是线段AC上的动点。 所以PEM 的面积为定值，且平面PEM就是平面ACME，因为点B到平面ACME的距离是定值，即点B到平面 PEM的距离h也是定值，所以三棱锥BPEM的体积 1 3 PPEMMBE Vh S （定值） ，故 D 错误 132 10 因为ab，所以230m ，解得6m，则|3642 10a 1412 甲在第一天值班的所有值班方式有 4 4 24A 种，其中丙与丁在相邻的两天值班的值班方式有 32 32 12A A 种，则满足条件的值班方式有24 1212种 1541 4 取CD的中点E， 连接PE（图略） 因
17、为5PCPD， 1 1 2 DECD， 所以PECD， 2PE ，过四边形ABCD的中心 1 O作平面ABCD的垂线 1 l，过三角形PCD的外心 2 O作平面PCD的垂 线 2 l， 12 0ll ，则为四棱锥PABCD外接球的球心，设 1 OOh，四棱锥PABCD外接球的半 径为R， 则 2 22 221Rhh， 解得 2 41 16 R ， 故四棱锥PABCD外接球的表面积为 2 41 4 4 R 16 2 4xy；2,1设 11 ,A x y， 22 ,B x y，由题意可得直线l的方程为 2 p yx，联立 2 2 2 p yx xpy ， 整理得 22 20xpxp，所以 12 2
18、xxp， 2 12 x xp ，则 2 12121 2 42 2xxxxx xp， 故 2 12 14ABkxxp，设 00 ,M x y，由题意可知当直线l过点M且与抛物线C相切的直线 平行时，MAB的面积取最大值因为 2 1 2 yx p ，所以 1 yx p ，所以直线l的斜率 0 1 1kx p 所 以 0 xp，则, 2 p Mp ，此时，点M到直线l的距离 2 22 pp d ，故 12 44 2 22 p p，解得 2p ，故抛物线C的方程为 2 4xy，此时点M的坐标为2,1 17解：若选择，则 1 sincoscossinsinsinsin 2 BACABB， 因为sin0B
19、所以sin 1 cos 2 iscos nAACC ，即 1 cos 2 AC ， 因为BA C，所以c 1 cosos 2 BAC ，即cos 1 2 B ， 因为0B所以 3 B 若选择，则 2 cossin 1 ssiin 2 n23sincosCCBBAB， 即 2 sincossinsincos3sincosBCCBBAB 故sinsin3sincosBBCAB 因为sinsin0BCA所以3sincosBB，所以tan3B ， 因为0B，所以 3 B 若选择，则sincos sincos2sincosBAABCB， 即sin2sincosBACB， 因为sinsin0BAC所以 1
20、 cos 2 B ， 因为0B，所以 3 B 在ABD中，由余弦定理可得 222 2cosADABBDAB BDB， 即 2 28362 6 1 2 BDBD，解得4BD 或2BD 因为26BCBDAB，所以4BD ， 因为2BCBD，所以s 11 in 3 6 46 3 222 ACDABD BDSSABB 18解： （1）当1n 时， 11 1 23aS ， 当2n时， 2 2 1 1211 n Snnn ， 22 1 21212 nnn aSSnnnnn ， 当1n 时， 1 3a 满足上式，故21 n an （2）由（1）可得 232122 2 21232123 n nn b nnnn
21、 ， 则 123 22222222 2222 3557792123 nn Tbbbb nn 22222222 2 3557792123 n nn 224 22 32369 n nn nn 19 （1）证明：分别取BC， 1 BC的中点O和F，连接OA，OF，EF， 1 BO 因为ABAC，O为BC的中点，所以AOBC， 因为平面 11 BBCC 平面ABC，且平面 11 BBCC 平面ABCBC 所以AO 平面 11 BBCC， 因为F是 1 BC的中点所以 1 /FO BB，且 1 1 2 FOBB， 因为点E为棱 1 A A的中点所以 1 /AE BB，且 1 1 2 AEBB， 所以/F
22、O AE，且FOAE，所以四边形AOFE是平行四边形，则/EF AO 因为AO 平面 11 BBCC，所以EF 平面 11 BBCC， 因为EF 平面 1 BCE，所以平面 1 BCE 平面 11 BBCC （2）解：由题意易证 1 BOBC，则 1 BO 平面ABC，故OA，OC， 1 OB两两垂直 以O为坐标原点，OA，OC， 1 OB分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则 2,0,0A， 0, 2,0C， 1 0,0, 6B， 26 2, 22 E ， 故 1 0, 2,6BC ， 26 2, 22 CE ， 2, 2,0AC ， 设平面 1 BCE的法
23、向量为 111 ,mx y z， 则 111 111 260 26 20 22 m Byz m CExz C y ，令 1 1z ，得 0, 3,1m 设平面 1 ABC的法向量为 222 ,nxy z， 则 122 22 260 220 n ByCz n ACxy 令 2 3y ，得 3, 3,1n ， 则 42 7 cos, 73 133 1 m n m n m n ， 由图可知二面角 1 ABCE为锐角，则二面角 1 ABCE的余弦值为 2 7 7 20解： （1）由题意可知 120 件样本零件中长度大于 1.60 分米的共有 18 件， 则这批零件的长度大于 1.60 分米的频率为 1
24、8 0.15 120 ， 记Y为零件的长度，则 3 1.21.31.71.80.025 120 PYPY， 15 1.31.41.61.70.125 120 PYPY， 1 1.41.51.51.61 2 0.0252 0.1250.35 2 PYPY ， 故 0.025 0.25 0.1 m ， 0.125 1.25 0.1 n ， 0.35 3.5 0.1 t （2）由（1）可知从这批零件中随机选取 1 件，长度在1.4,1.6的概率2 0.350.7P 且随机变量X服从二项分布3,0.7XB， 则 3 3 0 01 0.70.027P XC， 2 1 3 11 0.70.70.189P
25、XC， 33 3 30.70.343P XC， 故随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 0 0.027 1 0.189 2 0.441 3 0.3432.1EX （或3 0.72.1EX ） （3）由题意可知1.5，0.1， 则1.41.60.7PYPY； 221.31.70.125 0.35 0.35 0.1250.95PYPY， 因为0.70.68260.01740.05，0.95 0.95440.00440.05， 所以这批零件的长度满足近似于正 态分布1.5,0.01N的概率分布应认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收 21解：
26、 （1）设点,P x y，则 2 2 62126xxyx， 整理得 22 3412xy，即 22 1 43 xy 故动点P的轨迹C的方程为 22 1 43 xy （2）由题意可知直线l的斜率不为 0，则可设直线l的方程为1xmy， 联立 22 1 1 43 xmy xy ，整理得 22 34690mymy， 所以 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 yy m ， 则 2 2 2 121212 222 636121 4 343434 mm yyyyy y mmm ， 故 2 121112 2 111121 22234 m SSOA yOA yOA yy m 设 2 11tm
27、 ，则 22 1mt，则 12 2 1212 1 31 3 t SS t t t 因为1t ，所以 1 34t t （当且仅当1t 时，等号成立） ， 故 12 12 3 1 3 SS t t ，即 12 SS的最大值为 3 22 （1）解：因为 lnf xxmx，所以 11 0 mx fxmx xx ， 当0m时， 0fx恒成立，所以 f x在0,上单调递增， 当0m时，令 0fx，得 1 0x m ；令 0fx，得 1 x m ， 则 f x在 1 0, m 上单调递增，在 1 , m 上单调递减 综上当0m时， f x在0,上单调递增； 当0m时， f x在 1 0, m 单调递增，在
28、1 , m 单调递减 （2）证明：因为 1 x， 2 x是 f x的两个零点所以 11 lnxmx， 22 lnxmx，所以 12 12 lnln m x xx x ， 则 12 12 121212 lnln1111 22 xx fxfxm xxxxxx ， 要证 12 0fxfx，即证 12 1212 1lnln1 20 xx xx xx 不妨设 12 0xx，则 12 1212 1lnln1 20 xx xx xx 等价于 121 212 2ln0 xxx xxx 令 1 2 x t x ，则1t ，设 ln 1 21h ttt t t ，所以 2 22 112 101 t h tt ttt ， 所以 h t在1,上单调递增，则 10h th，即 1 2ln0t t t对任意1t 恒成立 故 12 0fxfx
