1、第1页/共11页 2023 北京交大附中高一（下）期中 数 学 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的要求的.1已知，且 sin，则 tan（）A B C D2已知向量（t，1），（1，2）若 ，则实数 t 的值为（）A2 B2 CD3如图，角 以 Ox 为始边，它的终边与单位圆 O 相交于点 P，且点 P 的横坐标为，则的值为（）AB CD4向量在边长为 1 的正方形网格中的位置如图所示，则（）A4 B4 C2 D8 5已知向量，满足
2、|1，（2，1），且|2，则 （）A1 B0 C1 D2 6设函数，若对任意的实数 x 都成立，则 的一个可取值为（）A4 B5 C7 D8 第2页/共11页 7已知 P 为ABC 所在平面内一点，则（）A B C D 8设 R，则“是第一象限角”是“sin+cos1”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9已知函数 yAsin（x+）的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移 t（t0）个单位长度，得到函数 yf（x）的图象若函数 yf（x）的图象关于原点对称，则 t 的最小值（）A B C D 10函数 f（x）的图象如图所示，为了得到 y2
3、sinx 函数的图象，可以把函数 f（x）的图象（）A每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位 B每个点的横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位 C先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）D先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.11已知，若，则实数 x 的值为 12在平行四边形 ABCD中，已知向量，则 13已知向量（1，2），（3，1），则向量，夹角的大小为
4、 第3页/共11页 14直线 ykx 与函数 ytanx的图象交于 M，N（不与坐标原点 O 重合）两点，点 A的坐标为，则 15已知函数 f（x）2sin（x+）（0），曲线 yf（x）与直线 y相交，若存在相邻两个交点间的距离为，则 的所有可能值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 4 小题，共小题，共 40 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16（10 分）函数 f（x）2sin（2x）（1）求函数 f（x）的单调递增区间和最小正周期；（2）请用“五点法”画出函数 f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需
5、的数值，再画图）；x 2x 0 y （3）求函数 f（x）在，上的最大值和最小值，并指出相应的 x 的值 17（10 分）已知函数（1）求 f（x）的单调递减区间及对称轴方程；（2）设 xm（mR）是函数 yf（x）图像的对称轴，求 sin4m的值；（3）把函数 f（x）的图像向左平移 个单位，与 f（x）的图像重合，直接写出一个 的值：（4）把函数 f（x）的图像向左平移 个单位，所得函数为偶函数，直接写出 的最小值；（5）当 x0，t时，函数 f（x）的取值范围为1，1，直接写出 t 的最小值；（6）已知函数 f（x）在0，t上是一个中心对称图形，直接写出一个符合题意的 t 的值：（7）设
6、函数，直接写出函数 g（x）在0，2上的单调递减区间 18（10 分）已知函数 f（x）sin2x+3cosx+3，（xR）（1）判断函数 f（x）的奇偶性并说明理由；（2）求 f（x）的最小值并指出函数取得最小值时 x 的值；第4页/共11页 （3）直接写出函数 f（x）在0，2上的零点 19（10 分）已知函数 f（x）的定义域为 R，若存在常数 T0，使得 f（x）Tf（x+T）对任意的 xR 成立，则称函数 f（x）是 函数（1）判断函数 F（x）x，h（x）sinx 是否是 函数，不必说明理由；（2）若函数 f（x）是 函数，且 f（x）是偶函数，求证：函数 f（x）是周期函数；（3
7、）若函数 f（x）sinkx 是 函数求实数 k 的取值范围；（4）定义域为 R 的函数 g（x）同时满足以下三条性质：存在 x0R，使得 g（x0）0；对于任意 xR，有 g（x+2）9g（x）f（x）不是单调函数，但是它图像连续不断，写出满足上述三个性质的一个函数 g（x），则 g（x）_（不必说明理由）第5页/共11页 参考答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的要求的.1【解答】解：，且，cos0，cos，tan 故选：B
8、2【解答】解：向量，若，则 t+20，实数 t2，故选：A 3【解答】解：角 以 Ox 为始边，它的终边与单位圆 O 相交于点 P，且点 P 的横坐标为，则cos，故选：B 4【解答】解：如图，把 向 量平 移 到 同 一 起 点，得 出，然 后 把平 移 到 同 一 起 点，则：，故选：A 5【解答】解：向量，满足|1，（2，1），且|2，4，即 12 +54，第6页/共11页 则 1 故选：C 6【解答】解：对任意的实数 x 都成立，故，则，故 2+6m，mZ，故当 m1 时，一个可能取值为 8 故选：D 7【解答】解：由于，利用向量的线性运算，整理得：故选：A 8【解答】解：充分性：是第
9、一象限角，sin0，cos0，（sin+cos）21+2sincos1，是充分条件，必要性：sin+cos1，不是第三象限角，（sin+cos）21+2sincos1，sincos0，sin0，cos0，是第一象限角，故选：C 9【解答】解：由图象可得 x时，函数 yAsin（x+）的函数值为 0，即+k（kZ），+k（kZ），yAsin（x+k），将此函数向左平移 t 个单位得，f（x）Asin（x+t）+k，又f（x）为奇函数，t+kk1（k1Z），t+（kZ，k1Z），t 的最小值是 故选：B 第7页/共11页 10【解答】解：根据函数 f（x）的图象，设 f（x）Asin（x+），可得
10、 A2，2 再根据五点法作图可得 2+0，f（x）2sin（2x），故可以把函数 f（x）的图象先向左平移个单位，得到 y2sin（2x+）2sin2x 的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），即可得到 y2sinx 函数的图象，故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.11【解答】解：，则 1x（2）（2），解得 x4 故答案为：4 12【解答】解：在平行四边形 ABCD中，因为向量，所以：+（3，5）故答案为：（3，5）13【解答】解：平面向量（1，2），
11、（3，1），cos，45 向量 与 的夹角 45 故答案为：45 14【解答】解：直线 ykx 与函数 ytanx的图象交于 M，N（不与坐标原点 O 重合）两点，函数 ytanx的图象关于原点对称，直线 ykx 也关于原点对称，则 O为线段 MN 的中点，+2，点 A 的坐标为，则222，故答案为：15【解答】解：由函数 f（x）2sin（x+）的图象与直线 y的相邻的两个交点之间的距离为，所以 2sin（x+）sin（x+）x+2k+或 x+2k+，kZ；第8页/共11页 曲线 yf（x）与直线 y相交，若存在相邻两个交点间的距离为，结合正弦函数的图象和性质：+2k（x2x1），kZ，令
12、k0，x2x12；+2k（x2x1），kZ，令 k0，x2x110；则 的所有可能取值为 2 或 10 故答案为：2 或 10 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 4 小题，小题，共共 40 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16【解答】解：（1）函数 f（x）2sin（2x），令+2k2x+2k，kZ；解得+2k2x+2k，kZ；即+kx+k，kZ；所以函数 f（x）的单调递增区间是+k，+k，kZ；最小正周期 T；（2）填写表格如下；x 2x0 2 y 0 2 0 2 0 2 用“五点法”画出函数 f（x）在长度为一个周期的闭区间上的
13、简图为；第9页/共11页 （3）x，时，2x，sin（2x），1，所以函数 f（x）2sin（2x）在，上取得最大值为 2，最小值为，且 x时 f（x）取得最小值，x时 f（x）取得最大值 2 17【解答】解：（1）由 2k+x+2k+，kZ，得 4k+x4k+，kZ，即 f（x）的单调递减区间为4k+，4k+，kZ，由x+k+，得 x2k+，kZ，即函数的对称轴方程为 x2k+，kZ（2）若 xm（mR）是函数 yf（x）图像的对称轴，则由（1）知 m2k+，kZ 则 sin4msin（8k+）sin（3）把函数 f（x）的图像向左平移 个单位，与 f（x）的图像重合，则 等于函数的一个周期
14、即，即 T4，则 4（4）把函数 f（x）的图像向左平移 个单位，得到 ysin（x+）+sin（x+），若所得函数为偶函数，则+k+，kZ，得2k+，kZ，则当k0时，即的最小值为（5）当 x0，t时，x+，+，若函数 f（x）的取值范围为1，1，则，+，得 t，则 t 的最小值为（6）由x+k，kZ，得 x2k，kZ，则当 k1 时，x，即函数关于（，0）对称，若函数 f（x）在0，t上是一个中心对称图形，则 t2，即符合题意的 t即可（7）sin（x+），（xk，kZ），第10页/共11页 由（1）知 f（x）的单调递减区间为4k+，4k+，kZ，当 k0 时，x，xk，kZ），g（x）
15、在0，2上的单调递减区间为，），（，2）18【解答】解：（1）f（x）sin2x+3cosx+31cos2x+3cosx+3cos2x+3cosx+4，则 f（x）cos2（x）+3cos（x）+4cos2x+3cosx+4f（x），则 f（x）是偶函数（2）令 tcosx，则1t1，则函数等价为 yt2+3t+4，对称轴为 t，抛物线开口向下，则函数在1，1上为增函数，则当 t1 时，即 sinx1，x2k，kZ 时，函数取得最小值，最小值为13+40，此时对应 x 的取值集合为x|x2k，kZ（3）由 f（x）cos2x+3cosx+40，得 cos2x3cosx40 得 cosx1 或
16、cosx4（舍），得 x或 x，即函数 f（x）在0，2上的零点为或 19【解答】解：（1）函数 F（x）x 不是 函数，h（x）sinx 是 函数，证明：假设函数 F（x）x 是 函数，则 F（x）TF（x+T），即 xT（x+T）对任意的 xR 成立，令 x0，得 T20，所以 T0，这与 T0 相矛盾，故假设不成立，所以函数 F（x）x 不是 函数；因为当 T1 时，Th（x+T）sin（x1）sin（x）sin（x）sinxh（x），根据定义可知 h（x）sinx 是 函数（2）因为函数 f（x）是 函数，所以存在常数 T0，使得 f（x）Tf（x+T）对任意的 xR 成立，所以 f（
17、x）Tf（x+T），又 f（x）为偶函数，所以 f（x）f（x），所以 Tf（x+T）Tf（x+T），因为 T0，所以 f（x+T）f（x+T），又 f（x）为偶函数，所以 f（x+T）f（xT），所以 f（xT）f（x+T），所以 f（x）f（x+2T），因为 T0，所以 f（x）是周期为 2T的周期函数（3）因为函数 f（x）sinkx 是 函数，第11页/共11页 所以存在常数 T0，使得 f（x）Tf（x+T）对任意的 xR 成立，即 sinkxTsink（x+T）Tsin（kx+kT），即 sinkxTsinkxcoskT+TcoskxsinkT对任意的 xR 成立，所以，因为 T0，则，又 sin2kT+cos2kT1，所以，即 T1，此时 kt，tZ，即实数 k 的取值范围是k|kt，tZ（4）令 g（x）3xsin2x，因为，故满足；又 g（x+2）3x+2sin2（x+2）3x+2sin（2x+4）3x+2sin2x93xsin2x9g（x），故满足；因为 ysin2x 在定义域上不单调且最小正周期为 1，函数在区间，kZ 上单调递增，且函数值为正数，在区间，kZ 上单调递减，且函数值为负数，y3x在定义域上单调递增且函数值为正数，所以 g（x）3xsin2x 在定义域上不单调，显然函数是连续函数，故满足；故答案为：g（x）3xsin2x（答案不唯一）
