1、2020 中考数学中考数学 九年级九年级 压轴题汇编压轴题汇编 二次函数专题二次函数专题 （含答案）（含答案） 1. 如图，抛物线 L：yax2bxc 不 x 轴交于 A，B(3，0)两点(A 在 B 的左侧)，不 y 轴交 于点 C(0，3)，已知对称轴 x1. (1)求抛物线 L 的解析式； (2)将抛物线 L 向下平移 h 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在OBC 内(包 括OBC 的边界)，求 h 的取值范围； (3)设点 P 是抛物线 L 上任一点，点 Q 在直线 l：x3 上，PBQ 能否成为以点 P 为 直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点 P 的坐标；若丌能，
2、请说明理由 第 1 题图 解：(1)把 C(0，3)代入 yax2bxc，得 c3， 把 B(3，0)代入 yax2bx3， 得 9a3b30， 又抛物线的对称轴为 x1， 联立 9a3b30 b 2a1 ， 解得 a1 b2 ， 抛物线 L 的解析式是 yx22x3； 设所求抛物线 L 的解析式为 ym(x1)2n， 把 B(3，0)，C(0，3)分别代入得 4mn0 mn3 ，解得 m1 n4 ， 抛物线 L 的解析式是 y(x1)24，即 yx22x3. (2)由 yx22x3(x1)24 得抛物线的顶点 D(1，4)， 如解图，过点 D 作 y 轴的平行线分别交 CB，OB 于点 E、
3、F， 则BEFBCO， EF OC BF BO， EF2， 42h4，即 2h4； 第 1 题解图 (3)能 设 P(x，x22x3)，如解图，过点 P 分别作 x 轴、直线 l 的垂线，垂足分别是点 M，N， 第 1 题解图 NPMQPB90 ，即NPQMPB， 又PBPQ 且PMBPNQ90 ， PMBPNQ(AAS)， PMPN. 当点 P 在 x 轴上方时，x22x3x3， 即 x2x0，解得 x10，x21， P1(0，3)，P2(1，4)； 当点 P 在 x 轴下方，直线 l 右侧时，(x22x3)x3， 即 x23x60，解得 x 3 33 2 ， 分别代入 yx22x3 得 P
4、3( 3 33 2 ， 9 33 2 )，P4( 3 33 2 ， 9 33 2 )， 当点 P 在 x 轴下方，直线 l 左侧时，(x22x3)3x， 解得 x10(舍去)，x21(舍去)， 综上所述， 满足条件的点 P 有四个点， 分别是 P1(0， 3)， P2(1， 4)， P3( 3 33 2 ， 9 33 2 )， P4( 3 33 2 ， 9 33 2 ) 2. 如图，直线 y 3 3 x 3分别不 x 轴、y 轴交于 B、C 两点，点 A 在 x 轴上， ACB90 ，抛物线 yax2bx 3经过 A、B 两点 第 2 题图 (1)求 A、B 两点的坐标； (2)求抛物线的解析
5、式； (3)点 M 是直线 BC 上方抛物线上的一点，过点 M 作 MHBC 于点 H，作 MDy 轴交 BC 于点 D，求DMH 周长的最大值 解：(1)直线 y 3 3 x 3分别不 x 轴、y 轴交于 B、C 两点， B(3，0)，C(0， 3)， OB3，OC 3， tanBCO 3 3 3， BCO60 ， ACB90 ， ACO30 ， tan30AO CO 3 3 ，即AO 3 3 3 ，解得 AO1， A(1，0)； (2)抛物线 yax2bx 3经过 A，B 两点， ab 30 9a3b 30 ，解得 a 3 3 b2 3 3 ， 抛物线解析式为 y 3 3 x22 3 3
6、x 3； (3)MDy 轴，MHBC， MDHBCO60 ， 则DMH30 ， DH1 2DM，MH 3 2 DM， DMH 的周长DMDHMHDM1 2DM 3 2 DM 3 3 2 DM， 当 DM 有最大值时，其周长有最大值， 点 M 是直线 BC 上方抛物线上的一点， 可设 M(t， 3 3 t22 3 3 t 3)， D(t， 3 3 t 3)， DM 3 3 t22 3 3 t 3( 3 3 t 3) 3 3 (t3 2) 23 3 4 ， 当 t3 2时，DM 有最大值，最大值为 3 3 4 ， 此时 3 3 2 DM 3 3 2 3 3 4 9 39 8 ， 即DMH 周长的最
7、大值为 9 39 8 . 3. 已知抛物线 yx2bxc 不 x 轴交于点 A(m2，0)和 B(2m1，0)(点 A 在点 B 的左侧)，不 y 轴相交于点 C，顶点为 P，对称轴为 l：x1. (1)求抛物线解析式； (2)直线 ykx2(k0)不抛物线相交于两点 M(x1，y1)，N(x2，y2)(x12， x 62 15 3 ， M 点坐标为( 62 15 3 ，2)； 当 AF 为平行四边形的对角线时， A(4，0)，F(2，2)， 线段 AF 的中点为(3，1)，即平行四边形的对称中心为(3，1)， 设 M(t，3 4t 23t)，N(x，0)， 则3 4t 23t2， 解得 t
8、62 3 3 ， 点 M 在抛物线对称轴右侧， x2， t 62 3 3 ， M 点坐标为( 62 3 3 ，2)， 综上可知，存在满足条件的点 M，其坐标为( 62 3 3 ，2)或( 62 15 3 ，2) 8. 如图，抛物线 yx2bxc 经过 A(1，0)，B(3，0)两点，且不 y 轴交于点 C， 点 D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 E，连接 BD. (1)求经过 A，B，C 三点的抛物线的函数表达式； (2)点 P 是线段 BD 上一点，当 PEPC 时，求点 P 的坐标； (3)在(2)的条件下，过点 P 作 PFx 轴于点 F，G 为抛物线上一动点，M
9、 为 x 轴上一动 点，N 为直线 PF 上一动点，当以 F、M、N、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标 解：(1)抛物线 yx2bxc 经过 A(1，0)，B(3，0)两点， 1bc0 93bc0 ，解得 b2 c3 ， 经过 A，B，C 三点的抛物线的函数表达式为 yx22x3； (2)如解图，连接 PC、PE. 第 8 题解图 抛物线对称轴为直线 x b 2a 2 2（1）1， 当 x1 时，y1234， 点 D 的坐标为(1，4)， 设直线 BD 的解析式为：ymxn(m0)， 将 B(3，0)和 D(1，4)分别代入，得 03mn 4mn ，解得 m2 n6 ， 则
10、y2x6， 设点 P 坐标为(x，2x6)， C(0，3)，E(1，0)， 由勾股定理可得： PC2x23(2x6)2， PE2(x1)2(2x6)2， 又PCPE， x2(32x6)2(x1)2(2x6)2， 解得 x2，则 y2262， 点 P 坐标为(2，2)； 第 8 题解图 (3)依题意可设点 M 坐标为(a，0)，则点 G 坐标为(a，a22a3) 如解图，以 F、M、N、G 为顶点的四边形是正方形时，必有 FMMG， |2a|a22a3|， 2a(a22a3)， 解得 a 1 21 2 ， 2aa22a3， 解得 a 3 13 2 ， M 点的坐标为( 1 21 2 ，0)，(
11、1 21 2 ，0)，( 3 13 2 ，0)，( 3 13 2 ，0) 9. 如图，抛物线 y1 2x 2bxc 不 x 轴交于点 A 和点 B，不 y 轴交于点 C，点 B 坐 标为(6，0)，点 C 坐标为(0，6)，点 D 是抛物线的顶点，过点 D 作 x 轴的垂线， 垂足为 E，连接 BD. (1)求抛物线的解析式及点 D 的坐标； (2)点 F 是抛物线上的动点，当FBABDE 时，求点 F 的坐标； (3)若点 M 是抛物线上的动点， 过点 M 作 MNx 轴不抛物线交于点 N， 点 P 在 x 轴上， 在平面内是否存在一点 Q，使四边形 MPNQ 是以线段 MN 为对角线的正方
12、形？若存在，求 出点 Q 的坐标；若丌存在，请说明理由 解：(1)把点 B(6，0)、C(0，6)代入 y1 2x 2bxc 中得， 186bc0 c6 ，解得 b2 c6 ， 抛物线的解析式为 y1 2x 22x6. 将解析式化为顶点式为 y1 2(x2) 28， 顶点 D 的坐标为(2，8)； (2)设 F(x，1 2x 22x6)，如解图， 当点 F 在 x 轴上方时，过 F 作 FGx 轴于点 G， FBABDE，FGBDEB90 ， 第 9 题解图 BFGDBE， FG BE BG DE， BE624，DE8， FG BG BE DE 4 8 1 2， BG2FG， 即 6x2(1
13、2x 22x6)， 化简得 x25x60， 解得 x11，x26(丌合题意)， 当 x1 时，1 2x 22x67 2， F(1，7 2)； 当点 F 在 x 轴下方时，如解图，记为 F，同理可得 6x2(1 2x 22x6) 化简得 x23x180 解得 x13，x26(丌合题意)， 当 x3 时，1 2x 22x69 2， F(3，9 2)， 综上所述，点 F 的坐标为(1，7 2)或(3， 9 2)； 第 9 题解图 (3)假设存在点 Q 使四边形 MPNQ 是以线段 MN 为对角线的正方形， 由正方形的性质可知，点 P 就是抛物线对称轴不 x 轴的交点，如解图，直线 l1，l2 即是正
14、方形边所在的直线，分别不抛物线交于点 M2、N1、M1、N2，M1N1、M2N2分别不对 称轴交于点 E1、E2. 设直线 l1的表达式为 yxb， l1过点 P(2，0)， l1的表达式为 yx2， 联立方程组得 y1 2x 22x6 yx2 ，解得 x11 17 y1 171 ， x21 17 y2 171 ， N1(1 17， 171)，M2(1 17， 171)； 又Q1E1E1PE1N1E1M1，Q2E2E2PM2E2E2N2，点 Q1、Q2都在抛物线的对称 轴上， 存在满足条件的点 Q，点 Q 的坐标分别为(2，2 172)，(2，2 172) 10. 如图，抛物线 y1 4x 2
15、1 2x 3 4不 x 轴交于 A，C 两点(点 A 在点 C 的左边)，直线 ykxb(k0)分别交 x 轴，y 轴于 A，B 两点，且除了点 A 之外，该直线不抛物 线没有其他任何交点 (1)求 A，C 两点的坐标； (2)求 k，b 的值； (3)设点 P 是抛物线上的动点，过点 P 作直线 ykxb(k0)的垂线，垂足为 H，交抛 物线的对称轴于点 D，求 PHDH 的最小值，并求出此时点 P 的坐标 第 10 题图 解： (1)令 y0，即1 4x 21 2x 3 40， 解得 x13，x21， 点 A 在点 C 的左边， A(3，0)，C(1，0)； (2)把 A(3，0)代入 y
16、kxb，得3kb0，解得 b3k， 联立 y1 4x 21 2x 3 4 ykxb ， 得1 4x 21 2x 3 4kxb，即 x 2(24k)x34b0， 直线 ykxb 不抛物线有唯一公共点， b24ac(24k)24(4b3)0， 把 b3k 代入(24k)24(4b3)0，得 (24k)24(12k3)0， 解得 k1k21， b3； (3)如解图，过点 H 作 HG对称轴于点 G，过点 P 作 PF对称轴于点 F，设直线 AB 不对称轴交于点 E，对称轴不 x 轴交于点 M， 由抛物线解析式知，对称轴为 x1， 第 10 题解图 由(2)知，直线 AB 的解析式为 yx3， 由直线 AB 知EAOEHGAEMFPDPDF45 ， 当 x1 时，yx32，即 E(1，2)， 设 P(x，1 4x 21 2x 3 4)，则 PFFD1x， EDEMMFFD 2(1 4x 21 2x 3 4)(1x) 1 4x 21 2x 1 4， PD 2FD 2(1x)， DHHE 2 2 ED 2 2 (1 4x 21 2x 1 4)， PHDHDHPDDH2DHPD 2(1 4x 21 2x 1 4) 2(1x) 2 4 x2 2 2 x 5 2 4 ， 当 x b 2a1 时，PHDH 取得最小值，最小值为 4acb2 4a 2.
