1、 【典例分析】 例 1 如图，抛物线顶点 P（1，4） ，与 y 轴交于点 C（0，3） ，与 x 轴交于点 A，B （1）求抛物线的解析式 （2）Q 是抛物线上除点 P 外一点，BCQ 与BCP 的面积相等，求点 Q 的坐标 （3）若 M，N 为抛物线上两个动点，分别过点 M，N 作直线 BC 的垂线段，垂足分别为 D，E是否存在 点 M，N 使四边形 MNED 为正方形？如果存在，求正方形 MNED 的边长；如果不存在，请说明理由 例 2 如图，已知抛物线与 轴分别交于原点 和点，与对称轴 交于点.矩形的 边在 轴正半轴上，且，边，与抛物线分别交于点 ， .当矩形沿 轴正方向平移，点 ，
2、位于对称轴 的同侧时，连接，此时，四边形的面积记为 ；点 ， 位于对称轴 的两侧时，连接 ，此时五边形的面积记为 .将点 与点 重合的位置作为矩形平移的起点，设矩形 平移的长度为. （1）求出这条抛物线的表达式； （2）当时，求的值； （3）当矩形沿着 轴的正方向平移时，求 关于的函数表达式，并求出 为何值时， 有最大 值，最大值是多少？ 例 3 如图，抛物线 2 :7Wyaxbx的顶点为3,2 （1）求抛物线W的函数表达式 （2）若抛物线形 W 与W关于x轴对称，求抛物线 W 的函数表达式 （3）在（2）的基础上，设W上的点M、N始终与 W 上的点 M 、 N 分别关于x轴对称，是否存在 点
3、M、N（M、N分别位于抛物线对称轴两侧，且M在N的左侧） ，使四边形MMNN 为正方形？ 若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由 例 4 如图，正方形 ABCD 的顶点 A、B 分别在 y 轴和 x 轴上，且 A 点的坐标为（0,1） ，正方形的边长为. (1) 直接写出 D、C 两点的坐标； （2）求经过 A、D、C 三点的抛物线的关系式； （3）若正方形以每秒个单位长度的速度匀速沿射线下滑，直至顶点落在轴上时停 止设正方 形落在轴下方部分的面积为 S，求 S 关于滑行时间 的函数关系式，并写出相应自变量 的取值范围； （4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，到顶点落在轴上时，求
4、抛物线上两点间的抛 物线弧所扫过的面积 例 5 如图，已知抛物线 y=ax2+bx3 过点 A（1，0） ，B（3，0） ，点 M、N 为抛物线上的动点，过点 M 作 MDy 轴，交直线 BC 于点 D，交 x 轴于点 E过点 N 作 NFx 轴，垂足为点 F (1)求二次函数 y=ax2+bx3 的表达式； (2)若 M 点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形 MNFE 为正方形，求该正方形的面积； (3)若 M 点是抛物线上对称轴左侧的点，且DMN=90 ，MD=MN，请直接写出点 M 的横坐标 来源:学。科。网 【变式训练】 1如图， 为坐标原点，边长为的正方形的顶点 在 轴的正半轴上，将
5、正方形 OABC 绕顶点 顺时 针旋转，使点 落在某抛物线的图象上，则该抛物线的解析式为（ ） A B C D 2如图，边长为 1 的正方形 ABCD 顶点 A（0，1） ，B（1，1） ；一抛物线 y=ax2+bx+c 过点 M（1，0） 且顶点在正方形 ABCD 内部（包括在正方形的边上） ，则 a 的取值范围是（ ） A2a1 B2a C1a D1a 3如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yax2c（a0）的图象过面积为 2 1 的正方形 ABOC 的三个顶 点 A、B、C，则 a 的值为 4如图，正方形的顶点 ， 与正方形的顶点 ， 同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落 在和 轴上，
6、正方形边与同时落在 轴上，若正方形的边长为 ，则正方形的边长为 _ 5如图 4，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点 A（2，0） ，B（6，0） ，交 y 轴于点 C，且 SABC=16 （1）求点 C 的坐标； （2）求抛物线的解析式及其对称轴； （3）若正方形 DEFG 内接于抛物线和 x 轴（边 FG 在 x 轴上，点 D，E 分别在抛物线上） ，求 S正方形DEFG 6如图 1：矩形 OABC 的顶点 A、B 在抛物线上，OC 在轴上，且 来源:学&科 &网 Z&X&X&K （1）求抛物线的解析式及抛物线的对称轴 （2）如图 2，边长为的正方形 ABCD 的边 CD 在轴上
7、，A、B 两点在抛物线上，请用含的代数式表示 点 B 的坐标,并求出正方形边长的值 7如图，正方形 OABC 的边长为 4,对角线相交于点 P，顶点 A、C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，抛物线 L 经过 0、P、A 三点，点 E 是正方形内的抛物线上的动点. (1)点 P 的坐标为_ (2)求抛物线 L 的解析式. (3)求OAE 与OCE 的面积之和的最大值. 8如图 1，在直角坐标系中，已知点 A（0，2） 、点 B（2，0） ，过点 B 和线 段 OA 的中点 C 作直线 BC，以线段 BC 为边向上作正方形 BCDE. （1）填空：点 D 的坐标为（ ） ，点 E 的坐标为（ ）
8、. （2）若抛物线 2 yaxbxc(a0)经过 A、D、E 三点，求该抛物线的解析式 （3）若正方形和抛物线均以每秒5个单位长度的速度沿射线 BC 同时向上平移，直至正方形的顶点 E 落在 y 轴上时，正方形和抛物线均停止运动. 在运动过程中，设正方形落在 y 轴右侧部分的面积为 s，求 s关于平移时间 t（秒）的函数关系式， 并写出相应自变量 t 的取值范围. 运动停止时，求抛物线的顶点坐标 9如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C，点 B 坐标为（6，0） ，点 C 坐标 为（0，6） ，点 D 是抛物线的顶点，过点 D 作 x 轴的垂线
9、，垂足为 E，连接 BD （1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标； （2）点 F 是抛物线上的动点，当FBA=BDE 时，求点 F 的坐标； 来源:Zxxk.Com （3）若点 P 是 x 轴上方抛物线上的动点，以 PB为边作正方形 PBFG，随着点 P 的运动，正方形的大小、 位置也随着改变，当顶点 F 或 G 恰好落在 y 轴上时，请直接写出点 P 的横坐标 10如图，已 知直线交坐标轴于两点，以线段为边向上作正方形 ，过点 的抛物线与直线另一个交点为 （1）请直接写出点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑，直至顶点落在 x 轴上时停止设正方形
10、落 在轴下方部分的面积为，求关于滑行时间 的函数关系式，并写出相应自变量 的取值范围； （4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上两点间的抛物线弧所扫过 的面积 11如图，抛物线 y=ax2+bx（a0）过点 E（10，0） ，矩形 ABCD 的边 AB 在线段 OE 上（点 A 在点 B 的左 边） ，点 C，D 在抛物线上设 A（t，0） ，当 t=2 时，AD=4 （1）求抛物线的函数表达式 （2）当 t 为何值时，矩形 ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？ （3）保持 t=2 时的矩形 ABCD 不动，向右平移抛物线当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 G
11、，H， 且直线 GH 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离 12如图，四边形 ABCO 为矩形，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，且点 B 的坐标为（2,1） ，将此矩形绕点 O 逆时针旋转 90 得矩形 DEFO，抛物线 y=-x2+bx+c 过 B、E 两点. （1）求此抛物线的函数解析式. （2）将矩形 DEFO 向右平移，当点 E 的对应点 E在抛物线上时，求线段 DF 扫过的面积. （3）若将矩形 ABCO 向上平移 d 个单位长度后，能使此抛物线的顶点在此矩形的边上，求 d 的值. 13如图 1，平面直角坐标系中，点，OC=8，若抛物线平移后经过 C，D 两点，得到 图
12、1 中的抛物线 W （1）求抛物线 W 的表达式及抛物线 W 与 轴另一个交点 的坐标； （2）如图 2，以 OA，OC 为边作矩形 OABC，连结 OB，若矩形 OABC 从 O 点出发沿射线 OB 方向匀速运 动，速度为每秒 1 个单位得到矩形，求当点落在抛物线 W 上时矩形的运动时间； （3）在（2）的条件下，如图 3，矩形从 O 点出发的同时，点 P 从出发沿矩形的边以每秒 个单位的速度匀速运动，当点 P 到达 时，矩形和点 P 同时停止运动，设运动时间为 秒 请用含 的代数式表示点 P 的坐标； 已知：点 P 在边上运动时所经过的路径是一条线段，求点 P 在边上运动多少秒时，点 D
13、到 CP 的 距离最大 14如图，将矩形 OABC 置于平面直角坐标系 xOy 中，A（2 3，0） ，C（0，2） （1）抛物线 y=-x2+bx+c 经过点 B、C，求该抛物线的解析式； （2）将矩形 OABC 绕原点顺时针旋转一个角度 （0 90 ） ，在旋转过程中，当矩形的顶点落在（1） 中的抛物线的对称轴上时，求此时这个顶点的坐标； （3）如图（2） ，将矩形 OABC 绕原点顺时针旋转一个角度 （0 180 ） ，将得到矩形 OABC，设 AC 的中点为点 E，连接 CE，当 = 时，线段 CE 的长度最大，最大值为 15如图，矩形的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，
14、点 B 的坐标为（10，8） ，沿直线 OD 折叠矩形，使 点 A 正好落在 BC 上的 E 处，E 点坐标为（6，8） ，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 O、A、E 三点 （1）求此抛物线的解析式； （2）求 AD 的长； （3）点 P 是抛物线对称轴上的一动点，当PAD 的周长最小时，求点 P 的坐标 16如图，抛物线与 轴交于 ， 两点（点 在 轴的正半轴上） ，与 轴交于点 ，矩形 的一条边在线段上，顶点 ， 分别在线段，上 求点 ， ， 的坐标； 若点 的坐标为，矩形的面积为 ，求 关于 的函数表达式，并指出 的取值范围； 当矩形的面积 取最大值时， 求直线的解析式； 在射线上取
15、一点 ，使，若点 恰好落在该抛物线上，则 _ 17如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 为坐标原点，顶点 A、C 的坐标分别为（0，） 、 （2，0） ，将矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 45 得到矩形 OABC，边 AB与 y 轴交于点 D，经过坐标原 点的抛物线 y=ax2+bx 同时经过点 A、C （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）写出点 B的坐标； 来源:学。科。网 （3） 点 P 是边 OC上一点， 过点 P 作 PQOC， 交抛物线位于 y 轴右侧部分于点 Q， 连接 OQ、 DQ， 设ODQ 的面积为 S，当直线 PQ 将矩形 OABC的面积分为 1
16、：3 的两部分时，求 S 的值； （4）保持矩形 OABC不动，将矩形 OABC 沿射线 CO 方向以每秒 1 个单位长度的速度平移，设平移时间 为 t 秒（t0） 当矩形 OABC 与矩形 OABC重叠部分图形为轴对称多边形时，直接写出 t 的取值范围 18在直角坐标系中，点 A 是抛物线 yx2在第二象限上的点，连接 OA，过点 O 作 OBOA，交抛物线 于点 B，以 OA、OB 为边构造矩形 AOBC 1 2 (1)如图 1，当点 A 的横坐标为 时，矩形 AOBC 是正方形； (2)如图 2，当点 A 的横坐标为时， 来源:Z#xx#k.Com 求点 B 的坐标； 将抛物线 yx2作
17、关于 x 轴的轴对称变换得到抛物线 yx2，试判断抛物线 yx2经过平移交换后， 能否经过 A，B，C 三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由 19如图，已知抛物线与直线交于点， 求抛物线的解析式 点 是抛物线上 、 之间的一个动点，过点 分别作 轴、 轴的平行线与直线交于点 、 ，以、 为边构造矩形，设点 的坐标为，求 ， 之间的关系式 将射线绕原点逆时针旋转后与抛物线交于点 ，求 点的坐标 20如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A(0，3)、C(1，0)将矩形 OABC 绕原点 O 顺时针 方向旋转 90o， 得到矩形 OABC 设直线 BB与 x 轴交于点 M、 与 y 轴交于点 N， 抛物线经过点 C、 M、 N 解 答下列问题： (1)求直线 BB的 函数解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)在抛物线上求出使 SPB C=S矩形OABC的所有点 P 的坐标
