1、 1 / 8 人教 A 版选修 2-3 高二数学下册期末考点完全梳理：计数原理 1分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法， 那么完成这件事共有 Nmn 种不同的方法 例 1(P19例 4 改编)从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种 数有( ) A30 B20 C10 D6 【答案】【答案】D 从 0,1,2,3,4,5 六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类：取出的两数都是偶数， 共有3种方法；取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N336种 2分步乘法
2、计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件 事共有 Nmn 种不同的方法 3. 利用分步乘法计数原理解题时 3 个注意点 (1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的 (2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事 (3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定 例2(2018 山东济南期末)从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a，b组成复数abi，其中虚 数有( ) A30 个 B42 个 C36 个 D35 个 【答案】【答案】C abi 为虚数，b0，即 b 有 6
3、 种取法，a 有 6 种取法，由分步乘法计数原理知可 以组成 6 636 个虚数 练习(全国卷)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公 寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A24 B18 C12 D9 【答案】【答案】B 从 E 点到 F 点的最短路径有 6 种，从 F 点到 G 点的最短路径有 3 种，所以从 E 点到 G 点的最短路径为 6 318 种 练习有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则不同的报名方法 有_种 2 / 8 【答案】【答案】120 每项限报一人，且每人至多参加一项
4、，因此可由项目选人，第一个项目有 6 种选法， 第二个项目有 5 种选法，第三个项目有 4 种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有 6 5 4120 种 变式探究1 本题2中将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每 项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？ 解 每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有 3 种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理， 可得不同的报名方法共有 36729 种 变式探究2 本题2中将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人 参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？ 解 每人参加的项目不限，因此每
5、一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原 理，可得不同的报名方法共有 63216 种 4两个计数原理的比较 名称 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 都是解决完成一件事的不同方法的种数问题 不同点 运用加法运算 运用乘法运算 分类完成一件事，并且每类办法中的每种 方法都能独立完成这件事情，要注意 “类”与“类”之间的独立性和并列 性分类计数原理可利用“并联”电路来 理解 分步完成一件事，并且只有各个 步骤都完成才算完成这件事情， 要注意“步”与“步”之间的连 续性分步计数原理可利用“串 联”电路来理解 例 3(2019 四川成都月考)如图，从 A 城到 B 城有 3 条
6、路；从 B 城到 D 城有 4 条路；从 A 城到 C 城有 4 条路；从 C 城到 D 城有 5 条路，则某旅客从 A 城到 D 城共有_条不同的路线 【答案】【答案】32 不同路线共有 3 44 532(条) 练习. (2019 山东滨州模拟)已知集合 M1，2,3，N4,5,6，7，从两个集合中各选一个数 作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第三、四象限内不同点的个数为( ) A18 个 B10 个 C16 个 D14 个 【答案】【答案】B 第三、四象限内点的纵坐标为负值，横坐标无限制，分两种情况讨论： 第一种：取 M 中的点作横作标，取 N 中的点作纵坐标，共有 326 种
7、； 3 / 8 第二种：取 N 中的点作横坐标，取 M 中的点作纵坐标，共有 414 种 综上所述，共有 4610 种 5排列与排列数 (1)排列：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的一个排列 (2)排列数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m 个元素的排列数，记作 Am n 6. 求解排列问题的六种主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素 的内部排列 插空法 对
8、不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素 插在前面元素排列的空当中 定序问题 除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的 全排列 间接法 正难则反、等价转化的方法 例 4(2019 山东东营月考)某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么 全班共写了_条毕业留言(用数字作答) 【答案】 1 560 由于 40 个人中每两人之间都要写留言，故为排列问题，则 A24040391 560(条) 7组合与组合数 (1)组合：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一 个组合 (2
9、)组合数：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的组合数，记作 Cm n 8解决组合应用题的 2 个步骤 第一步，整体分类：要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类加法计数原理 第二步，局部分步，用到分步乘法计数原理 9含有附加条件的组合问题的 2 种方法 通常用直接法或间接法，应注意“至少”“最多”“恰好”等词的含义的理解，对于涉及“至 少”“至多”等词的组合问题，既可考虑反面情形即间接求解，也可以分类研究进行直接求解 例 5、（2019 年沙坪坝区月考）要从 12 人中选出 5 人去参加一项活动，A，B，C 三人必须入选，则有
10、 _种不同选法 4 / 8 【答案】36 只需从 A，B，C 之外的 9 人中选择 2 人，即有 C2936 种选法 变式探究 1 本例中若将条件“A，B，C 三人必须入选”改为“A，B，C 三人都不能入选”，其他 条件不变，则不同的选法有多少种？ 解 由 A，B，C 三人都不能入选只需从余下 9 人中选择 5 人，即有 C59C49126 种选法 变式探究 2 本例中若将条件“A，B，C 三人必须入选”改为“A，B，C 三人只有一人入选”，其 他条件不变，则不同的选法有多少种？ 解 可分两步，先从 A，B，C 三人中选出 1 人，有 C13种选法，再从余下的 9 人中选 4 人，有 C49种
11、选 法，所以共有 C13C49378 种选法 变式探究 3 本例中若将条件“A，B，C 三人必须入选”改为“A，B，C 三人至少一人入选”，其 他条件不变，则不同的选法有多少种？ 解 可考虑间接法，从 12 人中选 5 人共有 C512种，再减去 A，B，C 三人都不入选的情况 C59种，共有 C512C59666 种选法 变式探究 4 本例中若将条件“A，B，C 三人必须入选”改为“A，B，C 三人至多两人入选”，其 他条件不变，则不同的选法有多少种？ 解 可考虑间接法，从 12 人中选 5 人共有 C512种，再减去 A，B，C 三人都入选的情况有 C29种，所以共 有 C512C2975
12、6 种选法 10排列数、组合数的公式及性质 公式 排列数公式 Am nn(n1)(n2)(nm1) n！ nm！ 组合数公式 Cm nA m n Am m nn1nm1 m！ n！ m！nm！ 性质 (1)Annn！； (2)0！1 (1)C0n1； (2)Cm nC nm n ； (3)Cm nC m1 n Cm n1 备注 n，mN*且 mn 11掌握排列组合的三个原则和两个优先 三个原则：(1)有序排列，无序组合；(2)先选后排；(3)复杂问题分类化简或正难则反 两个优先：(1)特殊元素优先；(2)特殊位置优先 12正确理解组合数的性质 (1)Cm nC nm n ：从 n 个不同元素中
13、取出 m 个元素的方数法等于取出剩余 nm 个元素的方法数 (2) Cm nC m1 n Cm n1：从 n1 个不同元素中取出 m 个元素可分为以下两种情况：不含特殊元素 A 有 5 / 8 Cm n种方法；含特殊元素 A 有 C m1 n 种方法 例 6(2019 甘肃兰州模拟)某班 3 名同学去参加 5 项活动，每人只参加 1 项，同一项活动最多 2 人参 加，则 3 人参加活动的方案共有_种(用数字作答). 【答案】120 A35C23A25120(种) 分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分 配关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分三
14、种，无论分成几组，应注意只要有一些组中元素的 个数相等，就存在均分现象 （1）整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要 除以 Ann(n 为均分的组数)，避免重复计数 例 7、（2019 年福建月考）国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专 业师范生，毕业后要分到相应的地区任教现有 6 个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到 3 所学校 去任教，有_种不同的分派方法 【答案】【答案】 90 先把 6 个毕业生平均分成 3 组，有C 2 6C 2 4C 2 2 A33 种方法，再将 3 组毕业生分到 3 所学校，有 A33 6
15、 种方法，故 6 个毕业生平均分到 3 所学校，共有C 2 6C 2 4C 2 2 A33 A3390 种分派方法 （2） 局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有 m 组元素个数相等，则分组 时应除以 m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数 例 8、（2019 年沈阳月考）将 6 本不同的书分给甲、乙、丙、丁 4 个人，每人至少 1 本的不同分法共 有_种(用数字作答) 【答案】【答案】1 560 把 6 本不同的书分成 4 组，每组至少 1 本的分法有 2 种 有 1 组 3 本，其余 3 组每组 1 本，不同的分法共有C 3 6C 1 3C
16、 1 2C 1 1 A33 20(种)； 有 2 组每组 2 本，其余 2 组每组 1 本，不同的分法共有C 2 6C 2 4 A22 C12C11 A22 45(种) 所以不同的分组方法共有 204565(种) 然后把分好的 4 组书分给 4 个人，所以不同的分法共有 65A441 560(种) (3)不等分问题，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全 排列数 例 9、（2019 年海南月考）若将 6 名教师分到 3 所中学任教，一所 1 名，一所 2 名，一所 3 名，则有 _种不同的分法 【答案】【答案】360 将 6 名教师分组，分三步完成： 第 1
17、 步，在 6 名教师中任取 1 名作为一组，有 C16种分法； 第 2 步，在余下的 5 名教师中任取 2 名作为一组，有 C25种分法； 第 3 步，余下的 3 名教师作为一组，有 C33种分法 根据分步乘法计数原理，共有 C16C25C3360 种分法 6 / 8 再将这 3 组教师分配到 3 所中学，有 A336 种分法， 故共有 606360 种不同的分法 练习. (2019 江南名校联考)将甲、乙等 5 位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所 大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有( ) A240 种 B180 种 C150 种 D540 种 【答案】【答案
18、】C 5 名学生可分为 2,2,1 和 3,1,1 两组方式当 5 名学生分成 2,2,1 时，共有1 2C 2 5C 2 3A 3 390 种 方法；当 5 名学生分成 3,1,1 时，共有 C35A3360 种方法由分类加法计数原理知共有 9060150 种保送 方法 13二项式定理 二项式定理 (ab)nC0nanC1nan 1bCk na nkbkCn nb n(nN*) 二项式系数 二项展开式中各项系数 Ckn(k0,1，n) 二项式通项 Tk1Cknan kbk，它表示第 k1 项 14. 求二项展开式中的项的 3 种方法 求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项 Tk1Cknan
19、 kbk 的特点，一般需要建立方程求 k，再将 k 的值代回通项求解，注意 k 的取值范围(k0,1,2，n) (1)第 m 项：此时 k1m，直接代入通项 (2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为 0 建立方程 (3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解 例 10、(全国卷)(xy)(2xy)5的展开式中 x3y3的系数为( ) A80 B40 C40 D80 【答案】【答案】C (2xy)5展开式的通项为 Tr1Cr5 (2x)5 r(y)r，其中 x2y3 的系数为4C3540，x3y2的 系数为
20、8C2580，故(xy) (2xy)5的展开式中 x3y3的系数为 804040 练习. (2019 安徽合肥模拟)在 x1 x1 4的展开式中，常数项为_ 【答案】【答案】5 由题知，二项式展开式为 C04 x1 x 4 (1)0C1 4 x1 x 3 (1)C2 4 x1 x 2 (1)2C3 4 x1 x (1)3C44 x1 x 0 (1)4，则常数项为 C0 4 C 2 4C 2 4 C 1 2C 4 461215. 练习. (2018 全国卷) x22 x 5的展开式中 x4的系数为( ) A10 B20 C40 D80 7 / 8 【答案】【答案】C 由二项式定理，得 x22 x
21、 5 的第 r1 项为 Tr1Cr5(x2)5 r 2 x r2rCr 5 x 103r，由 103r 4，得 r2，所以 x4的系数为 22C2540. 15二项式系数的性质 16. 赋值法的应用 (1)对形如(axb)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，常用赋值法，只需令 x1 即可 (2)对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 xy1 即可 (3)一般地，对于多项式(abx)na0a1xa2x2anxn，令 g(x)(abx)n，则 (abx)n展开式中各项的系数的和为 g(1)， (abx)n展开式中奇数项的系数和为1 2g(1)g(1)， (ab
22、x)n展开式中偶数项的系数和为1 2g(1)g(1) 例 11、(2019 四川南充模拟)若(12x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则 a1a2a3a4 _ 【答案】【答案】 0 令x1可得a0a1a2a3a41；令 x0，可得 a01，所以 a1a2a3a40. 变式探究 将本例(2)变为“若(12x)2 020a0a1xa2x2a2 020x 2 020，则a1 2 a2 22 a2 020 22 020的结 果是多少？ 解 当 x0 时，左边1，右边a0，a01 当 x1 2时，左边0，右边a0 a1 2 a2 22 a2 020 22 020， 01a1 2 a2 22 a2 020 22 020 即a1 2 a2 22 a2 020 22 0201 练习(2019 陕西西安月考)已知(2x)10a0a1xa2x2a10x10，则 a8等于( ) 8 / 8 A180 B180 C45 D45 【答案】【答案】A 由题意得 a8C81022(1)8180.
