1、人教 A 版选修 2-3 高二数学下册期末考点完全梳理：随机变量及其分布 1离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机 变量 2离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，xi，xn，X 取每一个值 xi(i1,2， n)的概率 P(Xxi)pi，则下表称为离散型随机变量 X 的概率分布列. X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn (2)离散型随机变量的分布列的性质： pi0(i1,2，n)；p1p2p3pn1 例 1(2019 山东济宁检测)已知随机变量 X 的分
2、布列为：P(Xk) 1 2k，k1,2，则 P(20，称 P(B|A)PAB PA 为在事件 A 发生条件下，事件 B 发生的条 件概率 (2)性质 0P(B|A)1； 如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(BC|A)P(B|A)P(C|A) 条件概率的求法 1)定义法：先求 P(A)和 P(AB)，再由 P(B|A)PAB PA 求 P(B|A) 2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再求事件 AB 所包含的基 本事件数 n(AB)，得 P(B|A)nAB nA 例 3(2019 山东济南模拟)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件
3、 A“取到的 2 个数之和为偶数”， 事件 B“取到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)( ) A1 8 B1 4 C2 5 D1 2 变式探究 1 若将题中的事件 B：“取到的 2 个数均为偶数”改为“取到的 2 个数均为奇数”，则结 果如何？ 变式探究 2 将题改为：从 1,2,3,4,5 中不放回地依次取 2 个数，事件 A 为“第一次取到的是奇数”， 事件 B 为“第二次取到的是奇数”，求 P(B|A)的值 练习(2019 辽宁大连质检)1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球，2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球，现随 机地从 1 号箱中取出一球放入 2 号箱，然后从 2 号箱随
4、机取出一球，则两次都取到红球的概率是( ) A11 27 B11 24 C 8 27 D 9 24 5事件的相互独立性 (1)定义：设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)P(A) P(B)，则称事件 A 与事件 B 相互独立 (2)性质 若事件 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)P(B)，P(A|B)P(A)，P(AB)P(A)P(B) 如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与B ，A与 B，A与B也都相互独立 6. 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)首先判断几个事件的发生是否相互独立 (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有： 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；
5、 正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算 例 4. (2019 云贵川三省联考)某地乒乓球队备战全运会的热身赛暨选拔赛中，种子选手 M 与 B1，B2，B3 三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M 获胜的概率分别为3 4， 2 3， 1 2，且各场比赛 互不影响 (1)若 M 至少获胜两场的概率大于 7 10，则 M 入选征战全运会的最终大名单，否则不予入选，问 M 是否 会入选最终的大名单？ (2)求 M 获胜场数 X 的分布列和数学期望 练习. (2019 山东沂水模拟)甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3 人能被选中的概率 分别为2 5，
6、3 4， 1 3，且各自能否被选中互不影响 (1)求 3 人同时被选中的概率； (2)求 3 人中至少有 1 人被选中的概率 7独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验Ai(i1,2，n)表示第 i 次试验结果，则 P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(An) (2)二项分布 在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率是 p，此时称 随机变量 X 服从二项分布，记作 XB(n，p)，并称 p 为成功概率.在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(Xk)C
7、knpk(1p)n k(k0,1,2，n) 例 5(全国卷)投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的 概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A0.648 B0.432 C0.36 D0.312 练习. (2019 山东济南模拟)某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况，从本市某校高 三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重 3 kg)测试，成绩在 6.9 米以上的为合格把所得数据 进行整理后，分成 5 组画出频率分布直方图的一部分(如图所示)，已知成绩在9.9,11.4)的频数是 4 (1)求这次
8、铅球测试成绩合格的人数； (2)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名，记 表示两人中成绩不合格的人数，利用样本估计总 体，求 的分布列 8均值 (1)一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为： X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则称 E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量 X 的均值或数学期望它反映了离散型随机变量 取值的平均水平 (2)若 YaXb，其中 a，b 为常数，则 Y 也是随机变量，且 E(aXb)aE(X)b (3)若 X 服从两点分布，则 E(X)p； 若 XB(n，p)，则 E(X)np 9方差 (1)设离散型随机变量 X 的分布列为 X
9、x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则(xiE(X)2描述了 xi(i1,2，n)相对于均值 E(X)的偏离程度而 D(X) i1 n (xiE(X)2pi为这些偏 离程度的加权平均， 刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度.称 D(X)为随机变量 X 的方差， 并称其 算术平方根 DX为随机变量 X 的标准差 (2)D(aXb)a2D(X) (3)若 X 服从两点分布，则 D(X)p(1p) (4)若 XB(n，p)，则 D(X)np(1p) 例 6(2019 江西上饶月考)已知随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)，若 E(X)30，D(X)20，则 p _
10、 练习. (2018 全国卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品 作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结 果决定是否对余下的所有产品作检验设每件产品为不合格品的概率都为 p(0 7 10，所以 M 会入选最终的大 名单 (2)M 获胜场数 X 的可能取值为 0,1,2,3，则 P(X0)P(A B C) 13 4 12 3 11 2 1 24； P(X1)P(A B C)P( A BC)P( ABC)3 4 12 3 11 2 13 4 12 3 1 2 13 4 2 3 11 2 6 24 1
11、 4； P(X2)P(ABC )P(ABC)P(ABC) 3 4 2 3 11 2 3 4 12 3 1 2 13 4 2 3 1 2 11 24； P(X3)P(ABC)3 4 2 3 1 2 6 24 1 4，所以 M 获胜场数 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 24 1 4 11 24 1 4 数学期望为 E(X)0 1 241 1 42 11 243 1 4 23 12 练习. (2019 山东沂水模拟)甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3 人能被选中的概率 分别为2 5， 3 4， 1 3，且各自能否被选中互不影响 (1)求 3 人同时被选中的概率； (
12、2)求 3 人中至少有 1 人被选中的概率 解 记甲、乙、丙能被选中的事件分别为 A，B，C，则 P(A)2 5，P(B) 3 4，P(C) 1 3 (1)3 人同时被选中的概率 P1P(ABC)P(A)P(B)P(C)2 5 3 4 1 3 1 10 (2)法一：3 人中有 2 人被选中的概率 P2P(ABC ABCABC) 2 5 3 4 11 3 2 5 13 4 1 3 12 5 3 4 1 3 23 60 3 人中只有 1 人被选中的概率 P3P(AB CABCA BC)2 5 13 4 11 3 12 5 3 4 11 3 12 5 13 4 1 3 5 12 故 3 人中至少有
13、1 人被选中的概率为 P1P2P3 1 10 23 60 5 12 9 10 法二：3 人都未被选中的概率为 P(A B C) 12 5 13 4 11 3 1 10， 所以 3 人中至少有一人被选中的概率为 1 1 10 9 10. 7独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验Ai(i1,2，n)表示第 i 次试验结果，则 P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(An) (2)二项分布 在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率是 p，此时称 随机变量 X 服从二项分布，记作 X
14、B(n，p)，并称 p 为成功概率.在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(Xk)Cknpk(1p)n k(k0,1,2，n) 例 5(全国卷)投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的 概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A0.648 B0.432 C0.36 D0.312 【答案】【答案】 A 3次投篮投中2次的概率为P(k2)C230.62(10.6)， 投中3次的概率为P(k3)0.63， 所以通过测试的概率为 P(k2)P(k3)C230.62(10.6)0.630.648. 练习
15、. (2019 山东济南模拟)某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况，从本市某校高 三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重 3 kg)测试，成绩在 6.9 米以上的为合格把所得数据 进行整理后，分成 5 组画出频率分布直方图的一部分(如图所示)，已知成绩在9.9,11.4)的频数是 4 (1)求这次铅球测试成绩合格的人数； (2)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名，记 表示两人中成绩不合格的人数，利用样本估计总 体，求 的分布列 解 (1)由直方图，知成绩在9.9,11.4)的频率为 1(0.050.220.300.03)1.50.1 因为成绩在9.9,11.4)的
16、频数是 4， 故抽取的总人数为 4 0.140 又成绩在 6.9 米以上的为合格，所以这次铅球测试成绩合格的人数为 400.051.54037 (2) 的所有可能的取值为 0,1,2，利用样本估计总体，从今年该市高中毕业男生中随机抽取一名成绩合 格的概率为37 40，成绩不合格的概率为 137 40 3 40，可判断 B 2， 3 40 P(0)C02 37 40 21 369 1 600， P(1)C12 3 40 37 40 111 800， P(2)C22 3 40 2 9 1 600， 故所求分布列为 X 0 1 2 P 1 369 1 600 111 800 9 1 600 8均值
17、(1)一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为： X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则称 E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量 X 的均值或数学期望它反映了离散型随机变量 取值的平均水平 (2)若 YaXb，其中 a，b 为常数，则 Y 也是随机变量，且 E(aXb)aE(X)b (3)若 X 服从两点分布，则 E(X)p； 若 XB(n，p)，则 E(X)np 9方差 (1)设离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则(xiE(X)2描述了 xi(i1,2，n)相对于均值 E(X)的偏离程度而 D(X) i1
18、 n (xiE(X)2pi为这些偏 离程度的加权平均， 刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度.称 D(X)为随机变量 X 的方差， 并称其 算术平方根 DX为随机变量 X 的标准差 (2)D(aXb)a2D(X) (3)若 X 服从两点分布，则 D(X)p(1p) (4)若 XB(n，p)，则 D(X)np(1p) 例 6(2019 江西上饶月考)已知随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)，若 E(X)30，D(X)20，则 p _ 【答案】【答案】1 3 由于 XB(n，p)，且 E(X)30，D(X)20， 所以 np30， np1p20， 解之得 p1 3. 练习. (
19、2018 全国卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品 作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结 果决定是否对余下的所有产品作检验设每件产品为不合格品的概率都为 p(02)1a 2 . 练习(2019 山东德州模拟)已知某公司生产的一种产品的质量 X(单位：克)服从正态分布 N(100,4)，现 从该产品的生产线上随机抽取 10 000 件产品，其中质量在98,104内的产品估计有( ) (附：若 X 服从 N(，2)，则 P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5) A4 093 件 B4 772 件 C6 827 件 D8 186 件 【答案】【答案】 D 由题意可得，该正态分布的对称轴为 x100，且 2，则质量在96,104内的产品 的概率为P(2X2)0.954 5， 而质量在98,102内的产品的概率为P(X)0.682 7， 结合对称性可知，质量在98,104内的产品的概率为 0.682 70.954 50.682 7 2 0.818 6，据此估计质量在 98,104内的产品的数量为 10 0000.818 68 186(件)
