1、 - 1 - 湖北省荆州市 2017-2018 学年高一数学下学期第一次双周考试题 文 第 I 卷（选择题，共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 | 0 , | 1 1 ,P x x Q x x? ? ? ? ? ?则 PQ? A ? ?1,1? B ? ?0,1 C ? ?0,? D ? ?1,? ? 2. 函数 1( ) 2 1xf x a ?（ 0a? ， 且 1a? ）恒过定点（ ） A ( 1, 1)? B (1,1)? C (0,2 1)a? D (0,1) 3
2、. 已知 1319a ?， 9log 3b? ， 193c? ，则 a b c、 、 的大小关系是 A abc? B c a b? C a c b? D c b a? 4. 已知向量 (2,1)a? ， (3, )bm? ， 若 (2 )/a b b? ， 则 m 的值是 （ ） A 32 B 32? C 12 D 12? 5. 在 ABC 中， c 3， b 1， B 6 ，则 ABC 的形状为 ( ) A等腰直角三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰三角形或直角三角形 6.若幂函数 ()fx的图像过点 (16,8) ， 则 2( ) ( )f x f x? 的解集为 （ ） A ( ,
3、0) (1, )? ? ? B (0,1) C. ( ,0)? D (1, )? 7.已知函数 ( ) cos(2 )( 0)f x x?， 若 ()fx的最小正周期为 ? ， 则 ()fx的一条对称轴是 （ ） A 8x ? B 4x ? C. 2x ? D 34x ? 8. 已知定义域为 R 的函数 ()fx满足 ( ) ( 1)f x f x? ? ?，则函数 ()fx在区间 ? ?1,1? 上的图象可能是 （ ） 9.若不等式 2log ( 2 1) 0a ax x? ? ?（ 0a ， 且 1a? ）在 1,2x? 上恒成立 ， 则 a 的取值范围是（ ） - 2 - A (1,2)
4、 B (2, )? C. (0,1) (2, )? ? D 1(0, )2 10. 已知 31)6sin( ? ，则 )3(2cos ? ? 的值是（ ） A.97 B.31 C. 31? D. 97? 11.已知 ABC? 中 ， 5AB AC?， 6BC? ， P 为平面 ABC 内一点 ， 则 PA PB PA PC? ? ? 的最小值为 （ ） A -8 B 42? C.-6 D -1 12.已知函数 ? ? 1e ( 0)2xf x x? ? ?与 ? ? ? ?lng x x a?的图象上存在关于 y 轴对称的点， 则实数 a 的取值范围是 ( ) A 1,e?B. ? ?,e?
5、C. 1 ,ee?D. 1e,e?第 II 卷（非选择题共 90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 已知 ,ab是两个相互垂直的单位向量 ， 则 |2 |ab? 14. 在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 若满足 2bcos A 2c 3a，则角 B 的大小为 _ 15. 若函数 ()fx满足 ： 对任意实数 x ， 有 (2 ) ( ) 0f x f x? ? ?且 ( 2) ( ) 0f x f x? ? ?， 当 0,1x? 时 ， 2( ) ( 1)f x x? ? ， 则 2017,2018x? 时 ， ()
6、fx? 16. 已知函数 ( ) 3 sin 2 | co s 2 |f x x x?， 现有如下几个命题 ： 该函数为偶函数； , 46? 是该函数的一个单调递增区间 ； 该函数的最小周期为 ? ；该函数的图像关于点 7( ,0)12? 对称 ； 该函数的值域为 1,2? . 其中正确命题的编号为 三、解答题：共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. (本题满分 10 分 ) 在ABC?中， 内角,ABC的对边分别为abc，且7 sin 4a B c?，- 3 - 3cos 5B? （） 求角 A的大小； （） 设BC边 上 的中点为 D，137AD?，求ABC?的
7、面积 18. (本题满分 12 分 ) 已知函数 ( ) 2 s in ( ) s in ( ) s in2 3 3f x x x? ? ? ? ? ?. （）求函数 ()fx的单调增区间 ； （）若锐角 ABC? 的三个角 ,ABC 满足 ( ) 12Bf ? ， 求 ()fA的取值范围 . 19. (本题满分 12 分 ) 已知函数 ? ? 11lg ? x xxf . （）求不等式 0)2(lg)( ? fxff 的解集 ; （）函数 ? ? ),1,0(2 ? aaaxg x 若存在 ? ?,1,021 ?xx 使得 )()( 21 xgxf ? 成立 ,求实数 a 的取值范围 ; 2
8、0.(本题满分 12 分 )已知 42( ) 4 c o s 4 s in 3 s in 2 c o s 2f x x x x x? ? ? （ ） 求 ()fx的最小正周期 ； - 4 - （）求 ()fx的图像上的各点的横坐标伸长 为 原来的 2 倍，纵坐标不变，再将所得图像向右平移 3? 个单位 ， 得到函数 ()y gx? 的图像 ， 求 ?gx在 0, 2x ? 上 的 单调区间和最值 . 21. (本题满分 12 分 ) 已知向量 ( 3, )a x x? ， ( sin 2 , sin c o s )b a a? ? ? ? ? ?. （）当 1x? ， ? 时 ， 有 | |
9、2ab? ， 求实数 a 的值 ； （）对于任意的实数 x 和任意的 3 , 2? ， 均有 2|4ab? ， 求实数 a 的取值范围 . 22. (本题满分 12 分 ) 已知 ? ? ? ? ? ?2lo g 4 1xf x kx k R? ? ? ?. （ ） 设 ? ? ? ?g x f x a?， 2k? ，若函数 ?gx存在零点，求 a 的取值范围； （） 若 ?fx是偶函数，设 ? ?2 4lo g 2 3xh x b b? ? ?，若函数 ?fx与 ?hx的图象只有一个公共点，求实数 b 的取值范围 . - 5 - 参考答案 一、选择题 1-5:BBDAD 6-10: DCCB
10、D 11、 12： AB 二、填空题 13. 5 14. 6 15. 2( 2017)x? 16. 三、解答题 17. 解： （） 由3cos 5B?，得4sin， 又7 sin 4a B c?，代入得75ac?， 由sin sinAC?，得7si 5sin?n 5 si n( )A A B?， 7 si 5 si n c os 5 c os si nA A B A B?得tan 1A?，4A ?（）22 2 c os 137AB BD AB BD B? ? ? ?， 225 5 3( ) 2 13714 14 5c c c c? ? ? ? ?，14c?，则10a1 1 4si n 14 1
11、0 562 2 5S ac B? ? ? ? ? ?18. 解：（） ( ) 2 s in ( ) s in ( ) s in2 3 3f x x x? ? ? ? ? ? 1 3 32 c o s ( s in c o s )2 2 2x x x? ? ? 2 3sin c o s 3 c o s 2x x? ? ? 13sin 2 cos 222xx? sin(2 )3x ? 令 2 2 22 3 2k x k? ? ? ? ? ? ? ? ?512 12k x k? ? ? ? ? 所以函数 ()fx的单调增区间 5 , 12 12x k k? ? ? ?， kZ? （）由（）可知 1
12、( ) sin( )23BfB? ? ?， 锐角 ABC? 中 ： 3 2 6BB? ? ? ? ? ?. 于是 ：由 锐角三角形 ABC? 知 0 20 2AC A B? ? ? ? ? ? ?423 2 3 3AA? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 故 3 sin (2 ) 023A ? ? ? ? ? 3( ) sin (2 ) ( , 0 )32f A A ? ? ? 所以 ()fA的取值范围是 3( ,0)2? . - 6 - 20. 解：（） 42( ) 4 c o s 4 s in 3 s in 2 c o s 2f x x x x x? ? ? 2 3(1 c o s 2
13、 ) 2 (1 c o s 2 ) s in 42x x x? ? ? ? ?2 3cos 2 sin 4 32xx? ? ? 1 co s 4 3 sin 4 322x x? ? ? 7cos(4 )32x ? ? ? 所以 ()fx的最小 正周期为 2? （） 7( ) cos(2 )32g x x ? ? ?的增区间为 0, 6? ， 减区间为 , 62? ， ()gx在 0, 2x ? 上最大值为 9()62g? ? ， 最小值为 ( ) 32g? ? . 21. 解：（）当 1x? ， ? 时 ， (2, 1)a?， (0, )ba， | | 2ab? 24 ( 1) 2a? ? ?
14、 1a? （）已知：任意 xR? 与 3 , 2? ， 有 22 1( 3 2 s i n c o s ) ( s i n c o s ) 8x x a a? ? ? ? ? ? ? ? ?恒成立 - 7 - 令 3 2sin cosm ? ， sin cosn a a?， 则 2 2 21( ) ( ) 28x m x n x? ? ? ? ? 22 12 ( ) 08m n x m n? ? ? ? ? ? 2 2 2 14 ( ) 8 ( )8m n m n? ? ? ? ? ? ? 2 110 ( ) 42m n m n? ? ? ? ? ? ? ?或 12mn? 令 s in c o
15、 s 2 s in c o st ? ? ? ? ? ? ?2 1t? 且 s i n c o s 2 s i n ( ) 2 , 1 4t ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 即： 2 2mt?， n at? ， 2 2m n t at? ? ? ? 则 ： 2 12 2t at? ? ? 或 2 12 2t at? ? ? 法一 ： 含参分类讨论 （对称轴与定义域 2, 1?的位置关系 ） 法二 ： 参分求最值 （注意单调区间） 2 52at t? ? ? 或 2 32at t? 52att? ? ? 或 3 ( 2 , 1)2a t tt? ? ? ? ? 由 单调性可得 72a? 或
16、 6a? 综上可得实数 a 的取值范围为 7( , 2? 或 6, )? ? . 22. 解： （） 由题意函数 ?gx存在零点，即 ? ?f x a? 有解 . 又 ? ? ? ?2lo g 4 1 2xf x x? ? ? ? 224 1 1lo g lo g 144xxx? ?， 易知 ?fx在 ? ?,? 上是减函数，又 1114x?， 2 1log 1 04x?，即 ? ? 0fx? ， 所以 a 的取值范围是 ? ?0,? （） ? ? ? ?2lo g 4 1xf x kx? ? ?，定义域为 R ， ?fx为偶函数 ? ? ? ? 2 11 1 lo g 14f f k? ?
17、? ? ? ? ? ? ?2lo g 4 1 1kk? ? ? ? ? 检验： ? ? ? ?22 41lo g 4 1 lo g 2xxxf x x? ? ? ? ? ?2log 2 2xx?， 则 ? ? ? ? ? ? ? ?2lo g 2 2xxf x f x f x? ? ? ? ?为偶函数， 因为函数 ?fx与 ?hx的图象只有一个公共点， 所以方程 ? ? ? ?f x g x? 只有一解，即 42 2 2 3x x xbb? ? ? ? ?只有一解， - 8 - 令 2xt? 0t?（ ） ，则 ? ? 23 1 4 3 0b t bt? ? ? ?有一正根， 当 1b? 时，
18、 3 04t? ? ，不符合题意， 当 1b? 时，若方程有两相等的正根， 则 ? ? ? ? ? ?2= 4 4 3 1 3 0bb? ? ? ? ? ? ? ?且 ? ?4 02 3 1bb ?，解得 3b? ， 若方程有两不相等实根且只有一正根时，因为 ? ? 23 1 4 3y b t bt? ? ? ?图象恒过点 ? ?0, 3? ，只需图象开口向上，所以 10b? 即可，解得 1b? ， 综上， 3b? 或 1b? ，即 b 的取值范围是 ? ? ? ?3 1,? ? ? 参考答案 一、选择题 1-5:BBDAD 6-10: DCCBD 11、 12： AB 二、填空题 13. 5
19、 14. 6 15. 2( 2017)x? 16. 三、解答题 17. 解： （） 由3cos 5B?，得4sin， 又7 sin 4a B c?，代入得75ac?， 由sin sinAC?，得7si 5sin?n 5 si n( )A A B?， 7 si 5 si n c os 5 c os si nA A B A B?得tan 1A?，4A ?（）22 2 c os 137AB BD AB BD B? ? ? ?， 225 5 3( ) 2 13714 14 5c c c c? ? ? ? ?，14c?，则10a1 1 4si n 14 10 562 2 5S ac B? ? ? ? ? ?- 9 - 18. 解：（） ( ) 2 s in ( ) s in ( ) s in2 3 3f x x x? ? ? ? ? ? 1
