1、 甘肃省通渭县甘肃省通渭县 20172017- -20182018 学年高一上学期期末考试数学试题学年高一上学期期末考试数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.设 A=xZ|x5，B=xZ|x1，那么 AB 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据交集的定义写出 AB，再用列举法写出即可得到答案 【详解】集合， 则 故选 【点睛】本题考查了交集的定义与运算问题，属于基础题 2.设 A（1，1，-2） ，B（3，2，8） ，C（0，1，0） ，则线段 AB 的中点 P 到点 C 的距离为（ ）
2、 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出线段的中点，然后求出点 到点 的距离 【详解】 线段的中点 到点 的距离为 故选 【点睛】本题考查了中点坐标公式、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力属于基 础题 3.函数 f（x）=2 x+x-2 的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数零点的存在性定理可得函数零点所在的区间 【详解】解：函数， （1）， 根据函数零点的存在性定理可得函数零点所在的区间为， 故选：C 【点睛】本题主要考查函数的零点的存在性定理的应用,属于基础题 4.设是两条不同的直线，是两个不同的平面,下列命
3、题中不正确 的是（ ） A. 若,则 B. 若,则 C. 若, ,则 D. 若, , ,则 【答案】D 【解析】 选项 A 中，由于，故，又，故，A 正确； 选项 B 中，由得或，又，故只有，故 B 正确。 选项 C 中，由面面垂直的判定定理可得 C 正确。 选项 D 中，由题意得的关系可能平行、相交、垂直。故 D 不正确。 综上可知选项 D 不正确。选 D。 5.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的 体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题意，该几何体是由一个半圆柱与一个半球组成的组合体，其中半圆柱的底面半径为 1， 高为
4、4，半球的半径为 1，几何体的体积为，故选 C. 6.若函数 在 上是增函数，那么的大致图象是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为函数 在 上是增函数，所以,因此是单独 递增函数，去掉 B,D;因为,所以去掉 C，选 A. 7.已知函数若关于 的方程有两个不同的根， 则实数 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ：当 x4 时，是减函数，且 1f（x）2；当 x4 时，f（x）=log2x 在（0， 4）上是增函数，且 f（x）f（4）=2；且关于 x 的方程 f（x）=k 有两个不同的根可化为 函数 f（x）与 y=k 有两个不同的交点；
5、作出函数的图象如下： 故实数 k 的取值范围是（1，2） ； 故选：D 点睛：本题考查根的存在性和个数的判断，数形结合是解决问题的关键，原问题等价于于函 数 f（x）与函数 y=k 的图象有两个不同的交点，在同一个坐标系中作出两个函数的图象可 得答案 8.已知圆 M 的圆心在 x 轴上，且圆心在直线 l1：x=-2 的右侧，若圆 M 截直线 l1所得的弦长 为 2，且与直线 l2：2x-y-4=0 相切，则圆 M 的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设圆的圆心为 M（a，0） ，利用圆 M 截直线 l1所得的弦长为 2，且与直线 l2：2xy4=0 相切，建
6、立方程，求出 a，即可求圆 M 的方程. 【详解】设圆 M 的方程为： （xa） 2+y2=r2， 圆 M 截直线 l1所得的弦长为 2，（） 2+（a+2）2=r2， 圆 M 与直线 l2：2xy4=0 相切，r= 由a=1，a=（舍去） r=2， 圆 M 的方程为： （x+1） 2+y2=4 故选：B 【点睛】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属 于中档题 9.设是偶函数且在上是减函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 原不等式等价于：或 结合函数的性质可知函数在上是增函数， 绘制函数的大致图象如图所示，观察可得，不等
7、式的解集为：. 本题选择C选项. 10.已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 是 A1B1的中点，则直线 AE 与平面 ABC1D1所成 角的正切值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 以 为原点，以为 轴，以为 轴，以为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求 出直线与平面所成的角的正切值 【详解】以 为原点，以为 轴，以为 轴，以为 轴， 建立空间直角坐标系， 正方体的棱长为 1，E 是 A1B1的中点， ， =（0， ，1） ，=（0，1，0） ，=（-1，0，1） ， 设平面的法向量 =（x，y，z） 由，可得 =（1，0，1） ， 设直
8、线 AE 与平面与平面 ABC1D1所成的角为 ， 则 sin=|cos|= 则直线 AE 与平面 ABC1D1所成角的正切值是 tan= 故选：A 【点睛】本题考查了直线与平面所成角的正弦值的求法，属于中档题，解题时要注意向量法 的合理运用 11.已知且，函数满足对任意实数，都有 成立，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：由可知函数为增函数，所以需满足，的取值范 围是 考点：分段函数单调性 12.如图， 已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形， MD平面 ABCD， NB平面 ABCD， 且 MD=NB=1， E 为 MC 的中点，则下列结论
9、不正确的是（ ） A. 平面平面 ABN B. C. 平面平面 AMN D. 平面平面 AMN 【答案】C 【解析】 【分析】 将几何体补成正方体后再进行判断 【详解】分别过 A，C 作平面 ABCD 的垂线 AP，CQ，使得 AP=CQ=1，连接 PM，PN，QM，QN， 将几何体补成棱长为 1 的正方体 BC平面 ABN，BC 平面 BCE， 平面 BCE平面 ABN，故 A 正确； 连接 PB，则 PBMC，显然 PBAN，MCAN，故 B 正确； 取 MN 的中点 F，连接 AF，CF，AC AMN 和CMN 都是边长为的等边三角形， AFMN，CFMN， AFC 为二面角 A-MN-
10、C 的平面角， AF=CF=，AC=，AF 2+CF2AC2，即AFC ， 平面 CMN 与平面 AMN 不垂直，故 C 错误； DEAN，MNBD， 平面 BDE平面 AMN，故 D 正确 故选 C 【点睛】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题，在解题时能运用补的思想将其 补成一个正方体，然后求解 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 13.过点(1,2)且垂直于直线的直线的一般式方程为_. 【答案】x-2y+3=0 【解析】 设所求的直线方程为： ， 直线过点 ，则： ， 据此可得直线的一般式方程为： . 点睛：点睛：运用直
11、线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有： (1)与直线AxByC0 平行的直线系方程是 AxBym0(mC)； (2)与直线AxByC0 垂直的直线系方程是BxAym0； (3)过直线l1：A1xB1yC10 与l2：A2xB2yC20 的交点的直线系方程为A1xB1yC1 (A2xB2yC2)0(其中R R，此直线系不包括l2) 14.已知圆，圆，则圆与圆的公切线条 数是_ 【答案】4 【解析】 即 ， 即 圆心距 两圆外离 故圆与圆的公切线条数是 4 15.已知球的表面积为，球面上有 、 、 三点如果，则球心到 平面的距离为_ 【答案】 【解析】 设球的半径为，表面积，解得，在
12、中， ，从圆心作平面的垂线，垂足在斜边的中点处， 球心到平面的距离，故答案为. 点睛：本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离计算，其中根据球心距 ，球半径 ， 解三角形我们可以求出所在平面截球所得圆（即的外接圆半径） ，构造直角三 角形， 满足勾股定理， 我们即可求出球心到平面的距离是与球相关的距离问题常用方法. 16.设集合，函数，且， 则的取值范围是 . 【答案】 【解析】 试 题 分 析 ： 因 为， 所 以， 而， 所 以 ，因为，所以，解得. 考点：分段函数、不等式解法，考查学生的分析、计算能力 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 70.070.0
13、 分）分） 17.设全集为 ， (1)求； (2)若，求实数的取值范围 【答案】 （1）； （2）. 【解析】 【分析】 （1）根据并集与补集的定义，计算即可； （2）根据 AC=A 知 A C，列出不等式组求出实数 a 的取值范围 【详解】 （1）全集为 ， ， ； （2），且，知， 由题意知，解得， 实数的取值范围是 【点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件， 明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合 2求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解 3在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元
14、 素离散时用 Venn 图表示； 集合元素连续时用数轴表示， 用数轴表示时要注意端点值的取舍 18.在平面直角坐标系中，已知点 A（2，4）和 B（6，-2） ，O 为坐标原点 （1）求OAB 的面积 （2）若 OABC，且 OA=BC，求点 C 的坐标 【答案】 （1）14； （2）C（4，-6）或 C（8，2）. 【解析】 【分析】 （1）由已知，求出|AB|及 O 到 AB 的距离，代入三角形面积公式，可得答案 （2）由已知中 OABC，且 OA=BC，结合斜率公式及两点间距离公式，构造方程组，可得 C 点坐标 【详解】 （1）点 A（2，4）和 B（6，-2） ， 直线 AB 的斜率
15、k=- ， 直线 AB 方程式为 y-4=- （x-2） ，即 3x+2y-14=0 则 O 到 AB 距离 d=， |AB|=2， OAB 的面积 S= |AB|d= 2=14 （2）设 C（m，n） ， OABC， kOA=kBC，即 =， 又OA=BC， =， 由解得或， C（4，-6）或 C（8，2） 【点睛】本题考查的知识点是三角形面积公式，直线的平行关系，两点间距离公式，考查了 一定计算能力，属于中档题 19.如图所示，某种药物服药后每毫升血液中的含药量 y（微克）与时间 t（小时）之间满足 函数关系式；不超过 1 小时为 y=kt，1 小时后为 （1）写出 y 与 t 之间的函数
16、关系式 （2）如果每毫升血液中含药量不少于 微克时治疗有效，那么服药后治疗有效的时间是多 长？ 【答案】 （1）y=f（t）=； （2）服药一次治疗疾病的有效时间为 5-=4小 时. 【解析】 【分析】 （1）由题设条件中的图象，利用数形结合思想能求出服药后 y 与 t 之间的函数关系式 （2）得到关于 t 的不等式组，即可解出结果 【详解】 （1）当 0t1 时，y=4t； 当 t1 时，y=（ ） t-a，代入点(1,4)， 解得 a=3， y=f（t）=； （2）因为 f（t）0.25，即， 解得， t5， 所以服药一次治疗疾病的有效时间为 5-=4小时 【点睛】本题考查函数关系式的求法
17、，考查函数的生产生活中的实际应用，解题时要认真审 题，注意等价转化思想的合理运用 20.如图， 在三棱锥 V-ABC 中， 平面 VAB平面 ABC， VAB 为等边三角形， ACBC 且 AC=BC=， O，M 分别为 AB，VA 的中点 （）求证：VB平面 MOC； （）求证：平面 MOC平面 VAB； （）求三棱锥 A-MOC 的体积 【答案】 （1）见解析； （2）见解析；(3). 【解析】 【分析】 （）利用三角形的中位线得出 OMVB，利用线面平行的判定定理证明 VB平面 MOC； （）证明 OC平面 VAB，即可证明平面 MOC平面 VAB； （）利用等体积法求三棱锥 A-MOC
18、 的体积即可 【详解】 （）证明：O，M 分别为 AB，VA 的中点， OMVB， VB平面 MOC，OM 平面 MOC， VB平面 MOC； （）证明：AC=BC，O 为 AB 的中点， OCAB， 又平面 VAB平面 ABC，平面 ABC平面 VAB=AB，且 OC 平面 ABC， OC平面 VAB， OC 平面 MOC， 平面 MOC平面 VAB； （）解：在等腰直角三角形 ACB 中，AC=BC=，AB=2，OC=1， 等边三角形 VAB 的边长为 2，SVAB=， O，M 分别为 AB，VA 的中点 又OC平面 VAB， 三棱锥 【点睛】本题考查线面平行的判定、平面与平面垂直的判定、
19、三棱锥体积的计算，正确运用 线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键，求三棱锥体积时注意运用换底法，属于中档 题 21.已知函数 (I)证明：函数是减函数 (II)若不等式对恒成立，求实数的取值范围 【答案】 （）见解析； （）. 【解析】 【分析】 (I)根据单调性定义证明即可； (II)不等式（a+x） （x1）2 对 x2，+）恒成立，得到 ax 在2，+）上恒 成立，根据函数的单调性即可求出 a 的范围 【详解】(I)在上任取，令， ， ， ， 即，在上单调递减 (II)在恒成立， 在上恒成立， 由（）可知在上单调递减， ， 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参
20、数分离出来，使不等式 一端是含有参数的不等式， 另一端是一个区间上具体的函数， 这样就把问题转化为一端是函 数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离 参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法. 22.如图，已知 A，B 为圆 O：x 2+y2=4 与 y 轴的交点，过点 P（0，4）的直线 l 交圆 O 于 M，N 两点 （1）若弦 MN 的长等于 2，求直线 l 的方程 （2）若 M，N 都不与 A，B 重合时，是否存在定直线 m，使得直线 AN 与 BM 的交点 G 恒在直 线 m 上若存在，求直线 m 的方程；若不存在，
21、说明理由 【答案】 （1）； （2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）当 k 不存在时，不合题意，当 k 存在时，设直线 l：y=kx+4，推导出圆心 O 到直线 l 的距离 d=1，从而=1，进而 k=，由此能出直线 l 的方程 （2）根据圆的对称性，点 G 落在与 y 轴垂直的直线上，令 N（-2，0） ，则直线 PN：y=2x+4， 联立，得 5x 2+16x+12=0，从而 M（- ） ，BM：y=-3x-2，直线 AN：x-y+2=0 与 BM 的交点 G（-1，1） ，从而点 G 落在定直线 y=1 上，由此能证明直线 AN 与 BM 的交点 G 恒在直 线 m 上 【详解】 （
22、1）当 k 不存在时，|MN|=|AB|=4，不合题意， 当 k 存在时，设直线 l：y=kx+4， |MN|=2，圆心 O 到直线 l 的距离 d=1， =1，解得 k=， y=x+4 综上所述，直线 l 的方程为 （2）根据圆的对称性，点 G 落在与 y 轴垂直的直线上， 令 N（-2，0） ，则直线 PN：，即 y=2x+4， 联立，得 5x 2+16x+12=0，x M=- ，M（-） ， BM：y=-3x-2， 直线 AN：x-y+2=0 与 BM 的交点 G（-1，1） ， 猜想点 G 落在定直线 y=1 上， 证明如下： 联立，得（1+k 2）x2+8kx+12=0， =64k 2-48（1+k2）0， ，x1x2=， 直线 AN：，直线 BM：， 消去 x，得， 要证 G 落在定直线 y=1 上，只需证：， 即证：， 即证：-k-6x1=3kx1x2+6x2， 即证：4kx1x2+6（x1+x2）=0， 即证：4k-6=0， 4k-6=0 成立， 直线 AN 与 BM 的交点 G 恒在直线 m 上 【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系由弦长求直线方程， 也考查直线的交点是否在定直线 上的判断与证明，需要运用直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力属于中 档题
