1、 中山市高一级中山市高一级 20172017- -20182018 学年度第一学期期末统一考试学年度第一学期期末统一考试 数学试卷数学试卷 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1. 下列四组函数，表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】试题分析：A.，对应法则不同； B.，定义域不同； C.，定义域不同； 故选 D。 考点：本题主
2、要考查函数的概念，构成函数的要素。 点评：解答题，构成函数的要素有定义域、对应法则。 2. 平行于同一平面的两条直线的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行、相交或异面 【答案】D 考点：平面的基本性质及推论 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ， 故选：C 点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解在进行集合 的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用 Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍 4. 图中的直线的斜率分别是，则有（
3、） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由图可知：，且直线 的倾斜角大于直线 的倾斜角，所以， 综上可知：，故选 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】， 故选：A 点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实 数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当 都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应 用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小 6. 方程在下面哪个区间内有实根（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】令，则在上单调递增，且图象是
4、连续的， 又, 即， 由零点定理可知：的零点在内， 故选：C 7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题可知对应的几何体为一个底面为等腰直角三角形的直棱柱截去以上底面为底， 高为一半的一个三棱锥. . 8. 一圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线与底面所成角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设圆锥的母线长为 R，底面半径为 r， 则：R=2r， R=2r， 母线与底面所成角的余弦值= = ， 母线与底面所成角是 60 故选：C 9. 若函数的值域为，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D.
5、【答案】D 【解析】函数的值域为， 则 g（x）=mx 2+2（m2）x+1 的值域能取到（0，+） ， 当 m=0 时，g（x）=4x+1，值域为 R，包括了（0，+） ， 要使 f（x）能取（0，+） ，则 g（x）的最小值小于等于 0， 则， 解得：0m1 或 m4 综上可得实数 m 的取值范围是 故选：D 10. 如图，二面角的大小是，线段，与 所成的角为，则与平面 所成的角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】过点 A 作平面 的垂线，垂足为 C，在 内过 C 作 l 的垂线垂足为 D 连结 AD，易知 ADl， 故ADC 为二面角 l 的平面角为 60 又由
6、已知，ABD=30连结 CB，则ABC 为 AB 与平面 所成的角， 设 AD=2，则 AC=，CD=1 AB=4，BC=， cosABC= 故选：B 点睛： （1）求二面角大小的过程可总结为：“一找、二证、三计算。” （2） 作二面角的平面角可以通过垂线法进行， 在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线， 再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的 平面角 11. 正四面体中， 是棱的中点， 是点 在底面内的射影，则异面直线与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 如图，设正四面体的棱长是 1，则，高，设点在底面内的射影
7、是 ，则，所以即为所求异面直线所成角，则，应选 答案 B。 点睛：解答本题的关键是依据异面直线所成角的定义，先找出异面直线与 所成的角，再运用解直角三角形的知识求出，从而使得问题巧妙获 解。 12. 已知函数在闭区间上的值域为，则满足题意的有序实数对在坐标 平面内所对应点组成图形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】y=x 2+2x=（x+1）21，可画出图象如图 1 所示 ； 由 x 2+2x=3，解得 x=3 或 x=1；又当 x=1 时， （1）22=1 当 a=3 时，b 必须满足1b1，可得点（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形的长 度为|AB|=1（1）=2； 当
8、3a1 时，b 必须满足 b=1，可得点（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形的长 度为|BC|=（1）（3）=2 如图 2 所示：图 2； 故选：C 点睛：本题考查了二次函数在给定区间上的值域问题，值域是确定的，而定义域是变动的， 解题关键是分辨清楚最大值是在左端点取到还是在右端点取到，问题就迎刃而解了. 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13. 已知，则_ 【答案】 【解析】，即,， =，即， . 故答案为： 14. 已知两条平行直线分别过点，且的距离为 5，则直线
9、的斜率是 _ 【答案】0 或 【解析】若直线的斜率不存在，此时两直线方程分别为 x=1 或 x=0，距离为 1，不满足条件， 故直线斜率存在，设斜率为 k， 则对应的直线方程为 y=k（x1）和 y5=kx， 即 kxyk=0 和 kxy+5=0， 则两条平行直线的距离， 即 12k 25k=0， 解得 k=0 或 k=， 故答案为：0 或 15. 已知函数，若函数有 3 个零点，则实数 的取值范围 是_ 【答案】 【解析】试题分析：令，得，作出与的图象，要使函数 有 个零点，则与的图象有 个交点，所以. 考点：函数的零点与方程的根的关系. 【方法点晴】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系问
10、题，其中解答中涉及到分段函数 的解析式及其函数的图象的应用，本题的解答中把方程函数有 个零点，转化为函 数与的图象有 个交点是解得关键，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以 及推理与运算能力，属于中档试题. 16. 如图，将一边为 1 的正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则三棱锥 的内切球半径是_ 【答案】 【解析】设内切球半径为r， , 解得： 故答案为： 点睛：点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能 力，这样才能找准关系，得到结果，一般内切球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置， 借助于内切球的性质，球心到各面距离相等计算即可，当球心位置不好
11、确定时，可以用等体 积法求球半径. 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17. 求值或化简： （1）； （2）. 【答案】(1)18;(2) . 【解析】试题分析：(1) 利用对数的运算性质即可得出; (2) 利用指数幂和对数的运算法则即可得出. 试题解析： (1) （2） 18. 如图， 正三角形的边长为 6， 点分别在边上， 且， ，相交于 . （1）求点 的坐标； （2）判断和是否垂直，并证明. 【答案】(1) ;(2). 【解析】试题分析：(1)
12、点 两条直线的交点，明确两条直线的方程即可； （2）判断和是否垂直，即判断和. 试题解析： (1)如图 由 解得 (2) “ 19. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （3）在函数图像上是否存在两个不同的点，使直线垂直 轴，若存在，求出两点 坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) 函数的定义域为;(2)见解析;（3）见解析. 【解析】试题分析： （1）根据函数的解析式有意义的原则，结合对数的真数部分必须大于 0， 构造关于 x 的不等式组，解不等式组，即可得到答案; （2）根据函数奇偶性的定义，利用对数的运算性质，判断 f（x）与 f（x）的关系
13、，即可 得到函数 f（x）的奇偶性； (3) 假设函数图象上存在两点A(,), , 使直线垂直 轴，则， 经推理不成立，故不存在. 试题解析： (1) 由 , 函数的定义域为 (2) f (x) + lg lgf (x), f (x)是奇函数 （3）假设函数图象上存在两点A(,), , 使直线AB恰好与y轴垂直，其中 即当时， , 不妨设, 于是 由 又 , , 与矛盾 故函数图象上不存在两个不同的点A、B，使直线AB垂直y轴 点睛：判断函数的奇偶性优先考虑函数的定义域，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的 必要条件，在这个前提下进一步研究 f（x）与 f（x）的关系. 20. 如图，在四棱锥
14、中， 底面， 为棱 的中点. （1）求证：； （2）试判断与平面是否平行？并说明理由. 【答案】 （1）见解析； （2）见解析. 【解析】试题分析：(1) PD底面 ABCD，DC 底面 ABCDPDDC又 ADDC，ADPD=D 故 CD平面 PAD又 AE 平面 PAD，得 CDAE; (2) PB 与平面 AEC 不平行假设 PB平面 AEC，由已知得到，这与 OB=OD 矛盾 试题解析： （）因为底面，面，所以. 又， 故平面. 又平面， 所以. （） 与平面不平行. 假设 面， 设，连结， 则平面平面 ， 又平面， 所以. 所以，在中有 ， 由 为的中点可得，即. 因为，所以，这与矛
15、盾， 所以假设错误，与平面不平行. 点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 21. 中华人民共和国个人所得税法规定，公民全月工资、薪金（扣除三险一金后）所得 不超过 3500 元的部分不必纳税，超过 3500 元的部分为全月应纳税所得额个人所得税计算公 式：应纳税额=工资-三险一金=起征点. 其中，三险一金标准是养老保险 8%、医疗保险 2%、 失业保险 1%、住房公积金 8%，此项税款按下表分段累计计算： （1）某人月收入 15000 元
16、（未扣三险一金） ，他应交个人所得税多少元？ （2）某人一月份已交此项税款为 1094 元，那么他当月的工资（未扣三险一金）所得是多少 元？ 【答案】 （1）1175； （2）该人当月收入工资薪酬为 14500 元. 【解析】试题分析： （1）本月应纳税所得额为 8650 分三段按表中规定分别计算即可得到； （2）1049 元=45 元+300 元+749 元，所以应纳税额为 元 ，设工资是 元，则，从而得到结果. 试题解析： （1）本月应纳税所得额为 元 由分段纳税： 应交税款为：元 (2) 1049 元=45 元+300 元+749 元， 所以应纳税额为 元 设工资是 元，则 元 所以该人
17、当月收入工资薪酬为 14500 元. 22. 设，函数，其中. （1）求的最小值； （2）求使得等式成立的 的取值范围. 【答案】 （1）； （2） 的取值范围为. 【解析】试题分析： （1）设 f（x）=2|x1|，g（x）=x 22ax+4a2，求得 f（x）和 g（x） 的最小值，再由新定义，可得 F（x）的最小值； （2）由 a3，讨论 x1 时，x1，去掉绝对值，化简 x 22ax+4a22|x1|，判断符号， 即可得到 F（x）=x 22ax+4a2 成立的 x 的取值范围； 试题解析： （I）设函数，则 ， ， 所以，由的定义知，即 （II）由于，故 当时， 当时， 所以，使得等式成立的 的取值范围为
