1、 20172017- -20182018 学年江西省赣州市高一（上）期末数学试卷学年江西省赣州市高一（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 6060 分）分） 1.已知集合A=x|x 2-1=0，则下列式子中：1A；-1A；A；1，-1 A正 确的个数是（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】C 【解析】 【分析】 先解得集合A的元素然后根据元素的具体情况进行逐一判断即可 【详解】因为Ax|x 210， A1，1 对于1A显然正确； 对于1A，是集合与集合之间的关系，显然用不对； 对A，根据集合与集合之间的关系易
2、知正确； 对1，1A同上可知正确 故选：C 【点睛】本题考查的是集合元素与集合的关系问题在解答的过程当中充分体现了解方程的 思想、逐一验证的技巧以及元素的特征等知识，属于基础题 2.若 sin（2+）= ，tan0，则 cos=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用诱导公式及同角三角函数关系式求出结果 【详解】由于：sin（2+）， 则：， 由于：tan0， 故：， 所以：cos 故选：A 【点睛】本题考查的知识要点：诱导公式及同角三角函数关系式，熟练掌握公式是关键，属 于基础题型 3.设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：，故
3、 C 正确 考点：复合函数求值 4.已知函数y=2sin（x+ ） （0） ）在区间0，2的图象如图：那么 =（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由图象确定周期T，进而确定 【详解】由图象知函数的周期T，所以 故选：B 【点睛】本题考查三角函数中周期T与 的关系，属于基础题 5.函数f（x）=x 3+2x-5 的零点所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数零点的判定定理验证选项中使得函数值取得正负的自变量，由此可得结论 【详解】易知函数f（x）x 3+2x5 是连续函数， 由于f（-1）80，f（0）50，f（
4、1）20，f（2）8+4570， 根据函数零点的判定定理可得函数f（x）x 3+2x5 的零点所在的区间为（1，2） ， 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题 6.三个数acos，blg，c之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 分别找到三个数的范围，即可判断出大小关系 【详解】acos（0，1） ，blg0，c1， bac 故选：D 【点睛】本题考查了三角函数、对数函数、指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 7.设f：x|x|是从集合A到B的一个映射，且B中每一个元素都有原象，若
5、A=-1，0，1， 则AB=（ ） A. 0， B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意求出集合B，再计算AB 【详解】由题意知A1，0，1，对应关系f：x|x|， B0，1， AB0，1 故选：B 【点睛】本题考查了映射的定义与集合的运算问题，是基础题 8.若 tan=1+lgt，tan=lg ，且 += ，则实数t的值为（ ） A. B. 1 C. 或 1 D. 1 或 10 【答案】C 【解析】 【分析】 由 +，利用两角和的正切函数化简，由对数的运算性质即可解得实数t的值 【详解】tan1+lgt，tanlg，且 +， tan（+）tan1， 11（1+lgt）lg，
6、（1+lgt）lg0， 10t1 或1， t或 1 故选：C 【点睛】本题主要考查了两角和与差的正切函数，对数的运算性质，是基础题 9.已知a0，a1，则f（x）=loga的图象恒过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 对数函数恒过点，所以令=1，即可得出函数所过定点. 【详解】令=1，解得x=2， 故f（2）=loga1=0 恒成立， 即f（x）=loga的图象恒过点（2，0） 。 故选 B 【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，求函数过定点问题，属于中档题. 10.在中，若，则的形状一定是（ ） A. 等边三角形 B. 不含 60的等腰三角形 C. 钝角三角形
7、D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 ,则 ,选 . 11.已知函数是 上的偶函数,若对于都有且当 时,则的值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性与周期性，求得的值。 【详解】因为是 上的偶函数,所以 所以 又因为，即周期 T=2 = 函数 得=1 所以选 C 【点睛】本题考查了函数性质的简单应用，周期性与奇偶性是函数重要的基本性质，要熟练 掌握，属于基础题。 12.设常数 使方程在区间上恰有三个解且，则 实数 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 解：分别作出 y=cosx，x（ ，3）与 y=m 的图象，如图所示，结
8、合图象可得则1m0， 故排除 C，D，再分别令 m=，m= ，求出 x1，x2，x3，验证 x2 2=x 1x3是否成立； 【详解】解：分别作出 y=cosx，x（ ，3）与 y=m 的图象，如图所示，方程 cosx=m 在区 间（ ，3）上恰有三个解 x1，x2，x3（x1x2x3） ，则1m0，故排除 C，D， 当 m=时，此时 cosx=在区间（ ，3） ， 解得 x1= ，x2= ，x3=， 则 x2 2= 2x 1x3= 2，故 A 错误， 当 m= 时，此时 cosx= 在区间（ ，3） ， 解得 x1= ，x2= ，x3= ， 则 x2 2= 2=x 1x3= 2，故 B 正确，
9、 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，考查了数形结合的思想和函数与方程的思想， 属于中档题. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 2020 分）分） 13.若幂函数的图象经过点（2，） ，则f（ ）=_ 【答案】 【解析】 【分析】 利用待定系数法求出函数的解析式，再计算的值 【详解】设幂函数f（x）x ，R R； 其函数图象过点（2，） ， 2 ， 解得 ； f（x）， 故答案为： 【点睛】本题考查了利用待定系数法求出函数的解析式与计算函数值的应用问题，是基础题 目 14.tan +=_ 【答案】 【解析】 【分析】 由，展开二倍角的正切求得，则
10、答案可求 【详解】， ，解得 + 故答案为：. 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角的正切，是基础题 15.若，则a的取值范围_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据底与 1 的大小分类化简不等式，最后求并集. 【详解】由=logaa，当a1 时，函数y=logax在（0，+）单调递增，由 可得，a1，当 0a1 时，函数y=logax在（0，+）单调递减，由可得 ，综上可得，故答案为： 【点睛】本题考查解对数不等式以及对数函数单调性，考查基本求解能力. 16.下列判断错误的是_（填写序号） 集合y|y=有 4 个子集； 若 ，则 tantan； 若 log2alog2b，则 2 a2
11、b； 设函数f（x）=log2x的反函数为g（x） ，则g（2）=1； 已知定义在R上的奇函数f（x）在（-，0）内有 1008 个零点，则函数f（x）的零点个 数为 2017 【答案】 【解析】 【分析】 化简集合可得1，1，可判断；举 30，210，可判断；运用对数函数和指 数函数的单调性可判断；求得反函数计算可判断；运用奇函数的图象特点可判断 【详解】集合y|y1，1有 4 个子集，故正确； 若 ，比如 30，210，则 tantan，故错误； 若 log2alog2b，可得ab0，则 2 a2b，故正确； 设函数f（x）log2x的反函数为g（x） ，可得g（x）2 x，则 g（2）4
12、，故错误； 已知定义在 R R 上的奇函数f（x）在（，0）内有 1008 个零点， 可得f（x）在（0，+）内有 1008 个零点， 则函数f（x）的零点个数为 21008+12017，故正确 故答案为： 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和运用，考查集合的子集个数，以及运算能 力和推理能力，属于基础题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 70.070.0 分）分） 17.设全集为U=R，集合A为函数y=log2的定义域，B=x| x5，C=x|xm （1）求（UA）B； （2）若（AB）C，求实数m的取值范围 【答案】 （1） （UA）B=x|3x5
13、； （2） （-，5 【解析】 【分析】 （1）先求出集合A，再求出UA，由此能求出（UA）B （2）先求出ABx|2x5，由（AB）C，能求出实数m的取值范围 【详解】 （1）依题意，得， 解得 2x3，得Ax|2x3， UAx|x2 或x3， 则（UA）Bx|3x5 （2）ABx|2x5， 由（AB）C，得m5， 即实数m的取值范围为（，5 【点睛】本题考查补集、交集、不等式的取值范围的求法，考查补集、并集、并集等基础知 识，考查运算求解能力，是基础题 18.某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（x+ ） （0，| | ）在某一个周期内的 图象时，列表并填入了部分数据，如表： x+
14、0 2 x Asin(x+） 0 2 -2 0 （1）请将上表数据补充完整，填写在答题卷上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式； （2）若f（ ）= ，求 cos（2+）的值 【答案】 （1）表格见解析，f（x）=2sin（2x- ） ； （2） 【解析】 【分析】 （1）根据五点法作图，正弦函数的图象和性质，将表数据补充完整 （2）由条件利用诱导公式求得 cos（） 的值，再利用二倍角公式，求得 cos（2） 的值 【详解】 （1）表格即： x+ 0 2 x Asin（x+ ） 0 2 0 2 0 f（x）2sin（2x） （2） 由f（ ）2sin（），sin （）cos（）cos（）
15、 ， cos（2）cos 2（）2121 【点睛】本题主要考查五点法作图，正弦函数的图象和性质，二倍角公式的应用，属于中档 题 19.已知函数f（x）=（aR）是奇函数 （1）求实数a的值； （2）判断并证明f（x）在R上的单调性 【答案】 （1）； （2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）根据题意，由奇函数的定义可得f（x）f（x） ，即，变 形分析可得答案； （2）根据题意，由（1）的结论可得函数f（x）的解析式，设x1x2，由作差法分析可得结 论 【详解】 （1）根据题意，函数f（x）（aR R）是奇函数， 则有f（x）f（x） ， 即，变形可得a1； （2）由（1）的结论，f（x）
16、2 x2x，则 R上为增函数， 证明如下：设x1x2， f（x1）f（x2）（）（）（） （1） ， 又由x1x2，则（）0， （1）0， 则f（x1）f（x2）0， 则函数f（x）在 R R 上为增函数 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及单调性的证明，关键是求出a的值，确定函数的 解析式 20.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的一年收益 与投资额成正比，其关系如图；投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平 方根成正比，其关系如图 （注：收益与投资额单位：万元） （1）分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系； （2）该家庭现有 20 万元资金，全
17、部用于理财投资，问：怎么分配资金能使一年的投资 获得最大收益，其最大收益是多少万元？ 【答案】 （1）； （2） ，万元 【解析】 试题分析： （1）根据题意设，然后把分别代入，可求出两 种产品的一年收益与投资额的函数关系； （2）该家庭的收益等于债卷收益+股票收益，设投资 债券类产品 万元，则股票类投资为万元，由（1）知债卷收益，股票 收益，则总收益为，利用换元法求其最大值。 试题解析： （1）设， 所以， 即，； 5 分 （2）设投资债券类产品 万元，则股票类投资为万元， 依题意得： ， 令 ，则 ， 所以当，即万元时，收益最大，万元 13 分 考点： （1）待定系数法求函数的解析式； （
18、2）数形结合思想的应用； （3）换元法的应用。 21.已知函数f（x）=4cosxsin（x+ ）-1 （1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间； （2）将y=f（x）图象上所有的点向右平行移动 个单位长度，得到y=g（x）的图象若g（x） 在（0，m）内是单调函数，求实数m的最大值 【答案】 （1）最小正周期为 ，减区间为k+ ，k+，kZ （2） 【解析】 【分析】 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性求得f（x）的 最小正周期和单调递减区间 （2）利用函数yAsin（x+ ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数 的单调性，求得m的最大值
19、 【详解】 （1）依题意，得函数f（x）4cosxsin（x）14cosx（sinxcosx） 1sin2x+2cos 2x1 2（sin2xcos2x）2sin（2x） 它的最小正周期为 令 2k2x2k，求得kxk， 故函数的减区间为k，k，kZ Z （2）将yf（x）图象上所有的点向右平行移动 个单位长度，得到yg（x）2sin（2x） 的图象 若g（x）在（0，m）内是单调函数，则g（x）在（0，m）内是单调增函数， 2m，求得m，故m的最大值为 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，函数yAsin（x+ ）的图象变换规律，正弦函数的 周期性和单调性，属于中档题 22.已知函数y=x+ 有
20、如下性质：如果常数t0，那么该函数在（0，上是减函数，在， +）上是增函数 （1）已知（x）=，x0，1利用上述性质，求函数f（x）的值域； （2）对于（1）中的函数f（x）和函数g（x）=-x+2a若对任意x10，1，总存在x20， 1，使得g（x2）=f（x1）成立，求实数a的值 【答案】 （1）-4,-3； （2） 【解析】 【分析】 （1）f（x）（2x+1），利用换元法， 结合基本不等式即可求解； （2）任意x10，1，总存在x20，1，使得g（x2）f（x1）成立，求解g（x）的值域 M和f（x）的值域 N N，可得NM，即可求解实数a的值 【详解】 （1）f（x）（2x+1）， 令u2x+1，因为x0，1，所以u1，3， 可得f（x）转化为h（u）u，u1，3， 由已知条件所给出的性质得，当u1，2，时，h（u）递减；当u2，3时，h（u）递增 所以h（2）h（u）h（1）h（3） 得f（x）的值域是4，3； （2）函数g（x）x+2a为减函数，故当x0，1时，g（x）的值域1+2a，2a， 对任意x10，1，总存在x20，1，使得g（x2）f（x1）成立f（x）的值域是g（x） 的值域的子集， 即4，3 1+2a，2a， 则， 解得：a 【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，以及转化思想的应用，对勾函数的最值以 及单调性的应用
