1、 20172017- -20182018 学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 1414 小题，共小题，共 70.070.0 分）分） 1.已知集合，则_ 【答案】 【解析】 ， 点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明 确集合类型，是数集、点集还是其他的集合2求集合的交、并、补时，一般先化简集合， 再由交、并、补的定义求解 2._ 【答案】 【解析】 【分析】 直接利用诱导公式化简求解即可 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查了特殊角的三角函数值的
2、求法，是基础题 3.若幂函数的图象过点，则_ 【答案】4 【解析】 【分析】 根据已知求出函数的解析式，将代入可得答案 【详解】设幂函数， 幂函数的图象过点， ，解得：， ， ， 故答案为：4 【点睛】本题考查的知识点是幂函数的解析式，函数求值，难度不大，属于基础题 4.若向量，且，则|_ 【答案】 【解析】 【分析】 利用向量共线定理即可得出 【详解】，解得 则 故答案为： 【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 5.函数的单调增区间是_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式，结合函数的定义域分段讨论函数的单调性， 综合即可得
3、答案 【详解】根据题意， 即当时， 令， 在上，此时为增函数，也为增函数，则函数为增函数； 当时， 令， 在上，此时为增函数，为减函数，则函数为减函数； 故函数的单调增区间是； 故答案为： 【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断，注意分段函数要分段分析，属于基础题 6.计算：=_ 【答案】 【解析】 【分析】 利用对数的运算性质即可得出 【详解】原式=3+4+ =7+4 =11 故答案为：11 【点睛】本题考查了对数的运算性质，属于基础题 7.已知圆心角是 的扇形的面积是，则该圆心角所对的弧长为_cm 【答案】 【解析】 【分析】 利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值 【详
4、解】设扇形的弧长为 l，圆心角大小为，半径为 r，扇形的面积为 S， 则：解得， 可得：扇形的弧长为cm 故答案为： 【点睛】本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题 8.已知函数是周期为 2 的奇函数，且时，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，由函数的周期性可得，结合函数的奇偶性与解析式可得分析 可得，综合即可得答案 【详解】根据题意，函数是周期为 2 的函数，则， 又由为奇函数，则， 则； 故答案为： 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的表示方法，属于基础题 9.将函数向右平移个单位所得函数记为，当时取得最大 值，则_ 【答案】 【解
5、析】 【分析】 利用函数的图象变换规律求得的解析式，再根据正弦函数的最大值，求得 的值 【详解】将函数向右平移个单位，所得函数记为， 当时取得最大值， 则， 令， 可得， 故答案为： 【点睛】 本题主要考查函数的图象变换规律， 正弦函数的最大值， 属于中档题 10.若，_ 【答案】 【解析】 【分析】 由已知展开倍角公式及两角和的正弦可得，两边平方得答案 【详解】， ，即， ，两边平方得：， 故答案为： 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦的应用，是基础题 11.若，且，则实数 的取值范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 讨论在和的单调性，可得在 R 上递减，进而可
6、得 a 的不等式，解不等式即可 得到所求范围 【详解】， 可得时，递减； 时，递减， 且， 可得在 R 上递减， ，可得， 解得， 故答案为： 【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查运算求解能力，属于中 档题 12.在中，已知，点M在边BC上，则 _ 【答案】 【解析】 【分析】 由向量加法及减法的三角形法则可得，结合已知即可求解 【详解】， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的基本运算，属于基础题 13.函数，若，且，则的取值范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 作出的图象，求得，m 的范围及的解析式，运用二
7、次函数的单调性，可得所求范 围 【详解】作出函数的图象， 可得， 则在递增，可得 的范围是 故答案为： 【点睛】本题考查分段函数的图象和运用，考查二次函数的单调性的运用，以及运算能力， 属于中档题 14.函数在R上有 4 个零点，则实数m的取值范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意， 设， 则， 作出的草图， 据此分析可得方程 在区间有 2 个根，结合一元二次函数的性质可得，解可得 m 的取值范围，即 可得答案 【详解】根据题意，对于函数，设， 则， 的图象如图： 若函数在 R 上有 4 个零点， 则方程在区间有 2 个不同的根， 则有， 解可得：， 即 m 的取值范围为； 故答案为
8、： 【点睛】本题考查函数的零点，注意利用换元法分析，属于综合题 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 80.080.0 分）分） 15.设集合，全集 （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围 【答案】 （1）或； （2） 【解析】 【分析】 （1）求定义域得集合 A，求出时集合 B，再根据集合的定义计算即可； （2）由得出，由此列不等式求出实数 a 的取值范围 【详解】 （1）集合， 时， 又全集，或， 或； （2）， 又， ， 解得实数a的取值范围是 【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了求函数的定义域和值域问题，是中档 题 16.在ABC中，已知
9、=（1，2） ，=（4，m） （m0） （1）若，求m的值； （2）若，且，求的值 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 （1）由题意可知，结合向量的数量积的性质即可求解 m （2）由，结合向量数量积的性质可求 m，然后结合，及向量夹角公式 即可求. 【详解】 （1）若，则， ， ， （2）， ， ， ， ， ， 而， ， 【点睛】本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并 能灵活应用 17.如图，在平面直角坐标系中，角的始边均为x轴正半轴，终边分别与圆O交于A，B两 点，若，且点A的坐标为 （1）若，求实数m的值； （2）若，若的值 【答案】 （1）（2）
10、 【解析】 【分析】 （1）由题意利用二倍角的正切公式求得的值，再利用任意角的三角函数的定义求得 m 的 值 （2）利用同角三角函数的基本关系，求得和的值，再利用两角和的正弦 公式求得的值 【详解】 （1）由题意可得，或 ，即， （2）， ， ， ， 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦 公式，用两角和的正弦公式的应用，属于中档题 18.某公司对营销人员有如下规定： （i）年销售额x（万元）不大于 8 时，没有年终奖金； （）年销售额x（万元）大于 8 时，年销售额越大，年终奖金越多此时，当年销售额x（万 元）不大于 64 时，年终奖金y（万元）按关
11、系式ylogax+b， （a0，且a1）发放；当年 销售额x（万元）不小于 64 时，年终奖金y（万元）为年销售额x（万元）的一次函数经测算， 当年销售额分别为 16 万元，64 万元，80 万元时，年终奖金依次为 1 万元，3 万元，5 万元 （1）求y关于x的函数解析式； （2）某营销人员年终奖金高于 2 万元但低于 4 万元，求该营销人员年销售额x（万元）的取 值范围 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 （1）由已知可得在上是增函数，再结合已知列关于 a，b 的方程组，求解可 得函数解析式；又时，y 是 x 的一次函数，设，再由已知可得关于 m，k 的方程组求解可得时，则函数解析
12、式可求； （2）当时，不合题意；然后分类求解不等式得答案 【详解】 （1），年销售额越大，奖金越多， 在上是增函数 ，解得 时，； 又时，y是x的一次函数，设， 由题意可得：，解得 时， y关于x的函数解析式为； （2）当时，不合题意； 当时，解得 当时，解得， 综上， 所以该营销人员年终奖金高于 2 万元但低于 4 万元，其年销售额的取值范围是大于 32 万元且 小于 72 万元 【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，训练了不 等式的解法，是中档题 19.已知奇函数，函数， ， （1）求b的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）当时，函数的最小值
13、恰为的最大值，求m的取值范围 【答案】 （1）0（2）在递增（3） 【解析】 【分析】 （1）由奇函数的性质可得，解方程即可得到 b； （2）在单调递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符 号和下结论等步骤； （3）由（2）可得的最大值，即可得到的最小值，运用换元法和余弦函数的图象和性 质，可得所求范围 【详解】 （1）奇函数f（x），可得f（0）0， 即b0； （2）f（x）在0，1单调递增， 证明：设x1，x2是0，1上任意两个值，且x1x2， f（x2）f（x1）（）， 由x1，x20，1，且x1x2， 可得x2x10，1x1x20，1+x1 20，1+x 2 20， 即有
14、f（x2）f（x1）0，即f（x2）f（x1） ， 可得f（x）在0，1递增； （3）由（2）可得f（x）在0，1递增，可得f（x）maxf（1）， 可得g（t）的最小值为 ， 令scost，所以ss 2+2s 的最小值为 ， 所以s，即cost1，tm， ， 由ycost的图象可得m 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查换元法和定义法的运用，考查 化简整理的运算能力，属于中档题 20.已知向量， 函数， 的最小正周期为 （1）求的单调增区间； （2）方程；在上有且只有一个解，求实数n的取值范围； （3）是否存在实数m满足对任意x1-1，1，都存在x2R，使得+m（-）+1
15、f（x2）成立若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由 【答案】 （1），（2）或（3） 存在， 且 m 取值范围为 【解析】 【分析】 （1）函数，的最小正周期为 可得 ，即可求解的单调增区间 （2）根据 x 在上求解的值域，即可求解实数 n 的取值范围； （3）由题意，求解的最小值，利用换元法求解的最小值， 即可求解 m 的范围 【详解】 （1）函数f（x）12sin 2（x ）cos（2x）1 sin（2x）cos（2x） 2sin（2x） f（x）的最小正周期为 0 ， 1 那么f（x）的解析式f（x）2sin（2x） 令2x，kZ Z 得：x f（x）的单调增区间为，kZ Z （2
16、）方程f（x）2n+10；在0，上有且只有一个解， 转化为函数yf（x）+1 与函数y2n只有一个交点 x在0，上， （2x） 那么函数yf（x）+12sin（2x）+1 的值域为，2，结合图象可知 函数yf（x）+1 与函数y2n只有一个交点 那么2n1 或 2n2， 可得或n1 （3）由（1）可知f（x）2sin（2x） f（x2）min2 实数m满足对任意x11，1，都存在x2R R， 使得m（）+1f（x2）成立 即m（）+12 成立 令ym（）+1 设t，那么（） 2+2t2+2 x11，1， t， ， 可得t 2+mt+50 在 t， 上成立 令g（t）t 2+mt+50， 其对称轴t t， 上， 当时，即m3 时，g（t）ming（），解得； 当，即3m3 时，g（t）ming（）0，解得3m3； 当，即m3 时，g（t）ming（ ）0，解得m3； 综上可得，存在m，可知m的取值范围是（，） 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本 题的关键同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用属于难题
