1、2.1.2 离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列 考考 纲纲 定定 位位 重重 难难 突突 破破 1.理解离散型随机变量分布列的概念理解离散型随机变量分布列的概念 2.掌握离散型随机变量分布列的两条基掌握离散型随机变量分布列的两条基 本性质本性质 3.掌握两点分布和超几何分布的特点， 会掌握两点分布和超几何分布的特点， 会 判断这两种分布判断这两种分布. 重点：重点：离散型随机变量的概离散型随机变量的概 念与性质；超几何分布及其念与性质；超几何分布及其 应用应用 难点：难点：超几何分布的应用超几何分布的应用. 01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升 课时作业
2、自主梳理自主梳理 1离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列 (1)定义：定义：一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为可能取的不同值为 x1，x2，xi，xn， X 取每一个值取每一个值 xi(i1,2，n)的概率的概率 P(Xxi)pi，以表格的形式表示如下：，以表格的形式表示如下： X x1 x2 xi xn P _ _ _ _ 这个表格称为离散型随机变量这个表格称为离散型随机变量 X 的的 ，简称为，简称为 X 的的 为了简单起见，也用等式为了简单起见，也用等式 ，i1,2，n 表示表示 X 的分布列的分布列 P(Xxi)pi p1 p2 pi pn
3、概率分布列概率分布列 分布列分布列 (2)性质：性质： pi0，i1,2，n； 1 n i i p 1. 2两个特殊分布两个特殊分布 (1)两点分布两点分布 X 0 1 P _ _ 若随机变量若随机变量X的分布列具有上表的形式， 则称的分布列具有上表的形式， 则称X服从两点分布， 并称服从两点分布， 并称p 为为 成功概率成功概率 (2)超几何分布超几何分布 一般地，在含有一般地，在含有 M 件次品的件次品的 N 件产品中，任取件产品中，任取 n 件，其中恰有件，其中恰有 X 件次品，则件次品，则 P(Xk) ，k0,1,2，m，即，即 P(X1) 1p p Ck MC nk N M Cn N
4、 X 0 1 m P _ _ _ 其中其中 mminM，n，且，且 nN，MN，n，M，NN*. 如果随机变量如果随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布服从超几何分布 C0 MC n0 N M Cn N C1 MC n1 N M Cn N Cm MC nm N M Cn N 双基自测双基自测 1随机变量随机变量 X 的分布列如下，则的分布列如下，则 m 等于等于( ) X 1 2 3 4 P 1 4 m 1 3 1 6 A.1 3 B.1 2 C.1 6 D.1 4 解析：解析：由由1 4 m1 3 1 6 1，得，得 m1
5、4. 答案：答案：D 2设某项试验的成功概率是失败概率的设某项试验的成功概率是失败概率的 2 倍，用随机变量倍，用随机变量 X 描述一次试验成功与否描述一次试验成功与否 (记记 X0 为试验失败，记为试验失败，记 X1 为试验成功为试验成功)，则，则 P(X0)等于等于( ) A0 B.1 2 C.1 3 D.2 3 解析：解析：设试验失败的概率为设试验失败的概率为 P，则，则 2PP1， P1 3. 答案：答案：C 3一批产品共一批产品共 10 件，次品率为件，次品率为 20%，从中任取，从中任取 2 件，则恰好取到件，则恰好取到 1 件次品的概率件次品的概率 为为( ) A.28 45 B
6、.16 45 C.11 45 D.17 45 解析：解析：由题意知由题意知 10 件产品中有件产品中有 2 件次品，故所求概率为件次品，故所求概率为 P(X1)C 1 2C 1 8 C2 10 16 45. 答案：答案：B 探究一探究一 分布列的性质及应用分布列的性质及应用 典例典例 1 设随机变量设随机变量 X 的分布列为的分布列为 P Xk 5 ak(k1,2,3,4,5) (1)求常数求常数 a 的值；的值； (2)求求 P X3 5 ； (3)求求 P 1 10X 7 10 . 解析解析 (1)由由 P Xk 5 ak，k1,2,3,4,5 可知可知 5 1i P Xk 5 5 1i
7、ak a2a3a4a5a1，解得，解得 a 1 15. (2)由由(1)可知可知 P Xk 5 k 15(k 1,2,3,4,5)， P X3 5 P X3 5 P X4 5 P(X1) 3 15 4 15 5 15 4 5. (3)P 1 10X 7 10 P X1 5 P X2 5 P X3 5 1 15 2 15 3 15 2 5. 分布列性质的作用：分布列性质的作用： 利用离散型随机变量分布列的性质不仅可以求随机变量在某个范围内取值的概率， 帮利用离散型随机变量分布列的性质不仅可以求随机变量在某个范围内取值的概率， 帮 助我们检查写出的分布列是否有误助我们检查写出的分布列是否有误(即看
8、概率是否均为非负数且概率和是否等于即看概率是否均为非负数且概率和是否等于 1)， 还可以帮助我们求出分布列中的某些参数还可以帮助我们求出分布列中的某些参数 1已知随机变量已知随机变量 X 的分布列如下表：的分布列如下表： X 1 2 3 4 5 P 1 15 2 15 x 4 15 1 3 则则 x 的值为的值为_，P 2 3X 9 2 _. 解析：解析：根据分布列的性质根据分布列的性质 1 15 2 15 x 4 15 1 3 1，解得，解得，x1 5. 当当2 3X 9 2时， 时，X1,2,3,4. P 2 3X 9 2 1P(X5)11 3 2 3. 答案：答案：1 5 2 3 探究二
9、探究二 两点分布两点分布 典例典例 2 一个盒子中装有一个盒子中装有 5 个白色玻璃球和个白色玻璃球和 6 个红色玻璃球，从中任意摸出两球，个红色玻璃球，从中任意摸出两球， 记记 X 0，两球全红，两球全红， 1，两球非全红，两球非全红， 求求 X 的分布列的分布列 解析解析 由已知得由已知得 X 服从两点分布，则服从两点分布，则 P(X0) C2 6 C2 11 3 11， ，P(X1)1 3 11 8 11. X 的分布列如下：的分布列如下： X 0 1 P 3 11 8 11 判断一个分布是否为两点分布：判断一个分布是否为两点分布： (1)看取值：随机变量只取两个值：看取值：随机变量只取
10、两个值：0 和和 1. (2)验概率：检验验概率：检验 P(X0)P(X1)1 是否成立是否成立 如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布 2篮球比赛中每次罚球命中得篮球比赛中每次罚球命中得 1 分，不分，不中得中得 0 分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为 0.85，求他一次罚球得分的分布列，求他一次罚球得分的分布列 解析：解析：由题意，结合两点分布的特征可知，所求分布列为由题意，结合两点分布的特征可知，所求分布列为 X 0 1 P 0.15 0.85 1 探究三探究三 超几何分布超几
11、何分布 典例典例 3 某高二数学兴趣小组有某高二数学兴趣小组有 7 位同学，其中有位同学，其中有 4 位同学参加过高一数学位同学参加过高一数学“南方南方 杯杯”竞赛若从该小组中任选竞赛若从该小组中任选 3 位同学参加高二数学位同学参加高二数学“南方杯南方杯”竞赛，求这竞赛，求这 3 位同学位同学 中参加过高一数学中参加过高一数学“南方杯南方杯”竞赛的同学数竞赛的同学数 的分布列及的分布列及 P(2) 解析解析 由题意可知，由题意可知， 的可能取值为的可能取值为 0,1,2,3.则则 P(0)C 0 4C 3 3 C3 7 1 35， ，P(1)C 1 4C 2 3 C3 7 12 35， ，
12、P(2)C 2 4C 1 3 C3 7 18 35， ，P(3)C 3 4C 0 3 C3 7 4 35. 所以随机变量所以随机变量 的分布列为的分布列为 0 1 2 3 P 1 35 12 35 18 35 4 35 P(2)P(0)P(1) 1 35 12 35 13 35. 解超几何分布问题：解超几何分布问题： 解决此类问题，先分析随机变量是否满足超几何分布，若满足超几何分布，则建立超解决此类问题，先分析随机变量是否满足超几何分布，若满足超几何分布，则建立超 几何分布列的组合关系式， 求出随机变量取相应值的概率；否则利用概率公式和计数几何分布列的组合关系式， 求出随机变量取相应值的概率；
13、否则利用概率公式和计数 原理求随机变量取相应值的概率在解题中不应拘泥于某一特定的类型原理求随机变量取相应值的概率在解题中不应拘泥于某一特定的类型 3从一批含有从一批含有 13 只正品、只正品、2 只次品的产品中，不放回地任取只次品的产品中，不放回地任取 3 件，求取得次品数为件，求取得次品数为 的分布列的分布列 解析：解析：设随机变量设随机变量 表示取出次品的个数，则表示取出次品的个数，则 服从超几何分布，其中服从超几何分布，其中 N15，M 2，n3.它的可能的取值为它的可能的取值为 0,1,2.相应的概率依次为相应的概率依次为 P(0)C 0 2C 3 13 C3 15 22 35， ，
14、P(1)C 1 2C 2 13 C3 15 12 35， ，P(2)C 2 2C 1 13 C3 15 1 35. 所以所以 的分布列为的分布列为 0 1 2 P 22 35 12 35 1 35 现实生活背景下的随机变量分布列问题现实生活背景下的随机变量分布列问题 典例典例 (本小题满分本小题满分 12 分分)某大学志愿者协会有某大学志愿者协会有 6 名男同学，名男同学，4 名女同学在这名女同学在这 10 名同学中，名同学中，3 名同学来自数学学院，其余名同学来自数学学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的名同学来自物理、化学等其他互不相同的 七个学院现从这七个学院现从这 10
15、名同学中随机选取名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教活动名同学，到希望小学进行支教活动(每位同每位同 学被选到的可能性相同学被选到的可能性相同) (1)求选出的求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率；名同学是来自互不相同学院的概率； (2)设设 X 为选出的为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的分布列的分布列 解析解析 (1)设设“选出的选出的 3 名同学是来自互不相同的学院名同学是来自互不相同的学院”为事件为事件 A，则，则 P(A) C1 3 C 2 7 C0 3 C 3 7 C3 10 49 60. 所以，选出的所以，选出
16、的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为名同学是来自互不相同学院的概率为49 60.6 分 分 (2)随机变量随机变量 X 的所有可能值为的所有可能值为 0,1,2,3. P(Xk)C k 4 C 3k 6 C3 10 (k0,1,2,3).9 分分 所以，随机变量所以，随机变量 X 的分布列是的分布列是 X 0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 12 分分 规范与警示规范与警示 (1)解答本例的解答本例的 3 个关键步骤：个关键步骤： 首先确定随机变量首先确定随机变量 X 的取值，是正确作答的关键的取值，是正确作答的关键 要明确要明确 X 取不同值的意义，才能正确求取不同值
17、的意义，才能正确求 X 所对应值的概率所对应值的概率 解答本题时易文字叙述严重缺失，如第解答本题时易文字叙述严重缺失，如第(1)问只写出问只写出 P(A)C 1 3C 2 7 C0 3C 3 7 C3 10 49 60. (2)解答本类问题一是要正确理解题意，将实际问题转化为数学问题，二是在明确随解答本类问题一是要正确理解题意，将实际问题转化为数学问题，二是在明确随 机变量取每一个值所对应的随机事件外，还必须准确求出每个随机事件的概率机变量取每一个值所对应的随机事件外，还必须准确求出每个随机事件的概率. 随堂训练随堂训练 1随机变量随机变量 的分布列为的分布列为 ，其中，其中，a，b，c 成等
18、差数列则成等差数列则 P(|1)等于等于( ) A.1 3 B.1 4 C.1 2 D.2 3 解析：解析：a，b，c 成等差数列，成等差数列，2bac. 又又 abc1，b1 3. P(|1)ac2 3. 答案：答案：D 2已知随机变量已知随机变量 的分布列的分布列 P(k) 1 2k， ，k1,2,3，则，则 P(24)等于等于( ) A. 3 16 B.1 4 C. 1 16 D.1 5 解析：解析：P(24)P(3)P(4) 1 23 1 24 1 8 1 16 3 16. 答案：答案：A 3某学校从某学校从 4 名男生和名男生和 2 名女生中任选名女生中任选 3 人作为参加两会的志愿
19、者，设随机变量人作为参加两会的志愿者，设随机变量 表示所选表示所选 3 人中人中女生的人数，则女生的人数，则 P(1)_. 解析：解析：由题意可知由题意可知 的可能取值为的可能取值为 0,1,2，且，且 服从超几何分布，即服从超几何分布，即 P(k)C k 2C 3k 4 C3 6 ， k0,1,2， P(1)P(0)P(1) C 0 2C 3 4 C3 6 C 1 2C 2 4 C3 6 1 5 3 5 4 5. 答案：答案：4 5 4在掷一枚图钉的随机试验中，令在掷一枚图钉的随机试验中，令 X 1 针尖向上针尖向上 ， 0 针尖向下针尖向下 ， 如果针尖向上的概率为如果针尖向上的概率为 0.8， 随机变量随机变量 X 的分布列为的分布列为_ 解析：解析：随机变量随机变量 X 服从两点分布，且服从两点分布，且 P(X0)P(X1)1，由，由 P(X1)0.8，可得，可得 P(X0)10.80.2，故可写出，故可写出 X 的分布列的分布列 答案：答案： X 0 1 P 0.2 0.8 课时作业
