1、 【课标要求】 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.识记二项式定理及其特征，能用通项公式解决与二项展开式 有关的简单问题. 3.通过对二项式定理的研究，体会特殊到一般的发现规律，一 般到特殊指导实践的认识事物过程. 自主学习自主学习 基础认识基础认识 二项式定理 二项式定 理 (ab)nC0 na nC1 na n1bCk na nkbkCn n bn(nN*) 二项展开 式 公式右边的式子 二项式系 数 Ck n(k0,1,2，n) 二项展开 式的通项 Tk1Ck na nkbk 1.判断下列命题(正确的打“”，错误的打“”) (1)(ab)n展开式中共有 n 项( ) (2)在公式中，交
2、换 a，b 的顺序对各项没有影响( ) (3)Ck na nkbk 是(ab)n展开式中的第 k 项( ) (4)(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数相同 ( ) 2在(x 3)10的展开式中，x6的系数是( ) A27C6 10 B27C 6 10 C9C6 10 D9C 6 10 解析：x6的系数为 C4 10 ( 3) 49 C4 109 C 6 10. 答案：D 3二项式 x 1 x 8 的展开式中的第 6 项为( ) A28x 1 2 B28x 1 2 C56x 1 2 D56x 1 2 解析：T6C5 8x 85 1 x 556x 1 2 . 答案：C 4. x2 2
3、x3 5 展开式中的常数项为( ) A80 B80 C40 D40 解析：Tk1Ck 5(x 2)5k 2 x3 kCk 52 kx105k， 令 105k0 得 k2. 常数项为 T3C2 52 240. 答案：C 5. x 1 2x 8 的展开式中 x2的系数为_ 解析：利用二项展开式的通项公式求解 Tr1Cr 8x 8r 1 2x rC r 8 2r x8 2r.令 82r2，得 r3， x2的系数为C 3 8 23 7. 答案：7 课堂探究 互动讲练 类型一 求二项展开式 例 1 (1)求(a2b)4的展开式； (2)求 2x 3 2x2 5 的展开式； 【解析】 (1)(a2b)4C
4、0 4a 4C1 4a 3(2b)C2 4a 2(2b)2C3 4a(2b) 3 C4 4(2b) 4a48a3b24a2b232ab316b4. (2)法一 2x 3 2x2 5C0 5(2x) 5C1 5(2x) 4 3 2x2 C2 5(2x) 3 3 2x2 2 C3 5(2x) 2 3 2x2 3C4 5(2x) 3 2x2 4C5 5 3 2x2 532x5120x2180 x 135 x4 405 8x7 243 32x10. 法二 2x 3 2x2 54x 335 32x10 1 32x10(1 024x 153 840x125 760x94 320x61 620x3243)
5、32x5120x2180 x 135 x4 405 8x7 243 32x10. 方法归纳 求二项展开式的常见方法 (1)直接运用二项式定理展开 (2)先对要展开的式子进行化简，然后再展开. 跟踪训练 1 求 3 x 1 x 4 的展开式 解析：法一 3 x 1 x 4 (3 x)4C1 4(3 x) 3 1 xC 2 4(3 x) 2 1 x 2C3 4(3 x) 1 x 3C4 4 1 x 4 81x2108x5412 x 1 x2. 法二 3 x 1 x 4 3x1 x 41 x2(13x) 4 1 x21C 1 4 3xC 2 4(3x) 2C3 4(3x) 3C4 4(3x) 4 1
6、 x2(112x54x 2108x381x4) 1 x2 12 x 54108x81x2. 类型二 逆用二项式定理求和、化简 例 2 设 n 为正整数， 化简 C0 n4 n1C1 n4 n2C2 n4 n3Cn1 n 40Cn n4 1. 【解析】 C0 n4 n1C1 n4 n2C2 n4 n3Cn1 n 40Cn n4 1 1 4(C 0 n4 nC1 n4 n1C2 n4 n2Cn1 n 4Cn n) 1 4(41) n 5 n 4 . 方法归纳 逆用二项式定理进行解题，必须熟练掌握二项展开式的特点， 并且要正确运用“1 的任何次方都为 1”进行配凑，以构造满足二 项展开式形式的式子.
7、 跟踪训练 2 化简(x1)55(x1)410(x1)310(x1)2 5(x1) 解析：原式C0 5(x1) 5C1 5(x1) 4C2 5(x1) 3C3 5(x1) 2C4 5 (x1)C5 51(x1)1 51x51. 类型三 利用通项公式求特定的项 例 3 已知在 3 x 1 23x n 的展开式中，第 6 项为常数项 (1)求 n； (2)求含 x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项 【解析】 (1)通项公式为 Tr1Cr nx 3 n r 1 2 rx 3 r Cr n 1 2 rx 2 3 nr ， 因为第 6 项为常数项， 所以 r5 时，有n25 3 0，即 n10
8、. (2)令n2r 3 2，得 r1 2(n6) 1 2(106)2， 所以含 x2的项的系数为 C2 10 1 2 245 4 . (3)根据通项公式，由题意得 102r 3 Z， 0r10， rN， 令102r 3 k(kZ)， 则 102r3k(kZ)， 即 r53 2k(kZ)， 因为 rN，所以 k 应为偶数 所以 k 可取 2,0，2，即 r 可取 2,5,8. 所以第 3 项、第 6 项与第 9 项为有理项， 它们分别为 C2 10 1 2 2x2，C5 10 1 2 5，C8 10 1 2 8x2. 方法归纳 (1)求解二项展开式中的特定的项的步骤： 第一步是根据所给出的条件(
9、特定项)和通项公式，建立方程来 确定指数；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项 (2)若二项展开式的通项为 Tr1g(r) xh(r)(r0,1,2，n)， g(r)0，再根据题中所要求的某特定项赋以 h(r)的值，求出 r 进而 求得特定项. 跟踪训练 3 (1)在 3 2x 1 2 20 的展开式中，系数是有理数的 项共有( ) A4 项 B5 项 C6 项 D7 项 (2)设二项式 x 1 3 x 5 的展开式中常数项为 A，则 A _. A 10 解析：(1)Tk1Ck 20(3 2x)20 k 1 2 k 2 2 k (3 2)20 kCk 20 x 20k. 系数为有理数，( 2
10、)k与 220k 3 均为有理数， k 能被 2 整除，且 20k 能被 3 整除 故 k 为偶数，20k 是 3 的倍数，0k20， k2,8,14,20. (2)Tk1Ck 5( x) 5k 1 3 x kCk 5(1) kx5 2 5k 6 ， 令5 2 5k 6 0，得 k3，所以 AC3 510. 类型四 二项式定理的应用 例 4 (1)求证：2n 2 3n5n4 能被 25 整除； (2)求证： 133233n 1 能被 26 整除(n 为大于 1 的偶数) 【证明】 (1)原式4(51)n5n4 4(C0 n5 nC1 n5 n1C2 n5 n2Cn n)5n4 4(C0 n5
11、nC1 n5 n1Cn2 n 52)25n， 以上各项均为 25 的整数倍，故得证 (2)因为 133233n 1 13 3n 13 1 2(3 3n1)1 2(27 n1)1 2(261) n1， 而(261)n1C0 n26 nC1 n26 n1Cn1 n 26Cn n26 01 C0 n26 nC1 n26 n1Cn1 n 26. 因为 n 为大于 1 的偶数， 所以1 2(261) n1能被 26 整除 所以 133233n 1 能被 26 整除. 方法归纳 利用二项式定理求解整除性问题时，应根据题目特征，巧妙地 构造二项式，其基本方法是：要证明一个式子能够被另一个整式整 除，只要证明
12、这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式 子整除即可. 跟踪训练 4 求证：51511 能被 7 整除 证明：因为 51511(492)511C0 5149 51C1 5149 50 2 C50 51 49 2 50C51 51 2 511， 易知除 C51 51 2 511 以外各项都能被 7 整除， 又 2511(23)171(71)171 C0 17 7 17C1 17 7 16C16 17 7C 17 171 7(C0 177 16C1 177 15C16 17)， 显然能被 7 整除 所以 51511 能被 7 整除 |素养提升素养提升| 1二项展开式的特点 (1)展开式共有
13、n1 项 (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数 n. (3)字母 a 的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项 减 1 直到为 0，字母 b 的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数 由 0 逐项加 1 直到为 n. 2对通项公式的四点说明 (1)通项公式 Tr1Cr na nrbr 是(ab)n的展开式的第 r1 项， 这 里 r0,1，n. (2)二项式(ab)n的第r1项Cr na nrbr 和(ba)n的展开式的第r 1 项 Cr nb nrar 是有区别的，应用二项式定理时，其中的 a 和 b 是 不能随便交换的 (3)注意二项式系数 Cr n与展开式中对应项的系数不一定相
14、等， 二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负 (4)通项公式是在(ab)n这个标准形式下而言的，而(ab)n的 二项展开式的通项公式是 Tr1(1)rCr na nrbr(只需把b 看成 b 代 入二项式定理)，这与 Tr1Cr na nrbr 是不同的，在这里对应项的二 项式系数是相等的，都是 Cr n，但项的系数一个是(1) rCr n，一个是 Cr n，可看出二项式系数与项的系数是不同的概念 特别提醒：解题时要注意二项式系数与项的系数的区别和联 系 |巩固提升巩固提升| 11.056的计算结果(精确到 0.01)是( ) A1.23 B1.24 C1.33 D1.34 解析： 1.05
15、6(10.05)6C0 6C 1 60.05C 2 60.05 2C3 60.05 3 C6 60.05 610.30.037 50.002 51.34.故选 D. 答案：D 2(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为( ) A10 B20 C30 D60 解析：(x2xy)5(x2x)y5的展开式中只有 C2 5(x 2x)3y2 中含 x5y2，易知 x5y2的系数为 C2 5C 1 330，故选 C. 答案：C 3如果 3 x21 x n 的展开式中，x2项为第三项，则自然数 n _. 解析：Tr1Cr n(3 x2)n r 1 x rCr nx 25 3 nr ， 由题意知 r2 时，2n10 3 2，n8. 答案：8
