1、 【课标要求】 1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质. 2.会求某些简单的离散型随机变量的分布列. 3.理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用. 自主学习自主学习 基础认识基础认识 1离散型随机变量的分布列 (1)定义： 条件： ()离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，xi， xn， ()X 取每一个值 xi(i1,2，n)的概率 P(Xxi)pi. 表格形式： X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 结论： 称上表为离散型随机变量X的概率分布列， 简称为X的分布列 等式形式：P(Xxi)pi，i1,2，n. (2)表示方法：解析式
2、法、表格法、图象法 (3)性质：pi0，i1,2,3，n； i1 n pi1 2两点分布 (1)表格形式(其中 0p1). X 0 1 P 1p p (2)结论 离散型随机变量 X 服从两点分布称 pP(X1)为成功概率 3超几何分布 |自我尝试自我尝试| 1 判断下列命题是否正确 (正确的打“”， 错误的打“”) (1)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以 为任意的实数( ) (2)在离散型随机变量分布列中， 在某一范围内取值的概率等于 它取这个范围内各值的概率之积( ) (3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为 1.( ) 2设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机
3、变量 描述 一次试验的成功次数，则 P(0)等于( ) A0 B.1 3 C.1 2 D. 2 3 解析：设 P(1)p，则 P(0)1p. 依题意知，p2(1p)，解得 p2 3. 故 P(0)1p1 3. 答案：B 3下列各表能成为随机变量 X 的分布列的是( ) A. X 1 0 1 P 1.5 0.3 0.2 B. X 1 2 3 P 0.5 0.8 0.3 C . X 1 2 3 P 0.2 0.3 0.4 D . X 1 0 1 P 0 0.4 0.6 解析：利用随机变量分布列的两个性质加以判断A，B 不满 足 pi0(i1,2，n)，C 不满足 i1 n pi1. 答案：D 4一
4、批产品共 10 件，次品率为 20%，从中任取 2 件，则恰好 取到 1 件次品的概率为( ) A.28 45 B. 16 45 C. 11 45 D. 17 45 解析：由题意知 10 件产品中有 2 件次品，故所求概率为 P(X 1)C 1 2C 1 8 C2 10 16 45. 答案：B 5在掷一枚图钉的随机试验中，令 X 1针尖向上， 0针尖向下， 如果 针尖向上的概率为 0.8，随机变量 X 的分布列为_ 解析：随机变量 X 服从两点分布，且 P(X0)P(X1)1， 由 P(X1)0.8，可得 P(X0)10.80.2，故可写出 X 的分布 列 答案： X 0 1 P 0.2 0.
5、8 课堂探究 互动讲练 类型一 离散型随机变量的分布列 例 1 从装有 6 个白球、 4 个黑球和 2 个黄球的箱中随机取出 两个球，规定每取出一个黑球赢 2 元，而每取出一个白球输 1 元， 取出黄球无输赢，以 X 表示赢得的钱数，随机变量 X 可以取哪些值 呢？求 X 的分布列 【解析】 从箱中取两个球的情形有以下 6 种： 2 白球，1 白球 1 黄球，1 白球 1 黑球，2 黄球，1 黑 球 1 黄球)，2 黑球 当取到 2 白球时，随机变量 X2； 当取到 1 白球 1 黄球时，随机变量 X1； 当取到 1 白球 1 黑球时，随机变量 X1； 当取到 2 黄球时，随机变量 X0； 当
6、取到 1 黑球 1 黄球时，随机变量 X2； 当取到 2 黑球时，随机变量 X4. 所以随机变量 X 的可能取值为2，1,0,1,2,4. P(X2) C2 6 C2 12 5 22，P(X1) C1 6C 1 2 C2 12 2 11， P(X0) C2 2 C2 12 1 66，P(X1) C1 6C 1 4 C2 12 4 11， P(X2)C 1 4C 1 2 C2 12 4 33，P(X4) C2 4 C2 12 1 11. 所以 X 的分布列如下： X 2 1 0 1 2 4 P 5 22 2 11 1 66 4 11 4 33 1 11 方法归纳 求分布列的一般步骤为：(1)找出
7、随机变量 X 的所有可能取值 xi(i1,2,3，n)；(2)P(Xxi)的确定；(3)列出 X 的分布列或概率 分布表；(4)检验 X 的分布列或概率分布表(用随机变量的分布列的 两条性质验算). 跟踪训练 1 一袋中装有 6 个同样大小的黑球，编号为 1,2,3,4,5,6，现从中随机取出 3 个球，以 表示取出球的最大号码， 求 的分布列 解析： 随机变量 的取值为 3,4,5,6， 从袋中随机地取出 3 个球， 包含的基本事件总数为 C36，事件“3”包含的基本事件总数为 C3 3；事件“4”包含的基本事件总数为 C 1 1C 2 3；事件“5”包含 的基本事件总数为 C1 1C 2
8、4；事件“6”包含的基本事件总数为 C 1 1 C2 5，从而有 P(3)C 3 3 C3 6 1 20； P(4) C1 1C 2 3 C3 6 3 20； P(5)C 1 1C 2 4 C3 6 3 10； P(6) C1 1C 2 5 C3 6 1 2. 所以随机变量 的分布列为： 3 4 5 6 P 1 20 3 20 3 10 1 2 类型二 离散型随机变量的分布列的性质 例 2 设随机变量 X 的分布列 P(Xk 5)ak(k1,2,3,4,5) (1)求常数 a 的值； (2)求 P X3 5 ； (3)求 P 1 10X 7 10 . 【解析】 (1)由 P Xk 5 ak，k
9、1,2,3,4,5 可知， k1 5 P Xk 5 k1 5 aka2a3a4a5a1，解得 a 1 15. (2)由(1)可知 P Xk 5 k 15(k1,2,3,4,5)， P X3 5 P X3 5 P X4 5 P(X1) 3 15 4 15 5 15 4 5. (3)P 1 10X 7 10 P X1 5 P X2 5 P X3 5 1 15 2 15 3 15 2 5. 方法归纳 离散型随机变量的分布列的两个性质主要解决以下两类问题： 通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求出概率， 得出分布列求对立事件的概率或判断某概率是否成立. 跟踪训练 2 已知离散型随机变量 X
10、的分布列为 X 0 1 2 P 1 4 1q q 2 则 q 的值为_ 解析：1 41qq 21，q2q1 40. q1 2. 答案：1 2 类型三 两点分布与超几何分布 例 3 在一次购物抽奖活动中，假设 10 张奖券中有一等奖奖 券 1 张，可获价值 50 元的奖品，有二等奖奖券 3 张，每张可获价 值 10 元的奖品，其余 6 张没有奖品 (1)顾客甲从 10 张奖券中任意抽取 1 张，求中奖次数 X 的分布 列； (2)顾客乙从 10 张奖券中任意抽取 2 张， 求顾客乙中奖的概率； 设顾客乙获得的奖品总价值为 Y 元，求 Y 的分布列 【解析】 (1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情
11、况，故 X 的 取值只有 0 和 1 两种情况 P(X1) C1 4 C1 10 4 10 2 5，则 P(X0)1P(X1)1 2 5 3 5. 因此 X 的分布列为 X 0 1 P 3 5 2 5 (2)顾客乙中奖可分为互斥的两类事件： 所抽取的 2 张奖券中 有 1 张中奖或 2 张都中奖 故所求概率 PC 1 4C 1 6C 2 4C 0 6 C2 10 30 45 2 3. Y 的所有可能取值为 0,10,20,50,60，且 P(Y0)C 0 4C 2 6 C2 10 15 45 1 3，P(Y10) C1 3C 1 6 C2 10 18 45 2 5， P(Y20)C 2 3C
12、0 6 C2 10 3 45 1 15，P(Y50) C1 1C 1 6 C2 10 6 45 2 15， P(Y60)C 1 1C 1 3 C2 10 3 45 1 15. 因此随机变量 Y 的分布列为 Y 0 10 20 50 60 P 1 3 2 5 1 15 2 15 1 15 方法归纳 1.两点分布的几个特点： (1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的 (2)由对立事件的概率求法可知，已知 P(X0)(或 P(X1)，便 可求出 P(X1)(或 P(X0) 2解决超几何分布问题的两个关键点： (1)超几何分布是概率分布的一种形式， 一定要注意公式中字母 的范围及其意义，解
13、决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械 地记忆 (2)超几何分布中，只要知道 M，N，n，就可以利用公式求出 X 取不同 k 的概率 P(Xk)，从而求出 X 的分布列. 跟踪训练 3 某高二数学兴趣小组有 7 位同学，其中有 4 位同 学参加过高一数学“南方杯”竞赛若从该小组中任选 3 位同学参 加高二数学“南方杯”竞赛，求这 3 位同学中参加过高一数学“南 方杯”竞赛的同学数 的分布列及 P(2) 解析：由题意可知， 的可能取值为 0,1,2,3. 则 P(0)C 0 4C 3 3 C3 7 1 35，P(1) C1 4C 2 3 C3 7 12 35， P(2)C 2 4C 1 3 C
14、3 7 18 35，P(3) C3 4C 0 3 C3 7 4 35. 所以随机变量 的分布列为 0 1 2 3 P 1 35 12 35 18 35 4 35 P(2)P(0)P(1) 1 35 12 35 13 35. |素养提升素养提升| 1离散型随机变量分布列的意义和作用 (1)离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切 可能的值，而且也能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随 机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量 特征的基础 (2)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范 围内各值的概率之和 2离散型随机变量分布列表格形式的结构特征 分布列的
15、结构为两行，第一行为随机变量的所有可能取得的 值；第二行为对应于随机变量取值的事件发生的概率看每一列， 实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率 3分布列三种表示方法的优缺点 优点 缺点 表格法 能直观地得到随机变量取各 个不同值的概率 当 n 比较大时，不容易 制作表格 解析式 法 能精确表示 X 取各个不同值 的概率， 便于用数学方法进行 研究 不直观 图象法 直观表示 X 取各个不同值的 概率 不能精确表示X取各个 不同值的概率 |巩固提升巩固提升| 1下列表中能成为随机变量 X 的分布列的是( ) A. X 1 0 1 P 0.1 0.5 0.6 B. X 1 0 1 P 0.3 0
16、.7 0.1 C . X 1 0 1 P 0.3 0.3 0.4 D . X 1 0 1 P 0.3 1 0.4 解析：由随机变量分布列的性质 0Pi1， i1 n Pi1 知 C 正确 答案：C 2盒中有 10 只螺丝钉，其中有 3 只是坏的，现从盒中随机抽 取 4 只，那么 3 10为( ) A恰有 1 只坏的概率 B恰有 2 只好的概率 C4 只全是好的概率 D至多 2 只坏的概率 解析： 恰有1只坏的概率为C 1 3C 3 7 C4 10 1 2.恰有2只好的概率为 C2 3C 2 7 C4 10 3 10.故选 B. 答案：B 3 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分， 不中得 0 分 已 知某运动员罚球命中的概率为 0.7，则他罚球一次得分的分布列为 _ 解析：用随机变量 X 表示“每次罚球所得分值”，根据题意， X 可能的取值为 0,1，且取这两个值的概率分别为 0.3,0.7，因此所 求的分布列为 X 1 0 P 0.7 0.3 答案： X 1 0 P 0.7 0.3
