1、 12.2 排排 列列 (二二) 题型题型1 数字排列问题数字排列问题 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 例 1 用 0，1，2，3，4，5 这六个数字可以组成多少个无重复的满足下列条件的数字？ (1)六位奇数； (2)个位数字不是 5 的六位数； (3)不大于 4 310 的四位偶数 分析：奇、偶数问题是选特殊位置：对个位进行限制，又因为“0”的存在，首位也是特 殊位置，因此“0”、首位和末位要同时考虑正面情况较复杂时，可用间接法求解 解析：(1)法一从特殊位置入手(直接法) 分三步完成第一步：先填个位，有 A1 3种填法；第二步：再填十万
2、位，有 A 1 4种填法； 第三步：填其他位，有 A4 4种填法 故共有 A1 3A 1 4A 4 4288 个六位奇数 法二从特殊元素入手(直接法) 0 不在两端有 A1 4种排法，从 1，3，5 中任选一个排在个位有 A 1 3种排法，其他各位上用 剩下的元素作全排列有 A4 4种排法，故共有 A 1 4A 1 3A 4 4288 个六位奇数 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 法三(间接法) 6 个数字的全排列有 A6 6个，0，2，4 在个位上的排列数为 3A 5 5个，1，3，5 在个位上，0 在十万位上的排列数有 3A4 4个，故对
3、应的六位奇数的排列数为 A6 63A 5 53A 4 4288(个) (2)法一(间接法) 0 在十万位和 5 在个位的排列都是不符合题意的六位数，这两类排列中都含有 0 在十万 位和 5 在个位的情况 故符合题意的六位数共有 A6 62A 5 5A 4 4504(个) 法二直接法(个位不排 5 时，排 0 不排 0 分类计算) 个位不排 5，有 A1 5种排法，但十万位数字的排法因个位上排 0 与不排 0 而有所不同， 因此需分两类 第一类：当个位排 0 时，有 A5 5个 第二类：当个位不排 0 时，有 A1 4A 1 4A 4 4个 故符合题意的六位数共有 A5 5A 1 4A 1 4A
4、 4 4504(个) 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 (3)直接法 当千位上排 1，3 时，有 A1 2A 1 3A 2 4个 当千位上排 2 时，有 A1 2A 2 4个 当千位上排 4 时，形如 40，42的各有 A1 3个，形如 41的有 A 1 2A 1 3个， 形如 43的只有 4 310 和 4 302 这两个数，故共有 A1 2A 1 3A 2 4A 1 2A 2 42A 1 3A 1 2A 1 32110(个) 规律方法：(1)第一问中第一步若先填十万位，则个位上数字的填法与十万位上所填数 字是奇数还是偶数有关，故需分类，因
5、此最好先填个位(2)第二问中易忽视 0 不能排首位 而得 A1 5A 5 5600 个的错误结论 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 变式训练 1用 1，2，3，4，5，6 组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性 不同，且 1，2 相邻，这样的六位数的个数是_ 解析：可分为三步来完成这件事： 第一步，先将 3，5 进行排列，并有 A2 2种排法； 第二步，再将 4，6 插空排列，共有 2A2 2种排法； 第三步，将 1，2 放入 3，5，4，6 形成的空中，共有 A1 5种排法 由分步乘法计数原理得，共有 A2 22A 2 2
6、A 1 540(种)不同的排法 答案：40 题型题型2 排列节目问题排列节目问题 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 例 2 某次文艺晚会上共演出 8 个节目，其中 2 个唱歌、3 个舞蹈、3 个曲艺节目，求 分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？ (1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台； (2)2 个唱歌节目互不相邻； (3)2 个唱歌节目相邻且 3 个舞蹈节目不相邻 解析：(1)先排唱歌节目有 A2 2种排法，再排其他节目有 A 6 6种排法，所以共有 A 2 2A 6 61 440(种)排法 (2)先排 3 个舞蹈节目和 3 个曲艺
7、节目有 A6 6种排法，再从其中 7 个空(包括两端)中选 2 个排唱歌节目，有 A2 7种插入方法，所以共有 A 6 6A 2 730 240(种)排法 (3)把 2 个相邻的唱歌节目看作一个元素，与 3 个 曲艺节目排列共 A4 4种排法，再将 3 个舞蹈节目插入，共有 A3 5种插入方法，最后将 2 个唱歌节目互换位置，有 A 2 2种排法，故所 求排法共有 A4 4A 3 5A 2 22 880(种)排法 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 规律方法：(1)某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插 入空位，这种方法
8、称为“插空法”，即“不相邻元素插空法” (2)对于某些元素“相邻”的排列问题，一般采用“捆绑法” ，即先把相邻的若干个元素 “捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列 变式训练 2某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目如果 将这两个新节目插入原节目单中， 若： 两个新节目不相邻， 那么不同插法的种数为_； 两个新节目可以相邻，也可以不相邻，那么不同插法的种数为_ 解析：因为两个新节目不相邻，且 5 个节目已排成节目单，所以，新增加的两个新节 目只需插入到原 5 个节目之间的空隙(包括两端的两个空位)共 6 个位置上，所以，不同的插
9、 法有 A2 630 种 分两类： 第一类是两个新节目不相邻， 有 A2 630 种方法； 第二类是两个新节目相邻， 有 6A2 212 种，所以，共有不同插法有 301242 种 答案：30 种 42 种 题型题型3 排队问题排队问题 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 例 3 3 名男生、4 名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数 (1)选 5 名同学排成一行； (2)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端； (3)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端； (4)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端； (5)全体站成一排，男
10、、女各站在一起； (6)全体站成一排，男生必须排在一起； (7)全体站成一排，男生不能排在一起； (8)全体站成一排，男、女生各不相邻； (9)全体站成一排，甲、乙中间必须有 2 人； (10)全体站成一排，甲必须在乙的右边； (11)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变； (12)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 分析：先分析清楚是无限制条件的排列问题，还是有限制条件的排列问题若是无限制 条件的排列问题，直接利用排列数公式计算；若是有限制条件的排列问题，则要搞清楚限制 条件是对元素还是对位置
11、要求的，再选择是用直接法还是间接法计算 解析：(1)无限制条件的排列问题，只要从 7 名同学中任选 5 名排列，即可得共有 N A5 7765432 520(种) (2)(直接分步法)先考虑甲， 有 A1 3种方案， 再考虑其余 6 人全排， 故 NA 1 3 A 6 62 160(种) (3)(直接分步法)先安排甲、乙，有 A2 2种方案，再安排其余 5 人全排，故 NA 2 2A 5 5 240(种) (4)法一(直接分类法) 按甲是否在最右端分两类 第一类：甲在最右端时，有 N1A6 6， 第二类：甲不在最右端时，甲有 A1 5个位置可选，而乙只有 A 1 5个位置，而其余全排 A 5
12、5， N2A1 5A 1 5A 5 5，故 NN1N2A 6 6A 1 5A 1 5A 5 53 720(种) 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 法二(间接法) 无限制条件的排列数共有 A7 7，而甲(或乙)在左端(或右端)的排法有 A 6 6，且甲在左端同时 乙在右端的排法有 A5 5， 故 NA7 72A 6 6A 5 53 720(种) (5)(相邻问题用捆绑法)男生必须站在一起，是男生的全排列，有 A3 3种排法；女生必须 站在一起， 是女生的全排列， 有 A4 4种排法； 全体男生、 女生各视为一个元素， 有 A 2 2种排法 由
13、分步计数原理知，共有 A3 3A 4 4A 2 2288(种) (6)(捆绑法)把所有男生视为一个元素，与 4 名女生组成 5 个元素全排，故 NA3 3A 5 5720(种) (7)(不相邻问题用插空法)先排女生共 A4 4种排法，男生在 4 个女生隔成的五个空隙中安 排，有 A3 5种排法，故 NA4 4A 3 51 440(种) (8)对比(7)，让女生插空： NA3 3A 4 4144(种) (9)(捆绑法)任取 2 人与甲、乙组成一个整体，与余下 3 个元素全排，故 N(A2 5A 2 2) A 4 4960(种) 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接
14、 栏 目 链 接 (10)甲与乙之间的左右关系各占一半，故 NA 7 7 A2 22 520(种) (11)甲、 乙、 丙自左向右顺序保持不变， 即为所有甲、 乙、 丙排列的 1 A3 3， N A7 7 A3 3840(种) (12)直接分步完成，共有 A3 7A 4 45 040(种) 规律方法：(1)对于有限制条件的排列问题，先考虑安排好特殊元素(或位置)，再安排一 般的元素(或位置)，即先特殊后一般，此方法一般是直接分步法；或按特殊元素当选情况(或 特殊位置由哪个元素占)分类，再安排一般的元素(或位置)，即先分类后分步，此方法一般是 直接分类法；也可以先不考虑特殊元素(或位置)，而列出
15、所有元素的全排列数，从中再减去 不满足特殊元素(或位置)要求的排列数，即先全体后排除，此方法一般是间接法(排除法) (2)特别地，关于某些元素“相邻”、“不相邻”或“定序”的问题，应遵循“先整体， 后局部”的原则 元素相邻问题， 一般用“捆绑法”； 不相邻问题， 一般用“插空法”； “定 序”问题，一般用排除法：NA n n Am m. 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 变式训练 3(2013 陕西宝鸡中学高二期末)记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要 求排成一排，2 位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有(B) A1440 种 B960 种 C720 种 D480 种 解析：先将 5 名志愿者排好，有 A5 5种排法，2 位老人只能排在 5 名志愿者之间的 4 个 空隙中，先将 2 位老人排好，有 A2 2种排法，再把它作为一个元素插入空隙中，有 4 种插法 共有不同排法，4A2 2A 5 5960 种
