1.2.2 组合.pptx

1、-1- 1 1.2 2.2 2 组合 -2- 1.2.2 组合 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 课程目标课程目标 学习脉络学习脉络 1.能分析组合的意义,并能正确区分排列与组合. 2.能记住组合数的计算公式,组合数的性质以及 组合数与排列数之间的关系,并能运用这些知识 解决一些简单的组合应用题. 3.能合理进行分类、分步,综合应用排列组合知 识解决实际问题. -3- 1.2.2 组合 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIAN

2、XI 随堂练习 1.组合的相关概念 (1)定义:一般地,从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素合成一组,叫做 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. (2)相同组合:只要组合的元素完全相同,就是相同的组合,与元素顺序 无关. -4- 1.2.2 组合 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 1排列与组合的共同点和不同点分别是什么? 提示:共同点:二者都是从 n 个不同的元素中取 m(mn)个元素. 不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关,只有元素相同 且顺序也相同的两个排列

3、才是相同的.只要两个组合的元素相同,不论元素 的顺序如何,都是相同的组合. -5- 1.2.2 组合 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 2.组合数与组合数公式 (1)组合数定义:从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组 合的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,用符号n m表示. (2)组合数公式:n m = n m m m= n(n-1)(n-2)(n-m+1) m! = n! m!(n-m)!. 规定n 0=1. -6- 1.2.2 组合 JICHU ZHISHI

4、 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 2“组合”与“组合数”是否为同一个概念? 提示:不是同一概念.“一个组合”是指“从n个不同元素中取出m个元素 合成一组”;“组合数”是指“从 n 个不同元素中取出 m 个元素的所有组合的 个数”.例如,从“a,b,c”中任取2个元素的组合有ab,bc,ac共3个,3就是从a,b,c 中任取 2 个元素的组合数. -7- 1.2.2 组合 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 3.组合数的性质

5、性质 1:n m = n n-m . 性质 2:n+1 m = n m + n m-1. 思考 3(1)20 18= . (2)99 3 + 99 2 = . 提示:(1)20 18 = 20 2 = 2019 21 =190. (2)99 3 + 99 2 = 100 3 = 1009998 321 =161 700. -8- 1.2.2 组合 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究一 组合概念的理解与应用 区别排列与组合的关键是看取出元素之后,在安排这些元

6、素时,是否与 顺序有关,与顺序有关的则为排列,与顺序无关的则为组合. 【典型例题 1】 判断下列问题是排列问题,还是组合问题. (1)从1,2,3,9这九个数字中任取3个,组成一个三位数,这样的三位数 共有多少个? (2)从 1,2,3,9 这九个数字中任取 3 个,然后把这三个数字相加得到一 个和,这样的和共有多少个? (3)从 a,b,c,d 这四名学生中选 2 名学生,去完成同一件工作有多少种不 同的选法? (4)规定每两个人相互通话一次,5 个人共通了多少次电话? (5)5 个人相互各写一封信,共写了多少封信? -9- 1.2.2 组合 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首

7、 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 思路分析:观察取出的元素与顺序有关还是无关,从而确定是排列问题, 还是组合问题. 解:(1)取出3 个数字后,如果改变三个数字的顺序,会得到不同的三位数 此问题不但与取出元素有关,而且与元素的安排顺序有关,是排列问题. (2)取出 3 个数字之后,无论怎样改变这三个数字之间的顺序,其和均不 变,此问题只与取出元素有关,而与元素的安排顺序无关,是组合问题. (3)2 名学生完成的是同一件工作,没有顺序,是组合问题. (4)甲与乙通一次电话,也就是乙与甲通一次电话,无顺序区别,

8、为组合 问题. (5)发信人与收信人是有区别的,是排列问题. -10- 1.2.2 组合 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 规律总结区分排列与组合的办法是首先弄清楚条件是什 么,区分的标志是有无顺序,而区分有无顺序的方法是:把问题的一个选择结 果写出来,然后交换这个结果中任意两个元素的位置,看是否会产生新的变 化,若有新变化,即说明有顺序,是排列问题;若无新变化,即说明无顺序,是组 合问题. -11- 1.2.2 组合 ZHONGDIAN NANDIAN 重点

9、难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究二 借助图表列出所有组合 对于给出的组合问题,要求写出所有组合,一般是将元素按一定的顺序 排好,然后按照顺序用图示或图表的方法逐个地将各个组合表示出来.这样 做直观、明了、清楚,可避免重复和遗漏. 【典型例题 2】 (1)已知 a,b,c,d 这 4 个元素,写出每次取出 2 个元素的 所有组合; (2)已知 A,B,C,D,E 这 5 个元素,写出每次取出 3 个元素的所有组合. 思路分析:先将元素按一定顺序写出,然后按照顺序用图示的方法逐步 写出各个组合即可

10、. -12- 1.2.2 组合 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 解:(1)可按 abcd 顺序写出,即 所以,所有组合为 ab,ac,ad,bc,bd,cd. (2)可按 ABACADBCBDCD 顺序写出,即 所以,所有组合为 ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE. -13- 1.2.2 组合 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随

11、堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究三 组合数公式 (1)组合数公式的选取:涉及具体数字的可以用展开式计算,涉及字母的 可以用阶乘式计算.(2)性质 1:n m = n n-m ,主要应用于简化运算.性质 2:n+1 m = n m + n m-1,从右到左两个组合数合为一个,实现了由繁到简的化 简过程,主要应用于组合数的化简. -14- 1.2.2 组合 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 3】 (1)计算:38 3-2 5 2 +

12、 8 8; 100 98 + 200 199; 6 1 + 6 2 + 7 3. (2)证明:mn m=n n-1 m-1. 思路分析:(1)先考虑利用组合数的性质对原式进行化简,然后利用组合 数公式展开计算.(2)式子中涉及字母,可以用阶乘式证明. -15- 1.2.2 组合 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 (1)解:38 3-2 5 2 + 8 8=3 876 321-2 54 21+1=149. 100 98 + 200 199 = 100 2 + 2

13、00 1 = 10099 21 +200=5 150. 6 1 + 6 2 + 7 3 = 7 2 + 7 3 = 8 3 = 876 321=56. (2)证明: 左边=m n! m!(n-m)! = n(n-1)! (m-1)!(n-m)! =n (n-1)! (m-1)!(n-m)!=nn-1 m-1=右边, m n m=n n-1 m-1. -16- 1.2.2 组合 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 规律总结应用组合数公式时应注意以下几个方面: (1

14、)准确展开:应用组合数公式展开时要注意展开式的项数要准确. (2)应用两个性质可以简化运算,起到事半功倍的效果. -17- 1.2.2 组合 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究四 常见的组合问题 解简单的组合应用题时,要先判断它是不是组合问题,取出元素只是组 成一组,与顺序无关则是组合问题;取出元素排成一列,与顺序有关则是排列 问题.只有当该问题构成组合模型时,才能运用组合数公式求出其种数.在解 题时还应注意两个计数原理的运用,在分类和分步时,注意无重复或

15、遗漏. 【典型例题 4】 现有 10 名教师,其中男教师 6 名,女教师 4 名. (1)现要从中选 2 名去参加会议,有多少种不同的选法? (2)选出 2 名男教师或 2 名女教师去外地学习,有多少种不同的选法? (3)现要从中选出男、女教师各 2 名去参加会议,有多少种不同的选法? 思路分析:首先确定是否是组合问题,再确定完成事情是分步,还是分 类. -18- 1.2.2 组合 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 解:(1)从 10 名教师中选 2 名去参加

16、会议的选法种数,就是从 10 个不同 元素中取出 2 个元素的组合数,即有10 2 = 109 21 =45 种不同的选法. (2)可把问题分两类:第 1 类,选出 2 名男教师有6 2种方法;第 2 类,选出 2 名女教师有4 2种方法,即共有 6 2 + 4 2=21 种不同的选法. (3)从 6 名男教师中选 2 名的选法有6 2种,从 4 名女教师中选 2 名的选 法有4 2种,根据分步乘法计数原理,共有 6 2 4 2 = 65 21 43 21=90 种不同的 选法. -19- 1.2.2 组合 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知

17、识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究五 易错辨析 易错点 考虑问题不全面重复计数或漏解 【典型例题 5】 有编号分别为 1,2,3,4 的四个盒子和四个小球,把小球 全部放入盒子.恰有一个空盒,有多少种放法? 错解一:将 3 个小球放入 4 个盒子中,有4 3种放法,再把余下的 1 个小球 放到 3 个盒子中的一个,有3 1种放法.所以有43 3 1=72 种放法. 错解二:从 4 个小球中任取 3 个,有4 3种取法,从 4 个盒子中任取 3 个, 有4 3种取法.将 3 个小球放到取出的 3 个盒子中,有33种放法,再把余下的小 球放到

18、3 个盒子中的一个,有 3 种放法,所以放法共有4 3 4 3 4 3 3=288 种. -20- 1.2.2 组合 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 错因分析:错解一属于遗漏计数问题.从四个小球中取出 3 个(不妨设为 1 号、2 号、3 号)放入三个盒中,则把 4 号小球放入三个盒中的一个时,只有 1号和4号;2号和4 号;3号和4号三种情况,漏掉了1 号和2号;1号和3 号;2 号和 3 号的情况. 错解二属于重复计数问题.若取出的 3 个小球为 1 号

19、,2 号,3 号,则 4 号 小球放入盒中时,其中一种方式为 1,4 2 3;若取出的 3 个小球为 2 号,3 号,4 号,则 1 号小球放入盒中时,其中也有一种方式为 2 3 1,4,故出现重复计数. 正解:由题设,必有一个盒子内放入 2 个小球,从 4 个小球中取出 2 个小 球,有4 2种取法,此时把它看作一个小球,与另 2 个小球共 3 个小球放入 4 个 盒子中,有4 3种放法,所以满足题意的放法为 4 2 4 3=144 种. -21- 1.2.2 组合 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难

20、点 1 2 3 4 5 1.6 2 + 7 5的值为( ) A.72 B.36 C.30 D.42 解析:C6 2 + C7 5 = 65 21 + 76 21=15+21=36. 答案:B -22- 1.2.2 组合 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 2.某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的 项目不超过 2 个,则该外商不同的投资方案共有( ) A.16 种 B.36 种 C.42 种 D.60 种 解析:若选择了两个城市,则有C4 2C32A22

21、=36 种投资方案;若选择了三个城市, 则有C4 3A33 =24 种投资方案,因此共有 36+24=60 种投资方案. 答案:D -23- 1.2.2 组合 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 3.某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议,甲需 2 人参加,乙、丙各需 1 人参 加,从 10 人中选派 4 人参加这三个会议,不同的安排方法有 种. 解析:从10人中选派4人有C10 4 种方法,对选出的4人具体安排会议有C4 2C21种 方法,由分步乘法计数原理知,不同的选派方法有C10

22、 4 C4 2C21=2 520 种. 答案:2 520 -24- 1.2.2 组合 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 4.某同学有同样的画册 2本,同样的集邮册 3本,从中取出 4本赠送给 4位朋 友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有 种. 解析:依题意,就所剩余的 1 本进行分类: 第 1 类,剩余的是 1 本画册,此时满足题意的赠送方法有 4 种; 第 2 类,剩余的是 1 本集邮册,此时满足题意的赠送方法有C4 2=6 种. 因此,满足题意的赠送方法共有 4+6=1

23、0 种. 答案:10 -25- 1.2.2 组合 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 5.在6名内科医生和4名外科医生中,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下 列条件各有多少种选派方法? (1)有 3 名内科医生和 2 名外科医生; (2)既有内科医生,又有外科医生. 解:(1)先选内科医生有C6 3种选法,再选外科医生有C42种选法,故有C63 C4 2=120 种选派方法. (2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生 去1 人,2人,3 人,4人,有C6 1 C4 4 + C6 2 C4 3 + C6 3 C4 2 + C6 4 C4 1=246种选派 方法. 若从反面考虑,则有C10 5 C6 5=246 种选派方法.