第一课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理.ppt

1、数学数学 第一章第一章 计数原理计数原理 1.11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第一课时第一课时 分类加法计数原理与分步乘法计分类加法计数原理与分步乘法计 数原理数原理 数学数学 目标导航目标导航 课标要求课标要求 1.1.掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理, , 理解两个原理的区别与联系理解两个原理的区别与联系. . 2.2.能用分类加法计数原理与分步乘法计数原理分能用分类加法计数原理与分步乘法计数原理分 析并解决一些简单的实际问题析并解决一些简单的实际问题. . 素养达成素养达成 1.1.通过学习分类加

2、法计数原理与分步乘法计数原通过学习分类加法计数原理与分步乘法计数原 理理, ,理解两个原理的区别与联系的过程理解两个原理的区别与联系的过程, ,培养逻辑培养逻辑 推理的核心素养推理的核心素养. . 2.2.通过分类加法计数原理与分步乘法计数原理分通过分类加法计数原理与分步乘法计数原理分 析并解决一些简单的实际问题的过程析并解决一些简单的实际问题的过程, ,培养数学培养数学 建模与数学运算的核心素养建模与数学运算的核心素养. . 数学数学 新知导学新知导学 素养养成素养养成 课堂探究课堂探究 素养提升素养提升 数学数学 1.1.分类加法计数原理分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案完成一件事

3、有两类不同方案, ,在第在第1 1类方案中有类方案中有m m种不同的方法种不同的方法, ,在第在第2 2类类 方案中有方案中有n n种不同的方法种不同的方法. .那么完成这件事共有那么完成这件事共有N=N= 种不同的方法种不同的方法. . 思考思考1:1:分类加法计数原理有什么特征分类加法计数原理有什么特征? ? 答案答案: :任何一类方案中的任何一种方法都能完成这件事任何一类方案中的任何一种方法都能完成这件事. . 2.2.分步乘法计数原理分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤完成一件事需要两个步骤, ,做第做第1 1步有步有m m种不同的方法种不同的方法, ,做第做第2 2步有步有n n

4、种不种不 同的方法同的方法, ,那么完成这件事共有那么完成这件事共有N=N= 种不同的方法种不同的方法. . 新知导学新知导学素养养成素养养成 m+nm+n m mn n 数学数学 思考思考2:2:分步乘法计数原理有什么特征分步乘法计数原理有什么特征? ? 答案答案: :分步就是说完成这件事的任何一种方法分步就是说完成这件事的任何一种方法, ,都要分成都要分成n n个步骤个步骤, ,要完要完 成这件事必须并且只需连续完成这成这件事必须并且只需连续完成这n n个步骤后个步骤后, ,这件事才算完成这件事才算完成. . 思考思考3:3:如何区分完成一件事是分类还是分步如何区分完成一件事是分类还是分步

5、? ? 答案答案: :(1)(1)如果完成一件事的各种方法是相互独立的如果完成一件事的各种方法是相互独立的, ,互斥的互斥的, ,每一类方每一类方 法都能完成这件事情法都能完成这件事情, ,那么计算完成这件事的方法数时那么计算完成这件事的方法数时, ,使用分类加法使用分类加法 计数原理计数原理. . (2)(2)如果完成一件事的各个步骤是相互联系的如果完成一件事的各个步骤是相互联系的, ,即各个步骤都必须完成即各个步骤都必须完成, , 这件事才算完成这件事才算完成, ,那么计算完成这件事的方法数时那么计算完成这件事的方法数时, ,使用分步乘法计数使用分步乘法计数 原理原理. . 数学数学 名师

6、点津名师点津 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系 分类加法计数原理分类加法计数原理 分步乘法计数原理分步乘法计数原理 关键词关键词 分类分类 分步分步 本质本质 每类方法都能独立地每类方法都能独立地 完成这件事完成这件事, ,它是独它是独 立的、一次性的且每立的、一次性的且每 次得到的是最后结次得到的是最后结 果果, ,只需一种方法就只需一种方法就 可完成这件事可完成这件事 每一步得到的只是中间结果每一步得到的只是中间结果, ,任何任何 一步都不能独立完成这件事一步都不能独立完成这件事, ,缺少缺少 任何一步也不能完成这件事任何一步也不

7、能完成这件事, ,只有只有 各个步骤都完成了各个步骤都完成了, ,才能完成这才能完成这 件事件事 各类各类 ( (步步) ) 的关系的关系 各类办法之间是互斥各类办法之间是互斥 的、并列的、独立的、并列的、独立 的的, ,即即“分类互斥分类互斥” 各步之间是关联的、独立的各步之间是关联的、独立的, ,“关关 联联”确保连续性确保连续性, ,“独立独立”确保不确保不 重复重复, ,即即“分步互依分步互依” 数学数学 课堂探究课堂探究素养提升素养提升 题型一题型一 分类加法计数原理分类加法计数原理 例例11 某校高三共有三个班某校高三共有三个班, ,其各班人数如表所示其各班人数如表所示: : 班级

8、班级 男生数男生数 女生数女生数 总数总数 高三高三(1)(1)班班 3030 2020 5050 高三高三(2)(2)班班 3030 3030 6060 高三高三(3)(3)班班 3535 2020 5555 数学数学 (1)(1)从三个班中选一名学生会主席从三个班中选一名学生会主席, ,有多少种不同的选法有多少种不同的选法? ? (2)(2)从高三从高三(1)(1)班、高三班、高三(2)(2)班男生中或从高三班男生中或从高三(3)(3)班女生中选一名学生任学生会班女生中选一名学生任学生会 生活部部长生活部部长, ,有多少种不同的选法有多少种不同的选法? ? 解解: :(1)(1)从三个班中

9、任选一名学生从三个班中任选一名学生, ,可分三类可分三类: : 第第1 1类类, ,从高三从高三(1)(1)班任选一名学生班任选一名学生, ,有有5050种不同选法种不同选法; ; 第第2 2类类, ,从高三从高三(2)(2)班任选一名学生班任选一名学生, ,有有6060种不同选法种不同选法; ; 第第3 3类类, ,从高三从高三(3)(3)班任选一名学生班任选一名学生, ,有有5555种不同选法种不同选法. . 由分类加法计数原理知由分类加法计数原理知, ,不同的选法共有不同的选法共有N=50+60+55=165N=50+60+55=165种种. . (2)(2)由题设知共有三类由题设知共有

10、三类: : 第第1 1类类, ,从高三从高三(1)(1)班男生中任选一名学生班男生中任选一名学生, ,有有3030种不同选法种不同选法; ; 第第2 2类类, ,从高三从高三(2)(2)班男生中任选一名学生班男生中任选一名学生, ,有有3030种不同选法种不同选法; ; 第第3 3类类, ,从高三从高三(3)(3)班女生中任选一名学生班女生中任选一名学生, ,有有2020种不同选法种不同选法. . 由分类加法计数原理知由分类加法计数原理知, ,不同的选法共有不同的选法共有N=30+30+20=80N=30+30+20=80种种. . 数学数学 方法技巧方法技巧 利用分类加法计数原理解题的一般思

11、路利用分类加法计数原理解题的一般思路 数学数学 即时训练即时训练1 1- -1:1:如图所示的计算机程序模块中如图所示的计算机程序模块中, ,含有许多沿着不同路径的含有许多沿着不同路径的 执行方向执行方向, ,从开始到结束的路线从开始到结束的路线, ,每一条路线都是一条可执行的路径每一条路线都是一条可执行的路径, ,则则 在这个模块中在这个模块中, ,有多少条可执行的路径有多少条可执行的路径? ? 数学数学 解解: :模块的每一条执行路径相当于连接两个起止框之间的一条连通的模块的每一条执行路径相当于连接两个起止框之间的一条连通的 带箭头的路径带箭头的路径. .题图中的模块可以选择三个子模块中的

12、任一个来执行题图中的模块可以选择三个子模块中的任一个来执行, , 共有共有3 3类方法类方法. . 第一个子模块有第一个子模块有7 7条不同的执行路径条不同的执行路径, ,第二个子模块有第二个子模块有5 5条不同的执行条不同的执行 路径路径, ,第三个子模块有第三个子模块有8 8条不同的执行路径条不同的执行路径, ,由于每次运行模块时由于每次运行模块时, ,三三 个子模块中只有一个被执行个子模块中只有一个被执行, ,根据分类加法计数原理根据分类加法计数原理, ,共有可执行路共有可执行路 径径7+5+8=207+5+8=20条条. . 数学数学 备用例题备用例题 1.1.满足集合满足集合AB=1

13、,2AB=1,2的集合的集合A,BA,B共有多少组共有多少组? ? 解解: :当当 A=A=时时,B=1,2,B=1,2,得得 1 1 组组; ; 当当 A=1A=1时时,B=2,B=2或或 B=1,2,B=1,2,得得 2 2 组组; ; 当当 A=2A=2时时,B=1,B=1或或 B=1,2,B=1,2,得得 2 2 组组; ; 当当 A=1,2A=1,2时时,B=,B=或或 B=1B=1或或 B=2B=2或或 B=1,2B=1,2有有 4 4 组组. . 由分类加法计数原理知共有由分类加法计数原理知共有 1+2+2+4=91+2+2+4=9 组组. . 数学数学 2.2.某艺术小组有某艺

14、术小组有9 9人人, ,每人至少会钢琴和小号中的一种乐器每人至少会钢琴和小号中的一种乐器, ,其中其中7 7人会钢人会钢 琴琴,3,3人会小号人会小号, ,从中选出会钢琴和小号的各从中选出会钢琴和小号的各1 1人人, ,有多少种不同选法有多少种不同选法? ? 解解: :由题意可知在艺术小组的由题意可知在艺术小组的9 9人中有且仅有人中有且仅有1 1人既会钢琴又会小号人既会钢琴又会小号, ,作作 出如图所示的韦恩图出如图所示的韦恩图. . 第一类第一类: :多面手入选多面手入选, ,另另1 1个只需从其他个只需从其他8 8人中任选一个人中任选一个, ,故这类选法共有故这类选法共有 8 8种种;

15、; 第二类第二类: :多面手不入选多面手不入选, ,则会钢琴者只能从则会钢琴者只能从6 6个只会钢琴的人中选出个只会钢琴的人中选出, ,会会 小号者也只能从小号者也只能从2 2个只会小号的人中选出个只会小号的人中选出, ,故这类选法共有故这类选法共有6 62=122=12种种. . 根据分类加法计数原理根据分类加法计数原理, ,选出会钢琴和会小号的各选出会钢琴和会小号的各1 1人的选法共有人的选法共有8+8+ 12=2012=20种种. . 数学数学 3.3.某校从高二的某校从高二的4 4个班中抽出一些同学组成数学课外小组个班中抽出一些同学组成数学课外小组, ,其中一、二、其中一、二、 三、四

16、班分别抽出了三、四班分别抽出了4 4名、名、5 5名、名、6 6名、名、7 7名同学名同学. .若任选其中若任选其中1 1名同学担任名同学担任 组长组长, ,有多少种不同的选法有多少种不同的选法? ? 解解: :担任组长的同学可以分为四类担任组长的同学可以分为四类: :第一类第一类, ,从一班抽出的同学中选从一班抽出的同学中选1 1名同名同 学担任组长学担任组长, ,有有4 4种不同选法种不同选法; ;第二类第二类, ,从二班抽出的同学中选从二班抽出的同学中选1 1名同学担名同学担 任组长任组长, ,有有5 5种不同选法种不同选法; ;第三类第三类, ,从三班抽出的同学中选从三班抽出的同学中选

17、1 1名同学担任组名同学担任组 长长, ,有有6 6种不同选法种不同选法; ;第四类第四类, ,从四班抽出的同学中选从四班抽出的同学中选1 1名同学担任组长名同学担任组长, ,有有 7 7种不同选法种不同选法. .根据分类加法计数原理根据分类加法计数原理, ,共有共有4+5+6+7=224+5+6+7=22种不同选法种不同选法. . 数学数学 题型二题型二 分步乘法计数原理分步乘法计数原理 例例22乒乓球队的乒乓球队的1010名队员中有名队员中有3 3名主力队员名主力队员, ,派派5 5名参加比赛名参加比赛,3,3名主力队名主力队 员要安排在第一、三、五位置员要安排在第一、三、五位置, ,其余

18、其余7 7名队员选名队员选2 2名安排在第二、四位置名安排在第二、四位置, , 求不同的出场安排共有多少种求不同的出场安排共有多少种? ? 解解: :法一法一 按出场次序按出场次序, ,第一位置队员的安排有第一位置队员的安排有3 3种方法种方法, ,第二位置队员的第二位置队员的 安排有安排有7 7种方法种方法, ,第三位置队员的安排有第三位置队员的安排有2 2种方法种方法, ,第四位置队员的安排有第四位置队员的安排有 6 6种方法种方法, ,第五位置队员的安排只有第五位置队员的安排只有1 1种方法种方法. . 由分步乘法计数原理由分步乘法计数原理, ,得不同的出场安排种数为得不同的出场安排种数

19、为3 37 72 26 61=252.1=252. 法二法二 按主力与非主力按主力与非主力, ,分两步安排分两步安排. . 第一步第一步, ,安排安排3 3名主力队员在第一、三、五位置上名主力队员在第一、三、五位置上, ,有有6 6种方法种方法, , 第二步第二步, ,安排安排7 7名非主力队员中的名非主力队员中的2 2名在第二、四位置上名在第二、四位置上, ,有有7 76 6种方法种方法. . 由分步乘法计数原理由分步乘法计数原理, ,得不同的出场安排种数为得不同的出场安排种数为6 67 76=252.6=252. 数学数学 一题多变一题多变:(1):(1)本题若改为本题若改为:3:3名主力

20、队员中的甲队员只能在第三位置名主力队员中的甲队员只能在第三位置, ,其余两人在其余两人在 第一、五位置第一、五位置, ,再从再从7 7名非主力队员中选名非主力队员中选2 2名安排在第二、四位置名安排在第二、四位置, ,则不同的出场则不同的出场 安排共有多少种安排共有多少种? ? (2)(2)若乒乓球队中的若乒乓球队中的1010名队员中有名队员中有4 4名主力队员名主力队员, ,现在安排现在安排5 5名参加比赛名参加比赛, ,第一、三、第一、三、 五位置只能安排主力队员五位置只能安排主力队员, ,第二、四位置安排非主力队员中的第二、四位置安排非主力队员中的2 2名名, ,则不同的安排则不同的安排

21、 方法有多少种方法有多少种? ? 解解: :(1)(1)由于甲队员只能在第三位置由于甲队员只能在第三位置, ,因此第一个位置有因此第一个位置有2 2种安排方法种安排方法, ,第五个位置第五个位置 只有只有1 1种安排方法种安排方法, ,第二个位置有第二个位置有7 7种安排方法种安排方法, ,第四个位置有第四个位置有6 6种安排方法种安排方法, ,则由则由 分步乘法计数原理知不同的安排方法有分步乘法计数原理知不同的安排方法有2 21 17 76=846=84种种. . (2)(2)先安排第一个位置有先安排第一个位置有4 4种方法种方法, ,第三个位置有第三个位置有3 3种方法种方法, ,第五个位

22、置有第五个位置有2 2种方法种方法, , 第二个位置有第二个位置有6 6种方法种方法, ,第四个位置有第四个位置有5 5种方法种方法, ,则由分步乘法计数原理知不同的则由分步乘法计数原理知不同的 安排方法有安排方法有4 43 32 26 65=7205=720种种. . 数学数学 (1)(1)利用分步乘法计数原理解决问题的关键是仔细审题找到分步的标准利用分步乘法计数原理解决问题的关键是仔细审题找到分步的标准. . (2)(2)按事件发生的过程合理分步按事件发生的过程合理分步, ,各步之间是有顺序的各步之间是有顺序的, ,连续的连续的, ,各步都完各步都完 成这件事情才解决成这件事情才解决. .

23、 方法技巧方法技巧 数学数学 备用例题备用例题 1.(1)31.(1)3位旅客到位旅客到4 4个宾馆住宿个宾馆住宿, ,有多少种不同的住宿方法有多少种不同的住宿方法? ? (2)3(2)3人争夺人争夺4 4项冠军项冠军, ,有多少种不同的方法有多少种不同的方法? ? 解解: :(1)(1)第第1 1位旅客有位旅客有4 4种不同的选择住宿方法种不同的选择住宿方法, ,第第2 2位旅客也有位旅客也有4 4种不同住种不同住 宿方法宿方法, ,第第3 3位旅客也有位旅客也有4 4种不同方法种不同方法, ,由分步乘法计数原理知有不同的由分步乘法计数原理知有不同的 住宿方法住宿方法N=4N=44 44=4

24、3=644=43=64种种. . (2)(2)第一项冠军能被第一项冠军能被3 3个人中的一个夺取个人中的一个夺取, ,有有3 3种不同方法种不同方法, ,第二项冠军也第二项冠军也 有有3 3种不同方法种不同方法, ,第三、四项冠军均有第三、四项冠军均有3 3种不同的方法种不同的方法. .由分步乘法计数由分步乘法计数 原理知共有原理知共有N=3N=33 33 33=34=813=34=81种不同方法种不同方法. . 数学数学 2.2.现要排一份现要排一份5 5天的值班表天的值班表, ,每天有每天有1 1人值班人值班, ,共有共有5 5人人, ,每人都可以值多每人都可以值多 天班或不值班天班或不值

25、班, ,但相邻两天不准由同一人值班但相邻两天不准由同一人值班, ,问此值班表有多少种不问此值班表有多少种不 同的排法同的排法? ? 解解: :先排第先排第1 1天天, ,可排可排5 5人中任意一人人中任意一人, ,有有5 5种排法种排法; ;再排第再排第2 2天天, ,此时不能排此时不能排 第第1 1天已排的人天已排的人, ,有有4 4种排法种排法; ; 再排第再排第3 3天天, ,此时不能排第此时不能排第2 2天已排的人天已排的人, ,有有4 4种排法种排法; ;同理第同理第4,54,5天均有天均有4 4 种排法种排法. . 由分步乘法计数原理知值班表不同排法的种数是由分步乘法计数原理知值班

26、表不同排法的种数是5 54 44 44 44=1 280.4=1 280. 数学数学 3.3.求求4 3204 320的不同的正约数的个数的不同的正约数的个数. . 解解: :因为因为4 320=24 320=25 53 33 35,5, 所以它的正约数所以它的正约数( (如如15)15)的质因数必在的质因数必在2,3,52,3,5中中( (如如3 3和和5).5). 设设4 3204 320的正约数为的正约数为m= ,m= ,则则n n1 1可取可取0,1,2,3,4,5;n0,1,2,3,4,5;n2 2可取可取0,1,2,3;0,1,2,3; n n3 3可取可取0,1.0,1.故所求的

27、正约数的个数为故所求的正约数的个数为6 64 42=482=48个个. . 312 2 3 5n nn 数学数学 题型三题型三 两个计数原理的综合两个计数原理的综合 例例33 (12(12分分) )现有现有5 5幅不同的国画幅不同的国画,2,2幅不同的油画幅不同的油画,7,7幅不同的水彩画幅不同的水彩画. . (1)(1)从中任选一幅画布置房间从中任选一幅画布置房间, ,有几种不同的选法有几种不同的选法? ? (2)(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间, ,有几种不同的选法有几种不同的选法? ? 规范解答规范解答: :(1)(1)任选一幅画

28、任选一幅画, ,画的来源可以分为三类画的来源可以分为三类: :从国画中选从国画中选, ,有有5 5种不种不 同的选法同的选法; ;从油画中选从油画中选, ,有有2 2种不同的选法种不同的选法; ;从水彩画中选从水彩画中选, ,有有7 7种不同的选种不同的选 法法. .3 3分分 根据分类加法计数原理根据分类加法计数原理, ,共有共有5+2+7=145+2+7=14种不同的选法种不同的选法. .4 4分分 (2)(2)从国画、油画、水彩画中各选一幅从国画、油画、水彩画中各选一幅, ,可以分为三个步骤可以分为三个步骤: : 国画、油画、水彩画各有国画、油画、水彩画各有5 5种、种、2 2种、种、7

29、 7种不同的选法种不同的选法, ,根据分步乘法计数根据分步乘法计数 原理原理, ,共有共有5 52 27=707=70种不同的选法种不同的选法. .8 8分分 数学数学 (3)(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间, ,有几种不同的选法有几种不同的选法? ? 规范解答规范解答: :(3)(3)从这些画中选出两幅不同种类的画可以分为三类从这些画中选出两幅不同种类的画可以分为三类: : 第一类是一幅选自国画第一类是一幅选自国画, ,一幅选自油画一幅选自油画, ,根据分步乘法计数原理根据分步乘法计数原理, ,共有共有5 5 2=102=10种不同的选法种不

30、同的选法. .9 9分分 第二类是一幅选自国画第二类是一幅选自国画, ,一幅选自水彩画一幅选自水彩画, ,有有5 57=357=35种不同的选法种不同的选法; ; 1010分分 第三类是一幅选自油画第三类是一幅选自油画, ,一幅选自水彩画一幅选自水彩画, ,有有2 27=147=14种不同的选法种不同的选法. . 1111分分 根据分类加法计数原理根据分类加法计数原理, ,共有共有10+35+14=5910+35+14=59种不同的选法种不同的选法. .1212分分 数学数学 方法技巧方法技巧 (1)(1)本题是两个计数原理的混合问题本题是两个计数原理的混合问题. .从整体上看需要分类完成从整

31、体上看需要分类完成, ,用分用分 类加法计数原理类加法计数原理; ;从局部看每类需要分步完成从局部看每类需要分步完成, ,用分步乘法计数原理用分步乘法计数原理. . (2)(2)在既有分类又有分步的题型中在既有分类又有分步的题型中, ,一般先分类一般先分类, ,然后在每一类中再进然后在每一类中再进 行分步行分步. . 数学数学 即时训练即时训练3 3- -1 1: :已知集合已知集合M=1,M=1,- -2,3,N=2,3,N=- -4,5,6,4,5,6,- -7,7,从两个集合中各取从两个集合中各取 一个元素作为点的坐标一个元素作为点的坐标, ,则在直角坐标系中则在直角坐标系中, ,第一、

32、二象限不同点的个数第一、二象限不同点的个数 为为( ( ) ) (A)18(A)18 (B)16(B)16 (C)14(C)14 (D)10(D)10 解析解析: :分两类分两类: :一是以集合一是以集合M M中的元素为横坐标中的元素为横坐标, ,以集合以集合N N中的元素为纵坐中的元素为纵坐 标有标有3 32=62=6个不同的点个不同的点, ,二是以集合二是以集合N N中的元素为横坐标中的元素为横坐标, ,以集合以集合M M中的元中的元 素为纵坐标有素为纵坐标有4 42=82=8个不同的点个不同的点, ,故由分类加法计数原理得共有故由分类加法计数原理得共有6+8=146+8=14 个不同的点

33、个不同的点. .故选故选C.C. 数学数学 备用例题备用例题 古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序. .用天干的用天干的 “甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配, ,用用 天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥” 相配相配, ,共可配成共可配成 组组. . 解析解析: :分两类分两类: :第一类第一类, ,由天干的由天干的“甲、丙、戊、庚、壬甲、丙、戊、庚、壬”和地支的和地支的“子、

34、子、 寅、辰、午、申、戌寅、辰、午、申、戌”相配相配, ,则有则有5 56=306=30组不同的结果组不同的结果; ;同理同理, ,第二类也第二类也 有有3030组不同的结果组不同的结果, ,共可得到共可得到30+30=6030+30=60组组. . 答案答案: :6060 数学数学 错解错解: :因为抛物线过原点因为抛物线过原点, ,所以所以 c=0,c=0,从而知从而知 c c 只有只有 1 1 种取值种取值. . 又抛物线又抛物线 y=axy=ax 2 2+bx+c +bx+c 顶点在第一象限顶点在第一象限. . 所以所以 2 0, 2 4 0, 4 b a acb a 解得解得 a0.

35、a0.所以所以 a a - -3,3,- -2,2,- -1,b1,b1,2,3.1,2,3. 抛物线的条数可由抛物线的条数可由 a,b,ca,b,c 的取值确定的取值确定. .确定确定 a a 的值的值, ,有有 3 3 种方法种方法, ,确定确定 b b 的值的值, ,有有 3 3 种方法种方法, , 确定确定 c c 的值的值, ,有有 1 1 种方法种方法. . 由分类加法计数原理知由分类加法计数原理知, ,表示的不同的抛物线有表示的不同的抛物线有 N=3+3+1=7N=3+3+1=7 条条. . 题型四题型四 易错辨析易错辨析 例例44从从 - -3,3,- -2,2,- -1,0,

36、1,2,31,0,1,2,3中中, ,任取任取3 3个不同的数作为抛物线方程个不同的数作为抛物线方程y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的的 系数系数, ,如果抛物线经过原点如果抛物线经过原点, ,且顶点在第一象限且顶点在第一象限, ,则这样的抛物线共有多少条则这样的抛物线共有多少条? ? 数学数学 正解正解: :因为抛物线经过原点因为抛物线经过原点, ,所以所以 c=0,c=0,从而知从而知 c c 只有只有 1 1 种取值种取值. . 又抛物线又抛物线 y=axy=ax 2 2+bx+c +bx+c 顶点在第一象限顶点在第一象限, ,所以顶点坐标满足所以顶点坐标满足 2 0, 2 4

37、 0, 4 b a acb a 解得解得 a0,a0,所以所以 a a - -3,3,- -2,2,- -1,b1,b1,2,3,1,2,3, 抛物线的条数可由抛物线的条数可由 a,b,ca,b,c 的取值来确定的取值来确定; ; 第一步第一步: :确定确定 a a 的值的值, ,有有 3 3 种方法种方法; ; 第二步第二步: :确定确定 b b 的值的值, ,有有 3 3 种方法种方法; ; 第三步第三步: :确定确定 c c 的值的值, ,有有 1 1 种方法种方法. . 由分步乘法计数原理知由分步乘法计数原理知, ,表示的不同的抛物线有表示的不同的抛物线有 N=3N=33 31=91=

38、9 条条. . 纠错纠错: :在解答过程中在解答过程中N=3+3+1=7N=3+3+1=7出错出错, ,误用分类加法计数原理误用分类加法计数原理. .本题应使用分步乘本题应使用分步乘 法计数原理法计数原理N=3N=33 31=9.1=9. 数学数学 (1)(1)应用两个原理时应用两个原理时, ,要仔细区分原理的不同要仔细区分原理的不同, ,加法原理关键在于分类加法原理关键在于分类, , 不同类之间互相排斥不同类之间互相排斥, ,互相独立互相独立; ;乘法原理关键在于分步乘法原理关键在于分步, ,各步之间互相各步之间互相 依存依存, ,互相联系互相联系. . (2)(2)用两个计数原理解决计数问

39、题时用两个计数原理解决计数问题时, ,最重要的是在开始计算之前要进最重要的是在开始计算之前要进 行仔细分析行仔细分析需要分类还是需要分步需要分类还是需要分步. . 分类要做到“不重不漏”分类要做到“不重不漏”. .分类后再分别对每一类进行计数分类后再分别对每一类进行计数, ,最后用分最后用分 类加法计数原理求和类加法计数原理求和, ,得到总数得到总数. . 分步要做到“步骤完整”分步要做到“步骤完整”完成了所有步骤完成了所有步骤, ,恰好完成任务恰好完成任务, ,当然步当然步 与步之间要相互独立与步之间要相互独立. .分步后再计算每一步的方法数分步后再计算每一步的方法数, ,最后根据分步乘最后

40、根据分步乘 法计数原理法计数原理, ,把完成每一步的方法数相乘把完成每一步的方法数相乘, ,得到总数得到总数. . 学霸经验分享区学霸经验分享区 数学数学 课堂达标课堂达标 D D 1.1.某班三好学生中有男生某班三好学生中有男生6 6人人, ,女生女生4 4人人, ,从中选一名学生去领奖从中选一名学生去领奖, ,共有不共有不 同的选派方法的种数为同的选派方法的种数为( ( ) ) (A)6 (A)6 (B)4 (B)4 (C)24 (C)24 (D)10(D)10 解析解析: :选一名学生用分类加法计数原理共有选一名学生用分类加法计数原理共有6+4=106+4=10种方法种方法. .选选D.

41、D. 数学数学 2.2.从集合从集合0,1,2,3,4,5,60,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数中任取两个互不相等的数a,ba,b组成复数组成复数a+bi,a+bi, 其中虚数有其中虚数有( ( ) ) (A)30(A)30个个 (B)42(B)42个个 (C)36(C)36个个 (D)35(D)35个个 C C 解析解析: :要完成这件事可分两步要完成这件事可分两步, ,第一步确定第一步确定b(b0)b(b0)有有6 6种方法种方法, ,第二步确第二步确 定定a a有有6 6种方法种方法, ,故由分步乘法计数原理知共有故由分步乘法计数原理知共有6 66=366=36个虚数个虚数

42、, ,故选故选C.C. 数学数学 3.3.将将5 5封信投入封信投入3 3个邮筒个邮筒, ,不同的投法共有不同的投法共有( ( ) ) (A)5(A)53 3种种 (B)3(B)35 5种种 (C)8(C)8种种 (D)15(D)15种种 B B 解析解析: :每封信均有每封信均有3 3种不同的投法种不同的投法, ,所以依次把所以依次把5 5封信投完封信投完, ,共有共有3 33 3 3 33 33=33=35 5种投法种投法. .故选故选B.B. 数学数学 4.4.直线方程直线方程Ax+By=0,Ax+By=0,若从若从0,1,3,5,7,80,1,3,5,7,8这这6 6个数字中个数字中, ,每次取两个不同每次取两个不同 的数作为的数作为A,BA,B的值的值, ,则可表示则可表示 条不同的直线条不同的直线. . 解析解析: :若若A A或或B B中有一个为零时中有一个为零时, ,有有2 2条条; ;当当AB0AB0时有时有5 54=204=20条条, ,故共有故共有 20+2=2220+2=22条不同的直线条不同的直线. . 答案答案: :2222 数学数学 点击进入点击进入 课时作业课时作业