1、高考大题专项突破五高考大题专项突破五直线与圆锥曲线压轴大题直线与圆锥曲线压轴大题考情分析必备知识从近五年的高考试题来看,圆锥曲线问题在高考中属于必考内容,并且常常在同一份试卷上多题型考查.对圆锥曲线的考查在解答题部分主要体现以下考法:第一问一般是先求圆锥曲线的方程或离心率等较基础的知识;第二问往往涉及定点、定值、最值、取值范围等探究性问题,解决此类问题的关键是通过联立方程来解决.考情分析必备知识1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及有两个相异的公共点.(2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断
2、.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合).若a0,设=b2-4ac.当0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点;当=0时,直线和圆锥曲线相切于一点;当0,n0),双曲线常设为mx2-ny2=1(mn0),抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a0).(3)椭圆与双曲线的方程形式上可统一为Ax2+By2=1,其中A,B是不相等的常数,当AB0时,表示焦点在y轴上的椭圆;当BA0时,表示焦点在x轴上的椭圆;当ABb0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0
3、,1)在C1上.(1)求椭圆C1的方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.思路导引(1)由焦点坐标知c=1,由点P在椭圆上知b,从而求得椭圆方程.(2)求直线方程即求直线方程中的斜率k,截距m,由l同时与椭圆C1和抛物线C2相切,联立两个方程组,由判别式等于0得出关于k,m的两个方程,解之得直线方程.-39-题型一题型二题型三-40-题型一题型二题型三-41-题型一题型二题型三解题心得1.判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定,需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.2.依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程组
4、并消元转化为一元方程,若二次项系数为0,则方程为一次方程;若二次项系数不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.-42-题型一题型二题型三(1)求椭圆C的方程;(2)如图,若斜率为k(k0)的直线l与x轴、椭圆C相交于A,M,N(A点在椭圆右顶点的右侧),且NF2F1=MF2A.求证:直线l恒过定点,并求出斜率k的取值范围.-43-题型一题型二题型三-44-题型一题型二题型三-45-题型一题型二题型三突破2圆锥曲线中的最值、范围、证明问题题型一圆锥曲线中的最值问题突破策略函数最值法(1)求直线AP斜率的取值范围;(2)求|PA|PQ|的最大值.-46-题型一题型二题型三(2)以A
5、P斜率k为自变量,表示出|PA|,联立直线AP与BQ的方程用k表示出点Q的横坐标,从而用k表示出|PQ|,得到|PA|PQ|是关于k的函数,用函数求最值的方法求出最大值.-47-题型一题型二题型三-48-题型一题型二题型三-49-题型一题型二题型三解题心得圆锥曲线中的有关平面几何图形面积的最值问题,通过某一变量表示出图形的面积的函数表达式,转化为函数的最值问题,然后求导确定函数单调性求最值,或利用基本不等式,或利用式子的几何意义求最值.-50-题型一题型二题型三对点训练对点训练1(2017山西临汾三模,文20)已知抛物线y2=8x与垂直x轴的直线l相交于A,B两点,圆C:x2+y2=1分别与x
6、轴正、负半轴相交于点P,N,且直线AP与BN交于点M.(1)求证:点M恒在抛物线上;(2)求AMN面积的最小值.-51-题型一题型二题型三-52-题型一题型二题型三题型二圆锥曲线中的范围问题(多维探究)突破策略一条件转化法(1)求椭圆E的方程;(2)设过点P的动直线l与E相交于M,N两点,当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时,求直线l斜率的取值范围.-53-题型一题型二题型三-54-题型一题型二题型三-55-题型一题型二题型三-56-题型一题型二题型三解题心得求某一量的取值范围,要看清与这个量有关的条件有几个,有几个条件就可转化为几个关于这个量的不等式,解不等式取交集得结论.-57-题型一题型
7、二题型三对点训练对点训练2如图,动点M与两定点A(-1,0),B(2,0)构成MAB,且MBA=2MAB.设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设直线y=-2x+m与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.(1)求p的值;(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过点B与x轴平行的直线和过点F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求点M的横坐标的取值范围.-65-题型一题型二题型三-66-题型一题型二题型三所以m2.经检验,m2满足题意.综上,点M的横坐标的取值范围是(-,0)(2,+).-67-题型一题型二题型
8、三题型三圆锥曲线中的证明问题突破策略转化法思路导引思路导引(1)A是椭圆的左顶点及MANAAM的倾斜角为 AM的方程再代入椭圆方程yMAMN的面积.(2)MANAkMAkNA=-1用k表示出两条直线方程,分别与椭圆联立,用k表示出|AM|与|AN|,2|AM|=|AN|f(k)=0k是函数f(t)的零点,对f(t)求导确定f(t)在(0,+)内单调递增,再由零点存在性定理求出k的取值范围.-68-题型一题型二题型三-69-题型一题型二题型三-70-题型一题型二题型三解题心得圆锥曲线中的证明问题涉及证明的范围比较广,但无论证明什么,其常用方法有直接法和转化法,对于转化法,先是对已知条件进行化简,
9、根据化简后的情况,将证明的问题转化为另一问题.-71-题型一题型二题型三对点训练对点训练4(2017贵州贵阳二模,文20)已知椭圆C(a0)的焦点在x轴上,且椭圆C的焦距为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点R(4,0)的直线l与椭圆C交于两点P,Q,过点P作PNx轴且与椭圆C交于另一点N,F为椭圆C的右焦点,求证:三点N,F,Q在同一条直线上.-72-题型一题型二题型三-73-题型一题型二题型三-74-题型一题型二题型三突破3圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题题型一圆锥曲线中的定点问题(多维探究)突破策略一直接法(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过点F(1,0)作互相垂直的两条直线交轨
10、迹C于点G,H,M,N,且E1,E2分别是GH,MN的中点.求证:直线E1E2恒过定点.-75-题型一题型二题型三-76-题型一题型二题型三-77-题型一题型二题型三-78-题型一题型二题型三(1)求椭圆E的方程;(2)设椭圆E的右顶点为A,不过点A的直线l与椭圆E相交于P,Q两点,若以PQ为直径的圆经过点A,求证:直线l过定点,并求出该定点坐标.-79-题型一题型二题型三-80-题型一题型二题型三-81-题型一题型二题型三-82-题型一题型二题型三-83-题型一题型二题型三解题心得证明直线或曲线过某一定点(定点坐标已知),可把要证明的结论当条件,逆推上去,若得到使已知条件成立的结论,则证明了
11、直线或曲线过定点.-84-题型一题型二题型三-85-题型一题型二题型三-86-题型一题型二题型三-87-题型一题型二题型三题型二圆锥曲线中的定值问题突破策略直接法例3(2017全国,文20)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现ACBC的情况?说明理由;(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.思路导引思路导引(1)先假设能出现ACBC,然后验证直线AC,BC的斜率之积是否为-1,从而得结论.(2)设A(x1,0),B(x2,0),点C的坐标已知,由A,B,C三点AB,BC的中垂线方程圆心
12、坐标及圆半径圆在y轴上的弦长.-88-题型一题型二题型三-89-题型一题型二题型三解题心得证明某一量为定值,一般方法是用一个参数表示出这个量,通过化简消去参数,得出定值,从而得证.-90-题型一题型二题型三-91-题型一题型二题型三(1)解 由已知A,B在椭圆上,可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,又ABF1的周长为8,所以|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8,即a=2.由椭圆的对称性可得,AF1F2为正三角形当且仅当A为椭圆短轴顶点,则a=2c,即c=1,b2=a2-c2=3,-92-题型一题型二题型三-93-题型一题型二题型三题型三圆锥曲线中的存在
13、性问题突破策略肯定顺推法(1)求椭圆的方程;(2)椭圆左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,则F1AB的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.-94-题型一题型二题型三-95-题型一题型二题型三-96-题型一题型二题型三-97-题型一题型二题型三解题心得存在性问题通常用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化,其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程(组),若方程(组)有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.-98-题型一题型二题型三-99-题型一题型二题型三-100-题型一题型二题型三
