1、 - 1 - 湖南省张家界市慈利县 2017-2018学年高一数学下学期期中试题 考生注意： 1本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，共 4页。考试时量 120分钟，满分 150分。 2答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置。 3全部答案在答题卡 上完成，答在试题卷、草稿纸上无效。 一、 选择题： 本大题共 12小题，每小题 5分，满分 60 分 . 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 ? ? ? ? ? ? ?2 , 1 , 0 , 1 , 2 , | 1 2 0A B x x x? ? ? ? ? ? ，则 AB? A
2、? ?1,0? B ?0,1 C ? ?1,0,1? D ? ?0,1,2 2设 a ， b ， cR? ，且 ab ，则 A ac bc? B 11ab? C 22ab? D 33ab? 3在 ABC 中，角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc， 6sinbB? ， 1sin 3A? ，则 a 等于 A 3 B 2 C 1 D 12 4若点 ( ,1)Mm 在不等式 2 3 5 0xy? 所表示的平面区域内，则 m 的取值范围是 A 1, )? B ( ,1? C (1, )? D ( ,1)? 5已知 0, 0ab ， 42ab? ，则 22log logab? 的最大值为 A 3 B 4
3、 C 5 D 6 6已知数列 na 的前 n 项和为 2nSn? ，则 5a? A 5 B 9 C 16 D 25 7三个数 a ， b ， c 既成等差数列，又成等比数列，则 a ， b ， c 间的关系为 A b a c b? ? ? B 2b ac? C abc? D 0abc? ? ? 8在 ABC 中，角 A、 B、 C的对边分别为 ab、 、 c，若 2 cosc a B? ，则 ABC 的形状是 A锐 角三角形 B等腰三角形 C等腰或 直角三角形 D直角三角形 9在 ABC 中 , 若 2, 60 , 7a B b? ? ? ? ?, 则 BC 边上的高等于 A 332B 3 C
4、 3 D 5 - 2 - 10若变量 ,xy满足约束条件 11yxxyy?，且 2z x y?的最大值和最小值分别为 m 和 n ，则mn? A 5 B 6 C 7 D 8 11我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作数书九章中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是： “ 以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隔，开平方得积 ” 若把以上这段文字写成公式，即 2 2 22 2 21 ()42a c bS a c?，其中 a、 b、 c 分别为 ABC 内角 A、 B、
5、 C 的对边 .若 2b? ， 3 sintan1 3 cosBC B? ?，则 ABC 面积 S的最大值为 A 3 B 5 C 3 D 2 12一艘轮船从海面上从 A 点 出发，以 40 海里 /h 的速度沿着北偏东 30 的方向航行，在 A点正西方有一点 B， AB=10海里，该船 1小时后到达 C点并立刻转为南偏东 60 的方向航行， 3 小时后到达 D 点，整个航行过程中存在不同的三点到 B点的距离构成等比数列，则以下数据中不可能成为该数列公比的数是 A 34B 2 C 6 D 10 第卷 二、填空题： 本大题共 4小题，每小题 5分，满分 20分 13比较大小： 2( 3)x? (
6、2)( 4)xx?.（填写 “ ” 或 “ ” ） 14已知 0x? ，则函数2 4xy x? ?的最大值为 . 15在 ABC 中， 4a? ， 5b? ， 6c? ，则 sin2sinAC?. 16 设等差数列 ?na 满足 2 2 2 23 6 6 3 4 5s i n c o s s i n c o s s i n ( )a a a a a a? ? ?，公差 ( 1,0)d? ，当且仅当 9n? 时， 数列 ?na 的前 n 项和 nS 取得最大值，则首项 1a 的取值范围是 . 三、 解答题： 本大题共 6小题，满分 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本题满分 1
7、0分） - 3 - 已知不等式 2 20x x a? 的解集为 | 1 x x t? . （ 1）求实数 a 和 t 的值； （ 2）当 x? R时，不等式 2( ) 2 ( ) 1 0c a x c a x? ? ? ? 恒成立 ， 求实数 c 的取值范围 . 18（本题满分 12分） 如图 ABC 中，已知点 D在 BC边上， AD? AC， 22sin3BAC?, 32AB? , 3AD? . （ 1）求 cos BAD? 的值和 BAD? 的面积； （ 2）求 BD的长 . 19（本题满分 12分） 已知数列 na 中，111 1 2n n n na a a a+-= ，数列 nb 满
8、足： 122 nanb ? ，且 111ab?. （ 1）求数列 ?na 和 nb 的通项公式； （ 2）求数列 nnab 的前 n 项和 nT . （第 18 题图） - 4 - 20（本题满分 12分） 在 ABC 中， ,abc分别为角 ,ABC 所对的边，已知 3c? ，3C ?. （ 1） 若 sin 2sinBA? ， 求 ,ab的值； （ 2） 求 ABC 周长 的最大值 . 21某单位要修建一个面积为 360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它 三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为 45元
9、 /m，新墙的造价为 180元 /m，设利用的旧墙长度为 x(单位： m)，修建此矩形场地围墙的总费用为 y（单位：元 ). （ 1）将 y表示为 x的函数； （ 2）试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用 . 22（本小题满分 12分） 已知数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，且 0na? ， ? ?212nnna S n N ?. （ 1）若 21 logn n nb a S? ，数列 ?nb 的前 n 项和为 nT ，求数列 1nnT?的前 n 项和 nH 的取值范围； （ 2）若 02n ? ， 2 tann nna ? .试判断数列 ?n? 是否为等比数列
10、，若是，求出 其通项公式；若不是，请说明理由 . （第 21 题图） - 5 - 参考答案 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分 . 在每小题给出的四个选项中， 只 有一项是符合题目要求的 . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D B C A B D B A B C D 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，满分 20分 题号 13 14 15 16 答案 ? 14 1 43( , )32? 三、 解答题：本大题共 6小题，满分 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 解 ： （ 1） 由已知得 1,t? 是方
11、程 2 20x x a? ? ? 的 两根 ， 则 12tta? ? ? ， 3a? ， 3t? ； ? 5分 （ 2）由（ 1）得 01)3(2)3( 2 ? xcxc 恒成立， 当 3?c 时 ,不等式 恒 成立 ， 当 3?c 时 ， ? ? ? 0)3(4)3(4 032 ccc ，解得 23c? ， 由 （ 1）（ 2） 可得 32 ?c .?1 0分 18 解：（ 1） 由已知， 90DAC?， 则 s i n s i n ( 9 0 ) c o sB A C B A D B A D? ? ? ? ? ?， 即 22cos3BAD?， ? ? 3分 有 22 2 1s in 1 (
12、 )33BAD? ? ? ?， 则 1 2 2 1 232 3 3 3BADS ? ? ? ? ? ?； ? 7分 （ 2） 在 BAD? 中，由余弦定理可得 2 2 2 2 c o sB D A B A D A B A B B A D? ? ? ? ? ? - 6 - 22 22( 3 2 ) 3 2 3 2 3 33? ? ? ? ? ? ?, 则 3BD? .? 12分 19解： （ 1） 由111 1 2n n n na a a a+-= ，有 1 2nnaa+ -=，又 1 1a= ， 所以数 列 ?na 是一个首 项为 1，公差为 2的等差 数列， 故 21nan=-， ? ? ?
13、 ? ? 4分 1 1 ( 2 1 ) 122 12 2 ( )2na n nnb? ? ? ? ?； ? ? ? ? ?6 分 （ 2） 因1212nn nnab -=， 故0 1 2 11 3 5 2 12 2 2 2n nnT -= + + + +LL1 2 11 1 3 2 3 2 12 2 2 2 2n nnnnT LL -= + + + +两式相减有： 1 2 11 1 1 1 2 1122 2 2 2 2n nn nT -骣 -= + + + + - 桫 LL 11 2 11 2 1 22nnn-骣 -= + - - 桫 233 2nn+=-， 故1236 2n nnT -+=-
14、.? 12分 20 解： （ 1） 因为 2sinB sinA? ， 由 正弦定理可得 2ba? ， 由余弦定理 2 2 2 2c a b abcosC? ， 得 2 2 29 4 2a a a? ， 解得 2 3a? ， 所以 3a? ， 2 2 3ba? ； ? ?6 分 （ 2） 由余弦定理 2 2 2 2c a b abcosC? ， 得 229ab a b? ， 即 2( ) 92aab a b b? ? ， 2()93b ba a? ， 又 2()2abab ?， 所以 22( ) 9 3( )2abab ?， 即 6ab? ? ， 当且仅当 ab? 时等号成立 . 所以 ABC?
15、 周长 的最大值为 9 . ? 12 分 21解： （ 1） 设矩形的另一边长为 a m， - 7 - 则 4 5 1 8 0 ( 2 ) 1 8 0 2 2 2 5 3 6 0 3 6 0y x x a x a? ? ? ? ? ? ? ?， 因 360xa? ,得 360ax?, 所以 y? 225x+ 2360 360( 0)xx ?； ?6 分 （ 2） 0x? ，则 2 23602 2 5 2 2 2 5 3 6 0 1 0 8 0 0x x? ? ? ?， 104403603602252 ? xxy .当且仅当 225x= x2360 时，等号成立 . 即当 x=24m时，修建围墙
16、的总费用最小，最小总费用是 10440元 . ? 12分 22解 ：（ 1） 222 11 l o g 1 l o g 1 22nn n nb a S n? ? ? ? ? ?， ? ? 1分 ? ? ? ? 212 1 2 22n nnT n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? 2分 21 1 1 1 1nn T n n n n? ? ? ? ? 则 1 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( ) ( ) . . . ( ) 12 2 3 3 4 1 1nH n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， nH 的 取值范围为 1 ,1)2 ? 5分 （ 2
17、） 数列 ?n? 是 等比数列 . 由 2 tann nna ? 可知 tan2 nn na ?， 代入 212nnnaS ?可得： 12 tann n nS ?， 2n?时，1 1 1112 ta n 2 ta nn n n nnnna S S ? ? ? ? ? ?， 代入 tan2 nn na ?可得：1 1ta n 1 12 2 ta n 2 ta nnn n nnn? ? ?， 2 11t a n t a n t a n 2 t a nn n n n? ? ? ? ? ?， ? ?1 22 ta nta n ta n 21 ta n nnnn? ? ?， 而 0 2n ?，112nn?，即 ?n? 是公比为 12 的等比数列 ； ? 8分 - 8 - 在 ? ?210,2nn n na a S n N ? ? ?中，令 1n? 可得 ：1 12a?， 1 1 1ta n 2 1 4a ? ? ? ? ?，11 1122nn n? ? ? ?1tan 22nn na?.? 12 分 注：其他解法，请酌情记分 . -
