1、 1 湖南省长沙市岳麓区 2016-2017 学年高一数学下学期期中试题 时量： 120 分钟 满分： 150 分 得分： _ 第卷 (满分 100 分 ) 一、选择题：本大题共 12 个小题 ， 每小题 4 分 ， 共 48 分 ， 在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的 1在区间 (0， 2 )范围内，与 345 终边相同的角是 A. 5 B.25 C.45 D.65 2已知 sin( ) 0，且 cos( ) 0，则角 所在的象限是 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知向量 a (2， 4)， b (x， 6)，若向量 a 与 b 共线，则实数 x 的值为
2、 A 3 B 12 C 3 D 12 4对于非零向量 a， b， c，下列命题正确的是 A若 ab ac ，则 b c B若 a b c，则 |a| |b| |c| C若 (ab )c 0，则 a b D若 ab 0，则向量 a， b 的夹角为锐角 5已知一个扇形的圆心角为 3 弧度， 半径为 4，则这个扇形的面积等于 A 48 B 24 C 12 D 6 6在平行四边形 ABCD 中， O 为对角线 AC 与 BD 的交点，则 BC AB A 2OA B 2OB C 2OC D 2OD 7.sin 47 sin 13sin 17 的值为 A. 3 B 1 C 3 D 1 8函数 y sin?
3、 ?2x 3 的图象是由函数 y sin x 的图象经过下列哪两次变换而得到的 A先将 y sin x 图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，再将所得图象向左平移 3 个单位 B先将 y sin x 图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，再将所得图象向左平移 3 个单位 C先将 y sin x 的图象向左平移 3 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半 2 D先将 y sin x 的图象向左平移 3 个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 9函数 y sin2? ?x 4 的单调递增区间是 A.? ?k 4 ， k 4 (k Z) B.? ?k 2 ， k (k Z
4、) C.? ?k 4 ， k 34 (k Z) D.? ?k， k 2 (k Z) 10如图，在 ABC 中， D 为 AB 的中点， E 为 CD 的中点，设 AB a， AC b，以 向量 a，b 为基底，则向量 AE A.12a b B.14a 12b C a 12b D.12a 14b 11一条河的两岸平行，河水从西向东流去，一艘船从河的南岸某处出发驶向北岸已知船的速度 |v1| 20 km/h，水流速度 |v2| 10 km/h，要使该船行驶的航程最短，则船速 v1的方向与河道南岸上游的夹角为 A 30 B 45 C 60 D 90 12函数 f(x) 2|cos x| cos x
5、23在区间 0， 2 内的零点个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 答题卡 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分 答 案 3 二、填空题：本大题共 4 个小题 ， 每小题 4 分 ， 共 16 分 13函数 y tan x的定义域是 _ 14已知向量 a (3， 4)，且 |a b| 1，则 |b|的最大值是 _ 15弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移 y(单位： cm)随时间 t(单位： s)的变化曲线如图所示，则小球在开始振动 (即 t 0)时离开平衡位置的位移是_ 16如图，在 ABC 中， BAC 60， AB 2， AC 1， D 是
6、 BC 边上一点，且 CD 2DB ，则 AD BC 的值为 _ 三、解答题：本大题共 3 个小题 ， 共 36 分解答应写出文字说明 ， 证明过程或演算步骤 17 (本小题满分 12 分 ) 已知 cos( ) 45，且 ? ? 2 ， ，求下列各式的值 (1)tan? ? 4 ； (2) 1sin? ? 2 2 tan 2 . 4 18.(本小题满分 12 分 ) 已知向量 a， b 满足 |a| 4， |b| 3，且 (a 3b) (2a b) 35. (1)求向量 a 与 b 的夹角； (2)设向量 c a b，当 0， 1时，求 |c|的取值范围 5 19.(本小题满分 12 分 )
7、 已知向量 a (cos x， cos x)， b ( 3sin x， cos x)，其中 0 为常数，函数 f(x) ab ，若函数 f(x)的最小正周期为 . (1)求 的值； (2)若当 x ? ?0， 2 时，不等式 |k f(x)|4 恒成立，求实数 k 的取值范围 6 第卷 (满分 50 分 ) 四、选择题：本大题共 2 个小题 ， 每小题 5 分 ， 共 10 分 ， 在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的 20若圆 C： x2 y2 2x 4y 20 0 上有四个不同的点到直线 l： 4x 3y c 0 的距离为 2，则 c 的取值范围是 ( ) A ( 12，
8、8) B ( 8， 12) C ( 13， 17) D ( 17， 13) 21已知三棱锥 P ABC 的底面是边长为 3 的正三角形， PA底面 ABC，且 PA 6，则该三棱锥的外接球的体积是 ( ) A 48 B 32 3 C 18 3 D 8 3 五、填空题：本大题共 1 个小题 ， 共 5 分 22已知函数 f(x)?2x a， x14（ x a）（ x 2a）， x 1 ，若 f(x)恰有 2 个不同的零点，则实数 a 的 取值范围是 _ 六、解答题：本大题共 3 个小题 ， 共 35 分解答应写出文字说明 ， 证明过程或演算步骤 23 (本小题满分 11 分 ) 如图，已知 C：
9、 x2 (y 2)2 1，点 M 在 x 轴正半轴上，过点 M 作 C 的两条切线，切点分别为 A， B. (1)若点 M 的坐标为 (2， 0)，求 MA MB 的值； (2)若 |AB| 4 23 ，求点 M 的坐标 7 24.(本小题满分 12 分 ) 如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1底面 ABC， ACB 90， AC 1， AA1 BC 2，点D 在侧棱 AA1上 (1)若 D 为 AA1的中点，求证： C1D平面 BCD； (2)若 A1D 2，求二面角 B C1D C 的大小 8 25.(本小题满分 12 分 ) 已知 f(x) ln x， g(x) x2 2ax
10、 4a 1，其中 a 为实常数 (1)若函数 fg(x)在区间 1， 3上为单调函数，求 a 的取值范围； (2)若函数 gf(x)在区间 1， e3上的最小值为 2，求 a 的值 2016 2017 学年度高一第二学期期中考试 数学参考答案 第卷 (满分 100 分 ) 一、选择题：本大题共 12 个小题 ， 每小题 4 分 ， 共 48 分 ， 在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 D B A C B D A C A B C D 1.D 【解析】因为 345 8 65 ， 则 345 与 65 终边相同
11、， 选 D. 2 B 【解析】因为 sin sin( ) 0， cos cos( ) 0， 则 是第二象限角 ， 选 B. 3 A 【解析】因为向量 a 与 b 共线 ， 则 4x 12， 即 x 3， 选 A. 4 C 【解析】对于 A， 当 a b， a c 时 ， b 与 c 不一定相等；对于 B， 当 a， b 同向时 ，结论不成立；对于 D， 当 ab 0 时 ， 向量 a， b 的夹角可能为 0， 选 C. 5 B 【解析】因为扇形的弧长 l 3 4 12， 则面积 S 12 12 4 24， 选 B. 6 D 【解析】在平行四边形 ABCD 中 ， 因为 BC AD ， O 为
12、BD 的中点 ， 则 BC AB AD AB BD 2OD ， 选 D. 7 A 【解析】原式 sin（ 30 17 ） sin（ 30 17 ）sin 17 2cos 30 sin 17sin 17 2cos 30 3， 选 A. 8 C 【解析】按变换 A 得到的函数是 y sin 2? ?x 3 ， 按变换 B 得到的函数是 y sin12?x 3 ， 按变换 D 得到的函数是 y sin?12x3 ， 选 C. 9 A 【解析】 y sin2? ?x 4 12? ?1 cos? ?2x 2 12(1 sin 2x)， 令 2 2k2x 2 2k ， 则 4 k x 4 k ， k Z，
13、 选 A. 10 B 【解析】因为 E 为 CD 的中点 ， 则 AE 12(AD AC )因为 D 为 AB 的中点 ， 则 AD 12AB .所以 AE 12? ?12AB AC 14AB 12AC ， 选 B. 11 C 【解析】设 v v1 v2， v1与 v 的夹角为 ， 要使船行驶的航程最短 ， 9 则 v v2， 所以 sin |v2|v1| 12， 得 30 ， 所以船速 v1的方向与河道南岸上游的夹角为 60 ， 选 C. 12 D 【解析】令 f(x) 0， 则 2|cos x| cos x 23. 设 g(x) 2|cos x| cos x， 则当 x ? ?0， 2 ?
14、 ?32 ， 2 时 ， g(x) 3cos x；当 x ? ? 2 ， 32 时 ， g(x) cos x. 易知函数 g(x)的图象与直线 y 23有 4 个不同的交点 ， 所以 f(x)在 0， 2 内有 4 个零点 ， 选 D. 二、填空题：本大题共 4 个小题 ， 每小题 4 分 ， 共 16 分 13.? ?k ， k 2 (k Z) 【解析】由 tan x 0， 得 k xk 2 ， k Z. 14 6 【解析】解法一：因为 a (3， 4)， 则 |a| 5.又 |a b| 1， 则 |b| |a (a b)| |a| |a b| 6， 当 a 与 a b 反向时取 等号 ，
15、所以 |b|的最大值是 6. 解法二：设 OA a， OB b， 则点 A(3， 4)， |AB| 1， 所以点 B 的轨迹是以点 A 为圆心 ，1 为半径的圆因为 |OA| 5， 则 |OB| 5 1 6， 所以 |b|的最大值是 6. 15 3 3 【解析】设该曲线对应的函数解析式为 f(x) Asin(t ) 由图可知 ， A 6， T 2? ?712 12 ， 则 2， 从而 f(x) 6sin(2t ) 因为 t 12是 f(x)的第一个最大值点 ， 则 2 12 2 ， 即 3. 所以 f(x) 6sin? ?2t 3 ， 得 f(0) 6sin 3 3 3. 16 2 【解析】 AD BC (AB BD ) BC (AB 13BC ) BC ? ?AB
