1、 - 1 - 湖北省钢城四中 2017-2018 学年高一数学下学期期中试题 文 第 I 卷 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、 在 ABC 中， a 3， b 5， sin A 13，则 sin B ( ) A.15 B. 53 C. 59 D 1 2、 在等差数列 an中，已知 a4 a8 16，则 a2 a10 ( ) A 12 B 24 C 20 D 1 3、 在锐角 ABC 中， 角 A， B 所对的边长分别为 a， b.若 2asin B 3b，则角 A 等于 ( ) A. 4 B. 3 C.
2、 6 D.12 4、 设 an为等差数列，公差 d 2， Sn为其前 n 项和若 S10 S11，则 a1 ( ) A 18 B 22 C 20 D 24 5、 若等比数列 an满足 anan 1 16n，则公比为 ( ) A 2 B 4 C 8 D 16 6、 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 b 2， B 6 ， C 4 ，则 ABC 的面积为 ( ) A 2 3 2 B. 3 1 C 2 3 2 D. 3 1 7、 已知 an为等差数列，其公差为 2， 且 a7是 a3与 a9的等比中项， Sn为 an的前 n 项和， nN *，则 S10的值为 ( )
3、 A 110 B 90 C 90 D 110 8、 设 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 bcos C ccos B asin A，则 ABC的形状为 ( ) A直角三角形 B锐角三角形 C 钝角三角形 D不确定 9、 设 an是首项为 a1，公差为 1 的等差数列， Sn为其前 n 项和若 S1， S2， S4成等比数列，则 a1 ( ) A 2 B 2 C.12 D 12 10、 若 ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边 a、 b、 c 满足 (a b)2 c2 4，且 C 60 ，则 ab 的值为 ( ) - 2 - A.43 B 8 4 3 C 1
4、 D.23 11、 如图 1 2，在 ABC 中， D 是边 AC 上的点，且 AB AD， 2AB 3BD， BC 2BD，则 sinC的值为 ( ) A. 33 B. 36 C. 63 D. 66 图 1 2 12、 定义在 ( ， 0) (0， ) 上的函数 f(x)，如果对于任意给定的等比数列 an， f(an)仍是等比数列，则称 f(x)为 “ 保等比数列函数 ” 现有定义在 ( ， 0) (0， ) 上的 如下函数： f(x) x2； f(x) 2x； f(x) |x|； f(x) ln|x|. 则其中是 “ 保等比数列函数 ” 的 f(x)的序号为 ( ) A B C D 第 I
5、I 卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13、 若等比数列 an满足 a2a4 12，则 a1a23a5 _. 14、 已知 an是等差数列， Sn为其前 n 项和， nN *.若 a3 16， S20 20，则 S10的值为 _ 15、 等比数列 an的各项均为正数，且 a1a5 4，则 log2a1 log2a2 log2a3 log2a4 log2a5_ 16、 如图 13，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC 2 2，过点 A 作 BC 的垂线，垂足为 A1；过点 A1作 AC 的垂线，垂足为 A2；过点 A2作 A1C 的垂线，垂足为 A3； ?.
6、依此类推，设 BA a1， AA1 a2， A1A2 a3， ? ， A5A6 a7，则 a7 _ - 3 - 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 17. （本小题满分 10 分） 已知等差数列 an满足 a3 2，前 3 项和 S3 92. (1)(本小题 5 分 ) 求 an的通项公式； (2) (本小题 5 分 ) 设等比数列 bn满足 b1 a1， b4 a15，求 bn的前 n 项和 Tn. 18. （本小题满分 12 分） 设数列 an(n 1， 2， 3， ?) 的前 n 项和 Sn满足 Sn 2an a1， 且 a1，a2 1， a3成等差数列 (1) (本小题 6
7、分 ) 求数列 an的通项公式； (2) (本小题 6 分 ) 设数列 ? ?1an的前 n 项和为 Tn，求 Tn. - 4 - 19（本小题满分 12 分） 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补， AB 1， BC 3， CD DA 2. (1) (本小题 6 分 ) 求 C 和 BD； (2) (本小题 6 分 ) 求四边形 ABCD 的面积 - 5 - 20（本小题满分 12 分） ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.向量 m (a， 3b)与 n (cos A， sin B)平行 (1) (本小题 6 分 ) 求 A； (2) (本小题 6 分 )
8、若 a 7， b 2，求 ABC 的面积 21. （本小题满分 12 分） 在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 a b c 8. (1) (本小题 5 分 ) 若 a 2， b 52，求 cos C 的值； (2) (本小题 7 分 ) 若 sin Acos2B2 sin Bcos2A2 2sin C，且 ABC 的面积 S 92sin C，求 a 和 b 的值 - 6 - 22. （本小题满分 12 分） 设等差数列 an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列 bn 的公比为 q.已知 b1 a1， b2 2， q d， S10 100. (1)
9、(本小题 5 分 ) 求数列 an， bn的通项公式； (2) (本小题 7 分 ) 当 d1 时，记 cn anbn，求数列 cn的前 n 项和 Tn. - 7 - 参考答案 一、填空题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B C B B D A D A D C 二、填空题 13 14 14 110 15 5 16 14 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 17. （本小题满分 10 分） 已知等差数列 an满足 a3 2，前 3 项和 S3 92. (1)(本小题 5 分 ) 求 an的通项公式； (2) (本小题 5 分 ) 设等比数列
10、bn满足 b1 a1， b4 a15，求 bn的前 n 项和 Tn. 解： (1)设 an的公差为 d，则由已知条件得 a1 2d 2， 3a1 3 22 d 92， 化简得 a1 2d 2， a1 d 32， 解得 a1 1， d 12， 故通项公式为 an 1 n 12 ， 即 an n 12 . (2)由 (1)得 b1 1， b4 a15 15 12 8. 设 bn的公比为 q，则 q3 b4b1 8，从而 q 2， 故 bn的前 n 项和 Tn b1（ 1 qn）1 q 1 （ 1 2n）1 2 2n 1. 18. （本小题满分 12 分） 设数列 an(n 1， 2， 3， ?)
11、的前 n 项和 Sn满足 Sn 2an a1， 且 a1，a2 1， a3成等差数列 (1) (本小题 6 分 ) 求数列 an的通项公式； (2) (本小题 6 分 ) 设数列 ? ?1an的前 n 项和为 Tn，求 Tn. 解： (1)由已知 Sn 2an a1，有 - 8 - an Sn Sn 1 2an 2an 1(n2) ， 即 an 2an 1(n2) 从而 a2 2a1， a3 2a2 4a1. 又因为 a1， a2 1， a3成等差数列，即 a1 a3 2(a2 1)， 所以 a1 4a1 2(2a1 1)，解得 a1 2， 所以数列 an是首项为 2，公比为 2 的等比数列
12、故 an 2n. (2)由 (1)得 1an 12n， 所以 Tn 12 122 ? 12n12112n1 12 1 12n. 19（本小题满分 12 分） 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补， AB 1， BC 3， CD DA 2. (1) (本小题 6 分 ) 求 C 和 BD； (2) (本小题 6 分 ) 求四边形 ABCD 的面积 解： (1)由题设 及余弦定理得 BD2 BC2 CD2 2BC CDcos C 13 12cos C， BD2 AB2 DA2 2AB DAcos A 5 4cos C 由 得 cos C 12，故 C 60 ， BD 7. (2)四边形 AB
13、CD 的面积 S 12AB DAsin A 12BC CDsin C ? ?12 1 2 1232 sin 60 2 3. 20（本小题满分 12 分） ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.向量 m (a， 3b)与 n (cos A， sin B)平行 (1) (本小题 6 分 ) 求 A； (2) (本小题 6 分 ) 若 a 7， b 2，求 ABC 的面积 解： (1)因为 mn ，所以 asin B 3bcos A 0， - 9 - 由正弦定理，得 sin Asin B 3sin Bcos A 0， 又 sin B 0，从而 tan A 3. 由于 00，
14、所以 c 3. 故 ABC 的面积为 12bcsin A 3 32 . 21. （本小题满分 12 分） 在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 a b c 8. (1) (本小题 5 分 ) 若 a 2， b 52，求 cos C 的值； (2) (本小题 7 分 ) 若 sin Acos2B2 sin Bcos2A2 2sin C，且 ABC 的面积 S 92sin C，求 a 和 b 的值 解： (1)由题意可知 c 8 (a b) 72. 由余弦定理得 cos C a2 b2 c22ab 22 ? ?522 ? ?72222 52 15. (2)由 s
15、in Acos2B2 sin Bcos2A2 2sin C 可得 sin A 1 cos B2 sin B 1 cos A2 2sin C， 化简得 sin A sin Acos B sin B sin Bcos A 4sin C. 因为 sin Acos B cos Asin B sin(A B) sin C， 所以 sin A sin B 3sin C. 由正弦定理可知 a b 3c.又 a b c 8， 所以 a b 6. 由于 S 12absin C 92sin C， 所以 ab 9， 从而 a2 6a 9 0， 解 得 a 3， 所以 b 3. - 10 - 22. （本小题满分 1
16、2 分） 设等差数列 an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列 bn 的公比为 q.已知 b1 a1， b2 2， q d， S10 100. (1) (本小题 5 分 ) 求数列 an， bn的通项公式； (2) (本小题 7 分 ) 当 d1 时，记 cn anbn，求数列 cn的前 n 项和 Tn. 解： (1)由题意有， ?10a1 45d 100，a1d 2， 即 ?2a1 9d 20，a1d 2， 解得?a1 1，d 2 或 ?a1 9，d 29. 故?an 2n 1，bn 2n 1 或 ?an 19（ 2n 79），bn 9 ? ?29n 1.(2)由 d1，知 an 2n 1， bn 2n 1，故 cn 2n 12n 1 ，于是 Tn 1 32 522 723 924 ? 2n 12n 1 ， 12Tn12322
