1、 热点专题 4 实际应用问题 实际应用问题，是每年中考中必考点，也是热点一般涉及到实际应用的题目数量为 2 3 个其中基本上必有一道解答题这几乎成了各大城市命题的一般规律，当然这也是课 程标准的要求这种题型主要考查的知识有一元一次方程、一元二次方程、分式方程、二元 一次方程组、一元一次不等式（组） 、一次函数、二次函数、反比例函数在实际生活中的应 用这里以解答题形式考查的主要是一元二次方程和分式方程或者不等式、一次函数、二次 函数、反比例函数等 山东省中考 考试说明要求 课程标准要求学生掌握一定的建模能力， 根据实际生活中的问题背景建立 相应的模型，能应用相关知识分析、解决问题 能灵活运用一元
2、一次方程、 一元二次方程、 分式方程、 一元一次不等式 （组） 的相关知识解决实际生活中的问题。 考向考向 1 一次方程（组）的实际应用一次方程（组）的实际应用 1 (2019 山东省德州市)孙子算经中有一道题，原文是： “今有木，不知长短引绳度 之， 余绳四足五寸； 屈绳量之， 不足一尺 木长几何？” 意思是： 用一根绳子去量一根长木， 绳子还剩余 4.5 尺 将绳子对折再量长木， 长木还剩余 1 尺， 问木长多少尺， 现设绳长x尺， 木长y尺，则可列二元一次方程组为( ) A 4.5 1 1 2 yx yx B 4.5 1 1 2 xy yx C 4.5 1 1 2 xy xy D 4.5
3、 1 1 2 yx xy 【答案】B 【解析】 本题的等量关系是： 绳长木长4.5； 木长绳长1， 据此可列方程组求解 设 绳长 x 尺，长木为 y 尺， 依题意得， 故选：B 2. (2019 山东省东营市)篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜 1 场得 2 分，负 1 场 得 1 分，某队在 10 场比赛中得到 16 分若设该队胜的场数为 x，负的场数为 y，则可列方 程组为（ ） A B C D 【答案】A 【解析】设这个队胜x场，负y场， 根据题意，得 故选：A 3. (2019 山东省临沂市)用 1 块A型钢板可制成 4 件甲种产品和 1 件乙种产品；用 1 块B 型钢板可制成
4、3 件甲种产品和 2 件乙种产品；要生产甲种产品 37 件，乙种产品 18 件，则恰 好需用A、B两种型号的钢板共 块 【答案】11 【解析】设需用A型钢板x块，B型钢板y块， 依题意，得：， （+）5，得：x+y11 故答案为：11 4. (2019 山东省泰安市)九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题： “今有 黄金九枚， 白银一十一枚， 称之重适等， 交易其一， 金轻十三两， 问金、 银一枚各重几何？” 意思是：甲袋中装有黄金 9 枚（每枚黄金重量相同） ，乙袋中装有白银 11 枚（每枚白银重量 相同） ， 称重两袋相等， 两袋互相交换 1 枚后， 甲袋比乙袋轻了 13 两 （
5、袋子重量忽略不计） ， 问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组 为 【答案】 【解析】设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得： ， 故答案为： 考向考向 2 分式方程的实际应用分式方程的实际应用 1 (2019 山东省菏泽市)列方程（组）解应用题： 德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计 2019 年 8 月竣工届时，如果汽车行驶高 速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高 80%，那么行驶 81 千米的高速公路比 行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短 36 分钟，求该汽车在高速公路上的平均速度 【解析】 设汽车行驶在普通公路上的平均速
6、度是x千米/分钟，则汽车行驶在高速公路上的平均速度 是 1.8x千米/分钟， 由题意，得+36 解得x1 经检验，x1 是所列方程的根，且符合题意 所以 1.8x1.8（千米/分钟） 答：汽车行驶在高速公路上的平均速度是 1.8x千米/分钟 2. (2019 山东省青岛市)甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量 的 1.5 倍，两人各加工 600 个这种零件，甲比乙少用 5 天 （1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？ （2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是 150 元和 120 元，现有 3000 个这种 零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余
7、任务由乙单独完成如果总加工费 不超过 7800 元，那么甲至少加工了多少天？ 【解析】 （1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工 1.5x个零件，由题意得：+5 化简得 6001.5600+51.5x 解得x40 1.5x60 经检验，x40 是分式方程的解且符合实际意义 答：甲每天加工 60 个零件，乙每天加工，40 个零件 （2）设甲加工了x天，乙加工了y天，则由题意得 由得y751.5x 将代入得 150x+120（751.5x）7800 解得x40， 当x40 时，y15，符合问题的实际意义 答：甲至少加工了 40 天 3. (2019 山东省威海市)列方程解应用题： 小明和小刚约定周
8、末到某体育公园打羽毛球他们两家到体育公园的距离分别是 1200 米， 3000 米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的 3 倍，若二人同时到达，则小明需提前 4 分钟出发，求小明和小刚两人的速度 【解析】 设小明的速度是x米/分钟，则小刚骑自行车的速度是 3x米/分钟，根据题意可得： 4， 解得：x50， 经检验得：x50 是原方程的根，故 3x150， 答：小明的速度是 50 米/分钟，则小刚骑自行车的速度是 150 米/分钟 考向考向 3 一元二次方程的实际应用一元二次方程的实际应用 1. (2019 山东省东营市)为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发 出的一种电子产
9、品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电 子产品销售单价定为 200 元时，每天可售出 300 个；若销售单价每降低 1 元，每天可多售出 5 个已知每个电子产品的固定成本为 100 元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元 时，公司每天可获利 32000 元？ 【解析】设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出300+5（200x）个， 依题意，得： （x100）300+5（200x）32000， 整理，得：x 2360x+324000， 解得：x1x2180 180200，符合题意 答：这种电子产品降价后的销售单价为 180 元时，公司每天可获利 32000
10、元 考向考向 4 一次函数的实际运用一次函数的实际运用 1. (2019 山东省德州市)下表中给出A，B，C三种手机通话的收费方式 收费方式 月通话费/元 包时通话时间/h 超时费/（元/)min A 30 25 0 .1 B 50 50 0 .1 C 100 不限时 （1）设月通话时间为x小时，则方案A，B，C的收费金额 1 y， 2 y， 3 y都是x的函数，请 分别求出这三个函数解析式 （2）填空： 若选择方式A最省钱，则月通话时间x的取值范围为 ； 若选择方式B最省钱，则月通话时间x的取值范围为 ； 若选择方式C最省钱，则月通话时间x的取值范围为 ； （3）小王、小张今年 5 月份通话
11、费均为 80 元，但小王比小张通话时间长，求小王该月的通 话时间 【解析】（1）0.1 元/min=6 元/h， 由题意可得， y1=， y2=， y3=100（x0）； （2）作出函数图象如图： 结合图象可得： 若选择方式 A 最省钱，则月通话时间 x 的取值范围为：0x， 若选择方式 B 最省钱，则月通话时间 x 的取值范围为：x， 若选择方式 C 最省钱，则月通话时间 x 的取值范围为：x 故答案为：0x，x，x （3）小王、小张今年 5 月份通话费均为 80 元，但小王比小张通话时间长， 结合图象可得：小张选择的是方式 A，小王选择的是方式 B， 将 y=80 分别代入 y2=，可得
12、6x-250=80， 解得：x=55， 小王该月的通话时间为 55 小时 （1）根据题意可以分别写出 y1、y2、y3关于 x 的函数关系式，并写出相应的自变量的取值 范围； （2）根据题意作出图象，结合图象即可作答； （3）结合图象可得：小张选择的是方式 A，小王选择的是方式 B，将 y=81 代入 y2关于 x 的 函数关系式，解方程即可得出小王该月的通话时间 2. (2019 山东省济宁市)小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于 小李的速度， 两人同时出发， 沿同一条公路匀速前进 图中的折线表示两人之间的距离y（km） 与小王的行驶时间x（h）之间的函数关系 请你根据
13、图象进行探究： （1）小王和小李的速度分别是多少？ （2）求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围 【解析】 （1）由图可得， 小王的速度为：30310km/h， 小李的速度为： （30101）120km/h， 答：小王和小李的速度分别是 10km/h、20km/h； （2）小李从乙地到甲地用的时间为：30201.5h， 当小李到达甲地时，两人之间的距离为：101.515km， 点C的坐标为（1.5，15） ， 设线段BC所表示的y与x之间的函数解析式为ykx+b， ，得， 即线段BC所表示的y与x之间的函数解析式是y30x30（1x1.5） 3. (2019 山东省
14、临沂市)汛期到来，山洪暴发下表记录了某水库 20h内水位的变化情况， 其中x表示时间（单位：h） ，y表示水位高度（单位：m） ，当x8（h）时，达到警戒水位， 开始开闸放水 x/h 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 y/m 14 15 16 17 18 14.4 12 10.3 9 8 7.2 （1）在给出的平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点 （2）请分别求出开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式 （3） 据估计， 开闸放水后， 水位的这种变化规律还会持续一段时间， 预测何时水位达到 6m 【解析】 （1）在平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的
15、点，如图所示 （2）观察图象当 0x8 时，y与x可能是一次函数关系：设ykx+b，把（0，14） ， （8，18）代入得 解得：k，b14，y与x的关系式为：yx+14， 经验证 （2， 15） ， （4，16） ， （6，17）都满足yx+14 因此放水前y与x的关系式为：yx+14 （0x8） 观察图象当x8 时，y与x就不是一次函数关系：通过观察数据发现：818 1010.41212169188144 因此放水后y与x的关系最符合反比例函数，关系式为： （x8） 所以开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式为：yx+14 （0 x8）和 （x8） （3）当y6 时，6，解得：x24
16、， 因此预计 24h水位达到 6m 考向考向 5 二次函数的实际运用二次函数的实际运用 1 (2019 山东省青岛市)某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每 天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示 （1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售 该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？ （3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多少 件？ 【解析】 （1）设y与销售单价x之间的函数关系式为
17、：ykx+b， 将点（30，100） 、 （45，70）代入一次函数表达式得：， 解得：， 故函数的表达式为：y2x+160； （2）由题意得：w（x30） （2x+160）2（x55） 2+1250， 20，故当x55 时，w随x的增大而增大，而 30x50， 当x50 时，w由最大值，此时，w1200， 故销售单价定为 50 元时，该超市每天的利润最大，最大利润 1200 元； （3）由题意得： （x30） （2x+160）800， 解得：x70， 每天的销售量y2x+16020， 每天的销售量最少应为 20 件 2. (2019 山东省潍坊市)扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一
18、种有机生态水果 拓宽了市场与去年相比，今年这种水果的产量增加了 1000 千克，每千克的平均批发价比 去年降低了 1 元，批发销售总额比去年增加了 20% （1） 已知去年这种水果批发销售总额为 10 万元， 求这种水果今年每千克的平均批发价是多 少元？ （2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果调查发现，若每千克的平均销售价为 41 元，则每天可售出 300 千克；若每千克的平均销售价每降低 3 元，每天可多卖出 180 千克， 设水果店一天的利润为w元， 当每千克的平均销售价为多少元时， 该水果店一天的利润最大， 最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计 ） 【解析】（1） 由题意
19、， 设这种水果今年每千克的平均批发价是x元， 则去年的批发价为 （x+1） 元 今年的批发销售总额为 10（120%）12 万元 整理得x 219x1200 解得x24 或x5（不合题意，舍去） 故这种水果今年每千克的平均批发价是 24 元 （2）设每千克的平均售价为m元，依题意 由（1）知平均批发价为 24 元，则有 w（m24） （180+300）60m 2+4200m66240 整理得w60（m35） 2+7260 a600，抛物线开口向下 当m35 元时，w取最大值 即每千克的平均销售价为 35 元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是 7260 元 考向考向 6 不等式的实际运用不等
20、式的实际运用 1. (2019 山东省泰安市)端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗某商场在端午 节来临之际用 3000 元购进A、B两种粽子 1100 个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相 同已知A种粽子的单价是B种粽子单价的 1.2 倍 （1）求A、B两种粽子的单价各是多少？ （2）若计划用不超过 7000 元的资金再次购进A、B两种粽子共 2600 个，已知A、B两种粽 子的进价不变求A种粽子最多能购进多少个？ 【解析】 （1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为 1.2x元/个， 根据题意，得：+1100， 解得：x2.5， 经检验，x2.5 是原方程的解，且符合题意， 1.2x3 答：A种粽子单价为 3 元/个，B种粽子单价为 2.5 元/个 （2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600m）个， 依题意，得：3m+2.5（2600m）7000， 解得：m1000 答：A种粽子最多能购进 1000 个
