1、 热点专题 5 几何证明与计算 河南中考数学命题中， 几何证明与计算是每年必考的， 往往考查在圆的背景下的证明与 计算，占 9 分。题目设置一般第一问是证明题,第二问是 2 个填空，与特殊四边形的性质与 判定相结合，除 2017 年第二问是计算外。 河南省中考 考试说明要求 熟练掌握三角形、四边形和圆知识点，并会综合运用，能独立解决几何 的证明与计算。 考向考向 1 以圆为背景的特殊四边形的动态探究题以圆为背景的特殊四边形的动态探究题 1. （2019 年河南省中原名校中考第三次大联考数学试卷）如图，AB 为O的直径，射线 AG 为O 的切线，点 A为切点，点 C 为射线 AG上任意一点，连接
2、 OC交O 于点 E，过点 B作 BDOC交O于点 D，连接 CD，DE，OD （1）求证：OACODC； （2）当OCA的度数为 时，四边形 BOED 为菱形； 当OCA 的度数为 时，四边形 OACD 为正方形 【答案】（1）证明见解析；（2）OCA30 ，OCA45 【解析】 （1）依据 SAS 可证明OACODC； （2）依据菱形的四条边都相等，可得OBD是等边三角形，则AOC=OBD=60 ，求 出OCA=30 ；由正方形的性质得出ACD=90 ，则ACO=45 【详解】（1）证明：OBOD， BODB， BDOC， AOCB，DOCODB， AOCCOD， OAOD，OCOC， O
3、ACODC（SAS）； （2）四边形 BOED 是菱形， OBDB 又ODOB， ODOBDB OBD为等边三角形， OBD60 CODB， AOC60 ， 射线 AG为O的切线， OAAC， OAC90 ， OCAOACAOC90 60 30 ， 四边形 OADC 是正方形， ACD90 ， ACODCO， OCA45 ， 故答案30 ，45 【点睛】本题主要考查的是切线的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质、等边三角 形的性质和判定，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键 2. （2019 年许昌二模）如图，AB 是半圆 O 的直径，C 是半圆上一个动点（不与点 A，B 重合），D
4、 是弦 AC 上一点，过点 D 作 DEAB，垂足为 E，过点 C 作半圆 O 的切线，交 ED 的延长线于点 F （1）求证：FCFD （2）当CAB 的度数为 时，四边形 OEFC 是矩形； 若 D 是弦 AC 的中点，O 的半径为 5，AC8，则 FC 的长为 【答案】（1）证明见解析；（2）CAB45 3 10 FC 【解析】（1）证明FDCFCD，即可求解； （2）当CAB45 时，COB90 ，即可求解；D 是弦 AC 的中点，则 ODAC， ADDC，cos，FD，即可求解 解：（1）FC 是圆的切线， FCD+ACO90 ， FEBA，ADC+CAO90 ， 而CAOACO，A
5、DEFDC， FDCFCD， FCFD； （2）当CAB45 时，COB90 ， 则四边形 OEFC 是矩形， 故答案是 45； 连接 OD，D 是弦 AC 的中点， ODAC，ADDC， 则ADEAODFDC， 则 ADCDAC4，OA5，DO4， cos， 则FDC 中， FDFC 【点评】本题为圆的综合运用题，涉及到解直角三角形、矩形的基本性质，其中（2）， 垂径定理的运用，是解题的关键 3. （2019 年河南省南阳市镇平县中考数学三模试） 如图， 已知在 RtABC中， ABC90 ， 点 O 是 AB 边上一点， 以 O为圆心 OB 为半径的O与边 AB 相交于点 E， 与 AC边
6、相切于 D 点，连接 OC 交O于点 F （1）连接 DE，求证：OCDE； （2）若O的半径为 3 连接 DF，若四边形 OEDF 为菱形，弧 BD的长为_（结果保留 ） 若 AE2，则 AD 的长为_ 【答案】（1）见解析；（2）2；4. 【解析】（1）利用 HL 可证明 RtOCDRtOCB，可得CODCOB，利用三角形外角 性质可得DOBODE+OED，即可证明DOCODE，即可得 OC/DE；（2）根 据菱形的性质可求出BOD，利用弧长公式即可得答案；由 DEOC，推出 ， 设 AD2k，CD3k，由 RtOCDRtOCB，可得 BCCD3k，在 RtABC 中，利用勾 股定理构建方
7、程即可解决问题 【详解】（1）证明：连接 OD AC是切线， ODAC，ODCOBC90 ， OCOC，ODOB， RtOCDRtOCB（HL）， CODCOB， ODOE， ODEOED， DOBODE+OED， DOCODE， DEOC （2）四边形 DEOF 是菱形， DFODOF， ODF 是等边三角形， DOF60 ， BOD2DOC120 ， 的长2 故答案为 2 DEOC， ， 设 AD2k，CD3k， RtOCDRtOCB， BCCD3k， 在 RtABC 中，则有 25k29k2+82， k2 或2（舍弃）， AD4 故答案为 4 4.（河南省信阳市 2019-2020 学年
8、九年级上学期期末数学试题）如图，已知O 的半径为 1， AC 是O 的直径，过点 C作O的切线 BC，E是 BC的中点，AB 交O 于 D点 (1)直接写出 ED 和 EC的数量关系：_； (2)DE 是O 的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由； (3)填空：当 BC=_时，四边形 AOED 是平行四边形，同时以点 O、D、E、C 为顶点的 四边形是_ 【答案】 (1). ED=EC (2).DE 是O 的切线；证明见解析 (3).2 正方形 【解析】 (1)连结 CD，如图，由圆周角定理得到ADC=90 ，然后根据直角三角形斜边上的中线直线 得到 DE=CE=BE； (2)连结 OD，
9、如图，利用切线性质得2+4=90 ，再利用等腰三角形的性质得1=2， 3=4， 所以1+3=2+4=90 ， 于是根据切线的判定定理可判断 DE是O 的切线； (3) 要判断四边形 AOED是平行四边形，则 DE=OA=1，所以 BC=2，当 BC=2 时，ACB 为等腰 直角三角形，则B=45 ，又可判断BCD为等腰直角三角形，于是得到 DEBC，DE= 1 2 BC=1，所以四边形 AOED 是平行四边形；然后利用 OD=OC=CE=DE=1，OCE=90 ，可判 断四边形 OCED 为正方形 【详解】（1）连结 CD，如图， AC是O的直径， ADC=90 ， E是 BC 的中点， DE
10、=CE=BE； （2）DE 是O的切线理由如下： 连结 OD，如图， BC为切线， OCBC， OCB=90 ，即2+4=90 ， OC=OD，ED=EC， 1=2，3=4， 1+3=2+4=90 ，即ODB=90 ， ODDE， DE是O的切线； （3）当 BC=2时， CA=CB=2， ACB为等腰直角三角形， B=45 ， BCD为等腰直角三角形， DEBC，DE= 1 2 BC=1， OA=DE=1，AODE， 四边形 AOED是平行四边形； OD=OC=CE=DE=1，OCE=90 ， 四边形 OCED 为正方形 故答案为 ED=EC；2，正方形 【点睛】此题考查了切线的判定与性质，
11、直角三角形斜边上的中线性质，以及平行四边形的 判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键 5.（河南省外国语中学 2019 届九年级中招适应性测试卷数学试题）如图，AB是O的直 径，4AB ， 点P是AB上方圆上的一个动点， 连接AP， 作PAB的平分线AC， 交O 于点C，过点C作CDAP交AP的延长线于点D. (1)求证：CD是O的切线； (2)当AP _时，四边形APCO是平行四边形. 【答案】(1)证明见解析；(2)2. 【解析】 （1） 连接 OC， 根据等腰三角形的性质得到CAO=ACO， 由角平分线的定义得到DAC= OAC，等量代换得到DAC=ACO，根据平行线的判定定
12、理得到 ADOC，由平行线的 性质即可得到结论； （2）根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可以得到结论； 【详解】(1)连接OC. AC平分PAB， PACBAC. OAOC， BACOCA， PACOCA， ADOC， CDAD， OCCD， CD是O的切线. (2)APOC, 当 AP=OC 时，四边形APCO是平行四边形. OC=2， AP=2. 【点睛】 本题考查了切线的判定定理： 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 6（2020 年 1 月河南省郑州市一模数学试题）如图，ABC内接于O，且 ABAC，延长 BC 至点 D，使 CDCA，连接 AD 交O与点 E
13、，连接 BE，CE. (1)求证：ABECDE； (2)填空： 当ABC 的度数为_时，四边形 AOCE 是菱形； 若 AE 3，AB22，则 DE 的长为_ 【答案】(1)见解析；(2)60 ； 5 3 3 【解析】 （1）由 ABAC，CD=CA 得出 AB=CD，再根据圆内接四边形的性质和圆周角的性质可知 BAEECD，CEDAEB从而可证ABECDE （2）根据菱形的性质可知,AOEOCE为等边三角形，进而可推出60ABC 由ABECDE 可得ABEBDA进而可可 ADBABE ，再利用相似三角形 的性质可知 ABAE ADAB ,从而DEADAE可求. 【详解】（1）证明：ABAC，
14、CD=CA ABCACB，AB=CD .四边形 ABCE 是圆内接四边形 180 ,180 ,ABCAECBAEBCE 180 ,180 ,CEDAECECDBCE ,ABCCEDBAEECD ACBCED ACBAEB CEDAEB. 在ABE和CDE中 BAEECD AEBCED ABCD ABECDE （2）当60ABC时，四边形 AOCE 是菱形 理由如下：连接 AO,CO,OE，如下图 四边形 AOCE是菱形 OCCEAEOA 又OAOEOC OAAEOEEC ,AOEOCE为等边三角形 120AOC 60ABC 由ABECDE 可得ABEBDA ,ABEBDABAEDAB ADBA
15、BE ABAE ADAB 即 22 (2 2)8 3 33 AB AD AE 8 35 3 3 33 DEADAE 【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，圆周 角定理及推论，能够对所学知识灵活应用是解题的关键. 考向考向 2 以圆为背景的证明与计算以圆为背景的证明与计算 1.（河南省漯河市临颍县 2019-2020 学年九年级上学期期末数学试题）如图，已知O 的直 径 AB=10，弦 AC=6，BAC 的平分线交O 于点 D，过点 D 作 DEAC 交 AC 的延长线于 点 E （1）求证：DE 是O 的切线 （2）求 DE 的长 【答案】(1)详见解析；
16、（2）4. 【解析】 试题分析：（1）连结 OD，由 AD 平分BAC,OA=OD，可证得ODA=DAE,由平行线的 性质可得 ODAE,再由 DEAC 即可得 OEDE，即 DE 是O 的切线；（2）过点 O 作 OFAC 于点 F， 由垂径定理可得 AF=CF=3， 再由勾股定理求得 OF=4， 再判定四边形 OFED 是矩形，即可得 DE=OF=4. 试题解析： （1）连结 OD， AD 平分BAC, DAE=DAB， OA=OD， ODA=DAO, ODA=DAE, ODAE, DEAC OEDE DE 是O 的切线； （2）过点 O 作 OFAC 于点 F， AF=CF=3， OF=
17、 , OFE=DEF=ODE=90 ， 四边形 OFED 是矩形， DE=OF=4. 考点：切线的判定；垂径定理；勾股定理；矩形的判定及性质. 2.（河南省南阳市淅川县 2019-2020 学年九年级上学期期末数学试题）如图，AB是O的 直径， 点C在O上，AD平分CAB，BD是O的切线，AD与BC相交于点E， 与O 相交于点F，连接EF （1）求证：BDBE； （2）若4DE ，2 5BD ，求AE的长 【答案】（1）见解析；（2）6AE 【解析】 （1） 利用圆周角定理得到ACB=90 ， 再根据切线的性质得ABD=90 ， 则BAD+D=90 ， 然后利用等量代换证明BED=D，从而判断
18、 BD=BE； （2）利用圆周角定理得到AFB=90 ，则根据等腰三角形的性质 DF=EF =2，再证明 BDFADB，列比例式求出 AD的长，然后计算 AD-DE 即可 【详解】（1）证明：AB是O的直径， 90ACB， 90CAECEA BEDCEA ， 90CAEBED BD是O的切线， 90ABD， 90BADBDA 又AO平分CAB， CAEBAD， BEDBDA， BDBE； （2）解：AB是O的直径， 90AFB， 又BEBD， 1 2 2DFEFED 在RtBDF中，根据勾股定理得，4BF DD ，90BFDABD ， BDFADB， BDDF ADBD =，即 52 5AD
19、， 解得10AD ， 6AEADDE 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质、切 线的性质.熟练掌握切线的性质和相似三角形的判定与性质是解答本题的关键 3.（河南省濮阳市县区 2019-2020 学年九年级上学期期末数学试题）如图，在ABC中， ABAC，以AB为直径作O交BC于点D.过点D作EFAC，垂足为E，且交AB 的延长线于点F. （1）求证：EF是O的切线； （2）若10AB，60A，求BD长. 【答案】（1）见解析；（2）BD长为 5 【解析】 （1）连接 OD，AD，根据等腰三角形三线合一得 BD=CD，根据三角形的中位线可得 OD AC，所
20、以得 ODEF，从而得结论； （2）根据等腰三角形三线合一的性质证得BAD= 1 2 BAC=30 ，由 30 的直角三角形的性 质即可求得 BD 【详解】（1）证明：连接 OD，AD， AB 是O的直径， ADB=90 ， ADBC， ABAC， BDCD， OAOB， OD是BAC 的中位线， ODAC， EFAC， ODEF， EF 是O的切线； （2）解：ABAC，ADBC， BAD 1 2 BAC30 ， BD 1 2 AB 1 2 105, 即 BD 长为 5 【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、等腰三角形的 性质，圆的切线的判定，30 的直角三角形
21、的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键 4. （河南省新乡市辉县市 2019-2020 学年九年级上学期期末数学试题） 如图， AB 是O的弦， 过点 O作 OCOA，OC交于 AB 于 P，且 CP=CB （1）求证：BC是O 的切线； （2）已知BAO=25 ，点 Q是弧 AmB 上的一点. 求AQB 的度数； 若 OA=18，求弧 AmB 的长. 【答案】（1）见解析；（2）AQB=65 ，l弧AmB=23. 【解析】 (1)连接 OB，根据等腰三角形的性质得到OAB=OBA，CPB=CBP，再根据PAO+ APO=90 ，继而得出OBC=90 ，问题得证； (2)根据等腰三角形的性
22、质可得ABO=25 ，再根据三角形内角和定理可求得AOB的度 数，继而根据圆周角定理即可求得答案； 根据弧长公式进行计算即可得. 【详解】(1)连接 OB， CP=CB， CPB=CBP， OAOC， AOC=90 ， OA=OB， OAB=OBA， PAO+APO=90 ， ABO+CBP=90 ， OBC=90 ， BC是O的切线； (2)BAO=25 ，OA=OB， OBA=BAO=25 ， AOB=180 -BAO-OBA=130 ， AQB= 1 2 AOB=65 ； AOB=130 ，OB=18， l弧 AmB= 360 130 180 18（） =23. 【点睛】本题考查了圆周角
23、定理，切线的判定等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运 用相关知识是解题的关键. 5.（河南省许昌市襄城县 2019-2020 学年九年级上学期期末数学试题）如图，AB是O的 直径，弦CDAB，垂足为H，连接AC过BD上一点E作/EGAC交CD的延长线 于点G，连接AE交CD于点F，且EGFG （1）求证：EG是O的切线； （2）延长AB交GE的延长线于点M，若2AH ， 2 2CH ，求OM的长 【答案】（1）见解析（2） 3 6 2 OM 【解析】 （1） 连接OE， 由G E G F， 推G E FA F H， 证O E AO A F， 得90GEO ， 根据切线判定定理可得；（2）连
24、接OC，设O的半径为r，则OCr，2OHr ， 在Rt OCH中，求得3r ，在Rt ACH中，求得 22 (2 2)22 3AC ，由 /ACGE，证 RtOEMRtCHA，得 OMOE ACCH ，即 3 2 32 2 OM ，可求 OM. 【详解】（1）证明：连接OE，如图， GEGF， GEFGFE， 而GFEAFH， GEFAFH， ABCD，90OAFAFH ， 90GEAOAF ， OAOE，OEAOAF， 90GEAOEA ，即90GEO ， OEGE， EG是O的切线； （2）解：连接OC，如图， 设O的半径为r，则OCr，2OHr ， 在Rt OCH中， 222 (2)(2
25、 2)rt，解得3r ， 在Rt ACH中， 22 (2 2)22 3AC ， /ACGE，MCAH， RtOEMRtCHA， OMOE ACCH ，即 3 2 32 2 OM ， 3 6 2 OM 【点睛】考核知识点：切线判定，相似三角形判定和性质.理解切线判定和相似三角形判 定是关键. 6.（新乡市名校联考 2019-2020 学年九年级上学期期末数学试题）如图，已知点P是O外 一点，直线PA与O相切于点B，直线PO分别交O于点C、D，PAOPDB， OA交BD于点E （1）求证：/OA BC； （2）当O的半径为10，8BC 时，求AE的长 【答案】（1）证明见解析；（2）21 【解析】
26、 （1）连接 OB，由切线的性质可得 OBPA，然后根据直径所对的圆周角为直角得到 CBD=90 ，再根据等角的余角相等推出BCD=BOA，由等量代换得到CBO=BOA，即 可证平行； （2）先由勾股定理求出 BD，然后由垂径定理得到 DE，求出 OE，再利用ABEDOE 的对应边成比例，即可求出 AE 【详解】（1）如图，连接 OB， 直线 PA 与O相切于点 B， OBPA， PAO+BOA=90 CD 是O的直径 CBD=90 ，PDB+BCD=90 又PAO=PDB BOA=BCD OB=OC BCD=CBO CBO=BOA OABC （2）半径为 10，8BC ， BD= 2222
27、CDBC = 208 =4 21 由（1）可知CBD=90 ，OABC OEBD E是BD的中点，DE= 1 2 BD=2 21 2 222 OE= ODDE = 102 21=4 BAED ，AEBDEO ABEDOE， AEBE DEOE ，即 2 21 42 21 AE 2 21 2 21 =21 4 AE 【点睛】 本题考查圆综合问题， 熟练掌握切线的性质与相似三角形的判定与性质是解题的 关键 7. （郑州市一中2019年中考三模数学试卷） 如图所示,O是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC, 延长 BC 至点 D,使 CD=AC,连接 AD 交O于点 E,连接 BE、CE,BE交 A
28、C于点 F. （1）求证：CE=AE (2)若 AE=6，DE=9，求 EF 的长. 【答案】（1）见解析；（2）4. 【解析】 （1）根据内接四边形的性质和圆周角定理，由 AAS得到ABECDE，即可得到答案； （2）证明AEFDEC，推出 AEEF DEEC 即可求得 EF 的长 【详解】解： （1）证明：四边形 ABCE 为圆 O的内接四边形，ABC=CED，DCE= BAE， 又 AB=AC，ABC=ACB，CED=ACB，又AEB和ACB都为AB所对的圆周 角，AEB=ACB，CED=AEB，AB=AC，CD=AC，AB=CD， 在ABE和CDE 中， BAEDCE AEBCED ABCD ABECDE（AAS） (2)ABECDE，AE=EC=6，ED=BE=9， 即 AEEC DEEB ，且AEB=CED，AEFDEC， AEEF DEEC .EF= AEEC DE =4. 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理和相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握圆 周角定理、垂径定理和相似三角形的判定与性质.
