1、 热点专题 1 规律探究问题 规律探究型问题是中考数学中的常考问题， 题目数量一般是一个题， 各种题型都有可能 出现，一般多以选择题或者填空题中的压轴题形式出现，主要命题方式有数式规律、图形变 化规律、点的坐标规律等。基本解题思路：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、 比较、提炼，发现其中规律，进而归纳或猜想出一般结论，最后验证结论的正确性。探索规 律题可以说是每年中考的必考题，预计 2020 年中考数学中仍会作为选择题或填空题的压轴 题来考察。所以掌握其基本的考试题型及解题技巧是非常有必要的。 山东省中考 考试说明要求 能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律 学会通过通过观察
2、、猜想、归纳、总结有关实数、代数式、图形、坐标等 相关的规律问题。 通过合情推理探索数学结论， 运用演绎推理加以证明的过程， 在多种形式 的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力 考向考向 1 实数的概念与运算实数的概念与运算 1. (2019 山东省济宁市)已知有理数 a1，我们把称为 a 的差倒数，如：2 的差倒数 是1，1 的差倒数是如果 a12，a2是 a1的差倒数，a3是 a2的 差倒数，a4是 a3的差倒数依此类推，那么 a1a2a100的值是（ ） A7.5 B7.5 C5.5 D5.5 【答案】A 【解析】a12， a2，a3，a42， 这个数列以2，依次循环，且2， 100
3、3331， a1a2a10033（）27.5， 故选：A 2(2019 山东省枣庄市)观察下列各式： 11（1） ， 11（） ， 11（） ， 请利用你发现的规律，计算： ， 其结果为 【答案】2018 【解析】 1（1）1（）1（） 20181 2018， 故答案为：2018 3(2019 山东省滨州市)观察下列一组数： a1，a2，a3，a4，a5， 它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第 n 个数 an （用含 n 的式子表 示） 【答案】 【解析】观察分母，3，5，9，17，33，可知规律为 2n1， 观察分子的，1，3，6，10，15，可知规律为， an； 故答案为； 考向
4、考向 2 代数式代数式 1(2019 山东省烟台市)南宋数学家杨辉在其著作详解九章算法中揭示了(ab)n(n 为 非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角” (ab) 01 (ab) 1ab (ab) 2a22abb2 (ab) 3a32a2b2ab2b3 (ab) 4a44a3b6a2b24ab3b4 (ab) 5a55a4b10a3b210a2b35ab4b5 则(ab) 9展开式中所有项的系数和是 A128 B256 C512 D1024 【答案】C 【解析】本题考查了阅读理解能力，取 a1，b1，则可以计算 9 ()ab展开式中所有项的 系数和是 9
5、2512 ，因此本题选 C 2(2019 云南省)按一定规律排列的单项式：x 3，x5，x7，x9，x11，第 n 个单项式 是（ ） A （1）n 1x2n1 B （1）nx 2n1 C （1）n 1x2n1 D （1）nx 2n1 【答案】A 【解析】x 3（1）11x211， x 5（1）21x221， x 7（1）31x231， x 9（1）41x241， x 11（1）51x251， 由上可知，第 n 个单项式是： （1）n 1x2n1， 故选：A 考向考向 3 图形的运动与点的坐标图形的运动与点的坐标 1(2019 山东省菏泽市)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原
6、点 O 出发，按“向上向右向下向右”的方向依次不断移动，每次移动 1 个单位长度，其移 动路线如图所示， 第一次移动到点 A1， 第二次移动到点 A2第 n 次移动到点 An， 则点 A2019 的坐标是（ ） A （1010，0） B （1010，1） C （1009，0） D （1009，1） 【答案】C 【解析】分析根据图象可得移动 4 次图象完成一个循环，从而可得出点 A2019的坐标 A1（0，1） ，A2（1，1） ，A3（1，0） ，A4（2，0） ，A5（2，1） ，A6（3，1） ， 201945043， 所以 A2019的坐标为（50421，0） ， 则 A2019的坐标是
7、（1009，0） 故选：C 2(2019 湖南省娄底市)如图，在单位长度为 1 米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为 2 米，圆心角为120的弧 AB 多次复制并首尾连接而成现有一点P从(A A为坐标原点）出 发，以每秒 2 3 米的速度沿曲线向右运动，则在第 2019 秒时点P的纵坐标为( ) A2 B1 C0 D1 【答案】B 【解析】点运动一个弧 AB 用时为120 22 2 1803 秒 如图，作CDAB于D，与弧 AB 交于点E 在Rt ACD中，90ADC， 1 60 2 ACDACB， 30CAD， 11 21 22 CDAC， 211DECECD ， 第 1 秒时点P运动到点E
8、，纵坐标为 1； 第 2 秒时点P运动到点B，纵坐标为 0； 第 3 秒时点P运动到点F，纵坐标为1； 第 4 秒时点P运动到点G，纵坐标为 0； 第 5 秒时点P运动到点H，纵坐标为 1； ， 点P的纵坐标以 1，0，1，0 四个数为一个周期依次循环， 201945043， 第 2019 秒时点P的纵坐标为是1 故选：B 3. (2019 湖南省张家界市)如图，在平面直角坐标系中，将边长为 1 的正方形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 45后得到正方形 OA1B1C1，依此方式，绕点 O 连续旋转 2019 次得到正方形 OA2019B2019C2019，那么点 A2019的坐标是（ ） A
9、 （，） B （1，0） C （，） D （0，1） 【答案】A 【解析】四边形 OABC 是正方形，且 OA1， A（0，1） ， 将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45后得到正方形 OA1B1C1， A1（，） ，A2（1，0） ，A3（，） ， 发现是 8 次一循环，所以 20198252余 3， 点 A2019的坐标为（，） 故选：A 4(2019 山东省潍坊市)如图所示，在平面直角坐标系 xoy 中，一组同心圆的圆心为坐标原 点 O，它们的半径分别为 1，2，3，按照“加 1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3， 都与 x 轴垂直，相邻两直线的间距为 l，其中 l0
10、与 y 轴重合若半径为 2 的圆与 l1在第一象限 内交于点 P1，半径为 3 的圆与 l2在第一象限内交于点 P2，半径为 n1 的圆与 ln在第一 象限内交于点 Pn，则点 Pn的坐标为 （n 为正整数） 【答案】A 【解析】连接 OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与 x 轴分别交于 A1、A2、A3，如图所示： 在 RtOA1P1中，OA11，OP12， A1P1， 同理：A2P2，A3P3， P1的坐标为（ 1，） ，P2的坐标为（ 2，） ，P3的坐标为（3，） ， 按照此规律可得点 Pn的坐标是（n，） ，即（n，） 故答案为： （n，） 考向考向 4 与函数有关的规律与函数
11、有关的规律 1(2019 山东省淄博市)如图， 11 OAB， 122 AAB， 233 AAB，是分别以 1 A， 2 A， 3 A， 为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点 11 (C x， 1) y， 22 (Cx， 2) y， 33 (Cx， 3) y，均在反比例函数 4 (0)yx x 的图象上则 1210 yyy的 值为( ) A2 10 B6 C4 2 D2 7 【答案】A 【解析】过 1 C、 2 C、 3 C 分别作x轴的垂线，垂足分别为 1 D、 2 D、 3 D 其斜边的中点 1 C在反比例函数 4 y x ，(2,2)C即 1 2y ， 11
12、1 2ODD A， 设 12 A Da，则 22 C Da 此时 2(4 , )Ca a，代入 4 y x 得：(4)4aa， 解得：2 22a ，即： 2 2 22y ， 同理： 3 2 32 2y ， 4 2 42 3y ， 1210 22 222 32 22 102 92 10yyy， 故选：A 2 (2019 山东省德州市)如图， 点 1 A、 3 A、 5 A 在反比例函数(0) k yx x 的图象上， 点 2 A、 4 A、 6 A 在反比例函数(0) k yx x 的图象上， 12123234 60OA AA A AA A A ，且 1 2OA ，则( n A n为正整数）的纵
13、坐标 为 （用含n的式子表示） 【答案】A 【解析】过 A1作 A1D1x 轴于 D1， OA12，OA1A260， OA1E 是等边三角形， A1（1，）， k， y和 y， 过 A2作 A2D2x 轴于 D2， A2EFA1A2A360， A2EF 是等边三角形， 设 A2（x，），则 A2D2， RtEA2D2中，EA2D230， ED2， OD22x， 解得：x11（舍），x21， EF2（1）22， A2D2， 即 A2的纵坐标为； 过 A3作 A3D3x 轴于 D3， 同理得：A3FG 是等边三角形， 设 A3（x，），则 A3D3， RtFA3D3中，FA3D330， FD3，
14、OD3222x， 解得：x1（舍），x2； GF2（）22， A3D3（）， 即 A3的纵坐标为（）； An（n 为正整数）的纵坐标为：（1）n 1 （）； 故答案为：（1）n 1 （）； 3. (2019 山东省东营市)如图，在平面直角坐标系中，函数 yx 和 yx 的图象 分别为直线 l1，l2，过 l1上的点 A1（1，）作 x 轴的垂线交 l2于点 A2，过点 A2作 y 轴的垂 线交 l1于点 A3，过点 A3作 x 轴的垂线交 l2于点 A4，依次进行下去，则点 A2019的横坐标 为 【答案】3 1009 【解析】由题意可得， A1（1，） ，A2（1，） ，A3（3，） ，A4
15、（3，3） ，A5（9，3） ，A6（9， 9） ， 可得 A2n1的横坐标为（3）n 2019210091， 点 A2019的横坐标为： （3） 100931009， 故答案为：3 1009 4(2019 山东省泰安市)在平面直角坐标系中，直线 l：yx1 与 y 轴交于点 A1，如图所 示，依次作正方形 OA1B1C1，正方形 C1A2B2C2，正方形 C2A3B3C3，正方形 C3A4B4C4， 点 A1，A2，A3，A4，在直线 l 上，点 C1，C2，C3，C4，在 x 轴正半轴上，则前 n 个 正方形对角线长的和是 【答案】 2（2 n1） 【解析】由题意可得， 点 A1的坐标为（0，1） ，点 A2的坐标为（1，2） ，点 A3的坐标为（3，4） ，点 A4的坐标为（7， 8） ， OA11，C1A22，C2A34，C3A48， 前 n 个正方形对角线长的和是：（OA1C1A2C2A3C3A4Cn1An）（12 482n 1） ， 设 S12482n 1，则 2S2482n12n， 则 2SS2n1， S2n1， 12482n 12n1， 前 n 个正方形对角线长的和是：（2n1） ， 故答案为： 2（2 n1） ，
