1、 热点专题 8 函数综合问题 有关函数的综合题是每年中考数学的压轴大戏， 几乎全国各大城市的压轴题都与函数有 关所以函数综合问题既是每年的热点，也是重点，更是难点导致几乎所有学生见到函数 综合题就害怕，函数综合题对学生的知识掌握程度及分析问题的综合能力的要求都非常高， 再加上这种题目多与动点或最值相关， 这就使得难度又升级了 所以要想处理好这种类型的 问题，关键是对几种函数的性质和图象要熟悉，基础知识要牢固，另外平时多做练习，多总 结处理这种问题的一些常见策略和方法，熟能生巧 山东省中考 考试说明要求 熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质 学会用运动的观点分析和解决有关函数问题 会利用
2、数形结合的思想解决有关的数学问题 考向考向 1 函数图象共存问题函数图象共存问题 1. (2019 山东省德州市)若函数 k y x 与 2 yaxbxc的图象如图所示，则函数ykxb的 大致图象为( ) A B C D 【答案】C 【解析】根据反比例函数的图象位于二、四象限知 k0， 根据二次函数的图象确知 a0，b0， 函数 y=kx+b 的大致图象经过二、三、四象限， 故选：C 2 (2019 山东省青岛市)已知反比例函数 y的图象如图所示，则二次函数 yax22x 和一次函数 ybx+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】当 x0 时，yax
3、22x0，即抛物线 yax22x 经过原点，故 A 错误； 反比例函数 y的图象在第一、三象限， ab0，即 a、b 同号， 当 a0 时，抛物线 yax22x 的对称轴 x0，对称轴在 y 轴左边，故 D 错误； 当 a0 时，b0，直线 ybx+a 经过第一、二、三象限，故 B 错误，C 正确 故选：C 考向考向 2 函数与不等式问题函数与不等式问题 1. (2019 山东省德州市)在下列函数图象上任取不同两点 11 (P x， 1) y、 22 (P x， 2) y，一定能使 21 21 0 yy xx 成立的是( ) A31(0)yxx B 2 21(0)yxxx C 3 (0)yx
4、x D 2 41(0)yxxx 【答案】D 【解析】A、k=30 y 随 x 的增大而增大，即当 x1x2时，必有 y1y2 当 x0 时，0， 故 A 选项不符合； B、对称轴为直线 x=1， 当 0x1 时 y 随 x 的增大而增大，当 x1 时 y 随 x 的增大而减小， 当 0x1 时：当 x1x2时，必有 y1y2 此时0， 故 B 选项不符合； C、当 x0 时，y 随 x 的增大而增大， 即当 x1x2时，必有 y1y2 此时0， 故 C 选项不符合； D、对称轴为直线 x=2， 当 x0 时 y 随 x 的增大而减小， 即当 x1x2时，必有 y1y2 此时0， 故 D 选项符
5、合； 故选：D 2. (2019 山东省潍坊市)抛物线 yx2+bx+3 的对称轴为直线 x1若关于 x 的一元二次方程 x2+bx+3t0（t 为实数）在1x4 的范围内有实数根，则 t 的取值范围是（ ） A2t11 Bt2 C6t11 D2t6 【答案】D 【解析】yx2+bx+3 的对称轴为直线 x1， b2， yx22x+3， 一元二次方程 x2+bx+3t0 的实数根可以看做 yx22x+3 与函数 yt 的有交点， 方程在1x4 的范围内有实数根， 当 x1 时，y6； 当 x4 时，y11； 函数 yx22x+3 在 x1 时有最小值 2； 2t6； 故选：D 3. (2019
6、 山东省济宁市)如图，抛物线 yax2+c 与直线 ymx+n 交于 A（1，p） ，B（3，q） 两点，则不等式 ax2+mx+cn 的解集是 【答案】x3 或 x1 【解析】抛物线 yax2+c 与直线 ymx+n 交于 A（1，p） ，B（3，q）两点， m+np，3m+nq， 抛物线 yax2+c 与直线 ymx+n 交于 P（1，p） ，Q（3，q）两点， 观察函数图象可知：当 x3 或 x1 时，直线 ymx+n 在抛物线 yax2+bx+c 的下方， 不等式 ax2+mx+cn 的解集为 x3 或 x1 故答案为：x3 或 x1 考向考向 3 函数与方程问题函数与方程问题 1.
7、(2019 山东省泰安市)若二次函数yx2+bx5的对称轴为直线x2， 则关于x的方程x2+bx 52x13 的解为 【答案】x12，x24 【解析】二次函数 yx2bx5 的对称轴为直线 x2， ， 得 b4， 则 x2bx52x13 可化为：x24x52x13， 解得，x12，x24 故意答案为：x12，x24 考向考向 4 二次函数与动点最值问题二次函数与动点最值问题 1. (2019 山东省滨州市)如图，抛物线 yx2x4 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B，C，将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 90 ，所得直线与 x 轴交于点 D （1）求直线 AD 的函数解析式； （2）
8、如图，若点 P 是直线 AD 上方抛物线上的一个动点 当点 P 到直线 AD 的距离最大时，求点 P 的坐标和最大距离； 当点 P 到直线 AD 的距离为时，求 sinPAD 的值 【解析】 （1）当 x0 时，y4，则点 A 的坐标为（0，4） ， 当 y0 时，0x2x4，解得，x14，x28，则点 B 的坐标为（4，0） ，点 C 的坐标为（8，0） ， OAOB4， OBAOAB45 ， 将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 90 得到直线 AD， BAD90 ， OAD45 ， ODA45 ， OAOD， 点 D 的坐标为（4，0） ， 设直线 AD 的函数解析式为 ykx+b， ，得
9、， 即直线 AD 的函数解析式为 yx+4； （2）作 PNx 轴交直线 AD 于点 N，如右图所示， 设点 P 的坐标为（t，t2+t+4） ，则点 N 的坐标为（t，t+4） ， PN（t2+t+4）（t+4）t2+t， PNx 轴， PNy 轴， OADPNH45 ， 作 PHAD 于点 H，则PHN90 ， PH（t2+t）t（t6）2+， 当 t6 时，PH 取得最大值，此时点 P 的坐标为（6，） ， 即当点 P 到直线 AD 的距离最大时，点 P 的坐标是（6，） ，最大距离是； 当点 P 到直线 AD 的距离为时，如右图所示， 则t， 解得，t12，t210， 则 P1的坐标为
10、（2，） ，P2的坐标为（10，） ， 当 P1的坐标为（2，） ，则 P1A， sinP1AD； 当 P2的坐标为（10，） ，则 P2A， sinP2AD； 由上可得，sinPAD 的值是或 2. (2019 山东省东营市)已知抛物线 yax2+bx4 经过点 A（2，0） 、B（4，0） ，与 y 轴交 于点 C （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图 1，点 P 是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形 ABPC 的面积最大时，求 点 P 的坐标； （3）如图 2，线段 AC 的垂直平分线交 x 轴于点 E，垂足为 D，M 为抛物线的顶点，在直线 DE 上是否存在一点 G，使 CMG
11、 的周长最小？若存在，求出点 G 的坐标；若不存在，请 说明理由 【解析】 （1）抛物线 yax+bx4 经过点 A（2，0） ，B（4，0） ， ， 解得， 抛物线解析式为 yx2x4； （2）如图 1，连接 OP，设点 P（x，） ，其中4x0，四边形 ABPC 的面积为 S， 由题意得 C（0，4） ， SS AOC+S OCP+S OBP+ 42xx22x+8x24x+12（x+2）2+16 10，开口向下，S 有最大值， 当 x2 时，四边形 ABPC 的面积最大， 此时，y4，即 P（2，4） 因此当四边形 ABPC 的面积最大时，点 P 的坐标为（2，4） （3）， 顶点 M（1
12、，） 如图 2，连接 AM 交直线 DE 于点 G，此时， CMG 的周长最小 设直线 AM 的解析式为 ykx+b，且过点 A（2，0） ，M（1，） ， ， 直线 AM 的解析式为 y3 在 Rt AOC 中，2 D 为 AC 的中点， ， ADEAOC， ， ， AE5， OEAEAO523， E（3，0） ， 由图可知 D（1，2） 设直线 DE 的函数解析式为 ymx+n， ， 解得：， 直线 DE 的解析式为 y ， 解得：， G（） 3. (2019 山东省聊城市)如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A （ 2，0） ，点 B（4，0） ，
13、与 y 轴交于点 C（0，8） ，连接 BC，又已知位于 y 轴右侧且垂直于 x 轴的动直线 l，沿 x 轴正方向从 O 运动到 B（不含 O 点和 B 点） ，且分别交抛物线、线段 BC 以及 x 轴于点 P，D，E （1）求抛物线的表达式； （2）连接 AC，AP，当直线 l 运动时，求使得 PEA 和 AOC 相似的点 P 的坐标； （3）作 PFBC，垂足为 F，当直线 l 运动时，求 Rt PFD 面积的最大值 【解析】 （1） 将点 A、 B、 C 的坐标代入二次函数表达式得：， 解得：， 故抛物线的表达式为：yx2+2x+8； （2）点 A（2，0） 、C（0，8） ，OA2，O
14、C8， lx 轴，PEAAOC90 ， PAECAO， 只有当PEAAOC 时，PEA AOC， 此时，即：， AE4PE， 设点 P 的纵坐标为 k，则 PEk，AE4k， OE4k2， 将点 P 坐标（4k2，k）代入二次函数表达式并解得： k0 或（舍去 0） ， 则点 P（，） ； （3）在 Rt PFD 中，PFDCOB90 ， ly 轴，PDFCOB，Rt PFDRt BOC， ， S PDFS BOC， 而 S BOCOBOC16，BC4， S PDFS BOCPD2， 即当 PD 取得最大值时，S PDF最大， 将 B、C 坐标代入一次函数表达式并解得： 直线 BC 的表达式为：y2x+8， 设点 P（m，m2+2m+8） ，则点 D（m，2m+8） ， 则 PDm2+2m+8+2m8（m2）2+4， 当 m2 时，PD 的最大值为 4， 故当 PD4 时，S PDFPD2
