热点专题7 类比拓展探究题（解析版）.docx

1、 热点专题 7 类比拓展探究题 类比拓展探究题是河南中考的热点、难点，连续这几年在中招试卷的 22 题中出现，占 10 分。类比拓展探究题涉及知识很广泛.通常以特殊三角形、四边形为载体,综合三角形全等 与相似、特殊三角形、平行四边形、特殊平行四边形以及图形的旋转、平移、折叠变换等知 识。设置问题一般有 3 问，每一问都是对前一问的升华和知识迁移应用。 河南省中考 考试说明要求 灵活应用数形结合、 转化等数学思想， 以及具有由特殊到一般的类比推 理能力。 考向考向 1 全等型类比拓展探究全等型类比拓展探究 1. （河南省濮阳市县区 2019-2020 学年九年级上学期期末数学试题）（1） 已知：

2、 如图 1，ABC 为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边 ADE，连接CE.求证：BDCE，120DCE； （2）如图 2，在ABC中，90BAC，ACAB，点D为BC上的一动点（点D不 与B、C重合），以AD为边作等腰Rt ADE，90DAE（顶点A、D、E按逆时 针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：DCE的度数；线段BD、CD、 DE之间的关系，并说明理由； （3） 如图 3， 在 （2） 的条件下， 若D点在BC的延长线上运动， 以AD为边作等腰Rt ADE， 90DAE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE. 则题（2）的结论还

3、成立吗？请直接写出，不需论证； 连结BE，若10BE ，6BC ，直接写出AE的长. 【答案】（1）见解析；DCE120 ；（2）DCE90 , BD2+CD2DE2证明见解 析；（3）（2）中的结论还成立，AE34. 【解析】 （1）根据等边三角形的性质就可以得出BAC=DAE=60 ，AB=BC=AC，AD=DE=AE， 进而就可以得出ABDACE，即可得出结论；由ABDACE，以及等边三角形的 性质，就可以得出DCE120 ； （2）先判定ABDACE（SAS），得出B=ACE=45 ，BD=CE，在 RtDCE 中，根据 勾股定理得出 CE2+CD2=DE2，即可得到 BD2+CD2=

4、DE2； （3）运用（2）中的方法得出 BD2+CD2=DE2；根据 RtBCE 中，BE=10，BC=6，求得 22 1068CE 进而得出 CD=8-6=2， 在 RtDCE中， 求得 22 2868DE 最后 根据ADE 是等腰直角三角形，即可得出 AE的长 【详解】（1）如图 1，ABC和ADE 是等边三角形， ABAC，ADAE， ACBB 60 ， BACDAE60 ， BACDACDAEDAC， BADEAC ABD 和ACE中， ABAC BADEAC ADAE ， ABDACE（SAS）， BDCE； ABDACE , ACEB60 , DCEACE +ACB60 +60 1

5、20 ； （2）DCE90 , BD2+CD2DE2 证明：如图 2，BACDAE90 ， BACDACDAEDAC， 即BADCAE， 在ABD与ACE 中， ABAC BADCAE ADAE ， ABDACE（SAS）， BACE45 ，BDCE， B+ACBACE+ACB90 ， BCE90 ， RtDCE 中，CE2+CD2DE2， BD2+CD2DE2； （3）（2）中的结论还成立 理由：如图 3，BAC=DAE=90 ， BAC+DAC=DAE+DAC， 即BAD=CAE， 在ABD与ACE 中， ABAC BADCAE ADAE ABDACE（SAS）， ABC=ACE=45 ，

6、BD=CE， ABC+ACB=ACE+ACB=90 ， BCE=90 =ECD， RtDCE 中，CE2+CD2=DE2， BD2+CD2=DE2； RtBCE中，BE=10，BC=6， 22 1068CE BD=CE=8， CD=8-6=2， RtDCE 中， 22 2868DE ADE是等腰直角三角形， 68 34 22 DE AE 【点睛】 本题属于三角形综合题， 主要考查了全等三角形的判定与性质， 等边三角形的性质， 等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用， 解决问题的关键是掌握全等三角形的对应 边相等，对应角相等解题时注意：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一 定等于

7、斜边长的平方 2.（河南省外国语中学 2019 届九年级中招适应性测试卷数学试题）两张矩形纸片 ABCD和 CEFG 完全相同，且 AB=CE，ADAB 操作发现： （1）如图 1，点 D在 GC上，连接 AC、CF、CG、AG，则 AC和 CF有何数量关系和位置 关系？并说明理由 实践探究： （2）如图 2，将图 1 中的纸片 CEFG 以点 C为旋转中心逆时针旋转，当点 D 落在 GE 上时 停止旋转，则 AG 和 GF在同一条直线上吗？请判断，并说明理由 【答案】(1) 3BCAB ；(2)BM CN，理由见解析. 【解析】 （1）先根据条件判定ABCCEF，进而得到 AC=CF，ACB

8、=CFE，再根据CFE+ ECF=90 ，得出ACF=90 ，即可得到 ACCF； （2）先根据条件判定ACDGEC，即可得出ACD=GEC，DC=EC，AC=GE，进而 判定四边形 ACEG 是平行四边形，得出 AGCE，再根据矩形 CEFG中，GFCE，即可得 到 AG和 GF 在同一条直线上 【详解】（1）AC=CF，ACCF理由如下： 如图 1， 矩形纸片 ABCD和 CEFG 完全相同，且 AB=CE， BC=EF，B=CEF=90 ， 在ABC和CEF 中， ABCE BCEF BCEF ， ABCCEF（SAS）， AC=CF，ACB=CFE， RtCEF 中，CFE+ECF=9

9、0 ， ACB+ECF=90 ， ACF=BCD+ECG-（ACB+ECF）=90 +90 -90 =90 ， ACCF； （2）AG和 GF在同一条直线上理由如下： 如图 2， 矩形纸片 ABCD和 CEFG 完全相同，且 AB=CE， AD=GC，CD=CE，ADC=GCE=90 ， 在ACD和GEC中， ADGC ADCGCE CDEC ， ACDGEC（SAS）， ACD=GEC，DC=EC，AC=GE， CDE=DEC， ACD=CDE， GEAC， 四边形 ACEG是平行四边形， AGCE， 又矩形 CEFG 中，GFCE， AG和 GF 在同一条直线上（过直线外一点有且只有一条直

10、线与已知直线平行） 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质以及全等三角 形的判定与性质的综合应用， 解决问题的关键是掌握： 旋转前、 后的图形全等 解题时注意： 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行解第（2）题时方法不唯一，也可以通过 判定ACGCAD得到AGC=90 ， 进而根据AGF=180 得出AG和GF在同一条直线上 3.（2019 年河南省实验中学中考三模数学试卷）如图 1，在Rt ABC中，90A ， ABAC，点D、E分别在边AB、AC上，ADAE，连结DC，点M、P、N分 别为DE、DC、BC的中点. （1）观察猜想 图 1中，线段PM与PN

11、的数量关系是_，位置关系是_； （2）探究证明 把ADE绕点A逆时针方向旋转到图 2 的位置，连结MN、BD、CE， 判断PMN的形状，并说明理由； （3）拓展延伸 把ADE绕点A在平面内自由旋转，若4AD，10AB，请直接写出 PMN面积的最大值. 【答案】（1）PMPN，PMPN；（2）PMN是等腰直角三角形，理由详见解析； （3）PMN面积的最大值为 49 2 . 【解析】 （1）利用三角形的中位线得出 PM 1 2 CE，PN 1 2 BD，进而判断出 BDCE，即可得出 结论，再利用三角形的中位线得出 PMCE 得出DPMDCA，最后用互余即可得出结 论； （2） 先判断出ABDAC

12、E， 得出 BDCE， 同 （1） 的方法得出 PM 1 2 BD， PN 1 2 BD， 即可得出 PMPN，同（1）的方法即可得出结论； （3）先判断出 MN最大时，PMN面积最大，进而求出 AN，AM，即可得出 MN最大 AMAN，最后用面积公式即可得出结论 【详解】解：（1）点 P，N 是 BC，CD的中点， PNBD，PN 1 2 BD， 点 P，M 是 CD，DE 的中点， PMCE，PM 1 2 CE， ABAC，ADAE， BDCE， PMPN， PNBD， DPNADC， PMCE， DPMDCA， BAC90 ， ADCACD90 ， MPNDPMDPNDCAADC90 ，

13、 PMPN， 故答案PMPN，PMPN； （2）PMN 是等腰直角三角形 由旋转知，BADCAE， ABAC，ADAE， ABDACE（SAS）， ABDACE，BDCE， 利用三角形中位线得，PN 1 2 BD，PM 1 2 CE， PMPN， PMN 是等腰三角形， 同（1）的方法得，PMCE， DPMDCE， 同（1）的方法得，PNBD， PNCDBC， DPNDCBPNCDCBDBC， MPNDPMDPNDCEDCBDBC BCEDBCACBACEDBC ACBABDDBCACBABC， BAC90 ， ACBABC90 ， MPN90 ， PMN 是等腰直角三角形； （3）如图 2，

14、 同（2）的方法得，PMN是等腰直角三角形， MN 最大时，PMN面积最大， DEBC且 DE在顶点 A上面， MN 最大AMAN， 连接 AM，AN， 在ADE中，ADAE4，DAE90 ， AM2 2， 在 RtABC 中，ABAC10，AN5 2， MN 最大2 25272， SPMN最大 1 2 PM2 1 2 1 2 MN2 1 4 （7 2） 249 2 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判 定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判 断出 PM 1 2 CE，PN 1 2 BD，解（2）的关键是判断

15、出ABDACE，解（3）的关键是 判断出 MN 最大时，PMN的面积最大 4.（2019 年河南许昌数学二模）如图 1，在正方形 ABCD 中，点 O 是对角线 BD 的中点 （1）观察猜想 将图 1 中的BCD 绕点 O 逆时针旋转至图 2 中ECF 的位置，连接 AC，DE，则线段 AC 与 DE 的数量关系是 ，直线 AC 与 DE 的位置关系是 （2）类比探究 将图 2 中的ECF 绕点 O 逆时针旋转至图 3 的位置， （1）中的结论是否成立？并说明理 由 （3）拓展延伸 将图 2 中的ECF 在平面内旋转，设直线 AC 与 DE 的交点为 M，若 AB4，请直接写出 BM 的最大值

16、与最小值 【解析】（1）连接 OA，OC，可证AOCDOE（SAS）； （2）方法和（1）相同，易证AOCDOE（SAS）； （3）在旋转过程中，取 AD 中点 N，连接 MN，BN，BM，BM、MN、BN 不共线时构成 三角形，由三角形边的关系“三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”可知： BNMNBMBN+MN，当 B，N，M 共线时， 得到 BMBN+MN 和 BMBNMN 分别为 BN 的最大值、最小值 【解答】解：（1）如图 1 和图 2，连接 OA，OC， 正方形 ABCD， ABBCCDAD，OAOBOCOD，AODCOE90 ， AOD+DOCCOE+DOC，即AOC

17、DOE AOCDOE（SAS） ACDE，ACODEO DEO+EMO90 ，EMOCMD ACO+CMD90 ， ACDE 故答案为：ACDE，ACDE （2）（1）中的结论：ACDE，ACDE 仍然成立 如图 3，连接 OA，OC，延长 AC，ED 交于 M， AOC+CODDOE+COD90 ， AOCDOE OAOCODOE AOCDOE（SAS）， OACOCAODEOED AOC+OAC+OCA180 ， AOC+OAC+OED180 OAC+AOE+OED270 OAC+AOE+OED+M360 M90 ACDE （3）如图 3，取 AD 中点 N，连接 MN，BN，BM， AB

18、AD4， 在 RtAMD 中，AMD90 ，ANDN，MNAD2， 在 RtABN 中，BN， 当ECF 在平面内旋转时，BNMNBMBN+MN， 2BM+2 BM 的最大值为2，最小值为+2 【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，还考查了几 何旋转变换和“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边” 考向考向 2 相似型类比拓展探究相似型类比拓展探究 1.（河南省南阳市淅川县 2019-2020 学年九年级上学期期末数学试题）如图，在ABC和 ADE中，90BACDAE，点P为射线BD，CE的交点 （1）问题提出：如图 1，若ADAE，ABAC ABD与AC

19、E的数量关系为_； BPC的度数为_ （2）猜想论证：如图 2，若30ADEABC ，则（1）中的结论是否成立？请说明理由 【答案】（1）ABDACE；90；（2）成立，理由见解析 【解析】 （1）依据等腰三角形的性质得到 AB=AC，AD=AE，依据同角的余角相等得到DAB= CAE，然后依据“SAS”可证明ADBAEC，最后，依据全等三角形的性质可得到ABD= ACE；由三角形内角和定理可求BPC的度数； （2）由 30 角的性质可知2ABAC，2ADAE，从而可得:AD ABAE AC，进而 可证ADBAEC，由相似三角形的性质和三角形内角和即可得出结论； 【详解】（1）ABC和ADE是

20、等腰直角三角形，BAC=DAE=90 ， AB=AC，AD=AE，DAB=CAE,ABC=ACB=45 , ADBAEC（SAS）, ABD=ACE， BPC=180 -ABD-ABC-BCP=180 -45 -（BCP+ACE）, BPC=90 , 故答案为： ABDACE；90 （2）（1）中结论成立，理由： 在RtABC中，30ABC， 2ABAC 在RtADE中，30ADE， 2ADAE， :AD ABAE AC， 90BACDAE， BADCAE， ADBAEC ABDACE； 18018030()BPCABDABCBCPBCPACE 90BPC 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查

21、的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形 的性质和判定、含 30 角的直角三角形的性质，以及相似三角形的性质和判定，证明得 ADBAEC是解题的关键 2.（河南省南阳市镇平县 2019-2020 学年九年级上学期期末数学试题）如图 1，在 RtABC 中，C=90 ，AC=BC=2，点 D、E 分别在边 AC、AB 上，AD=DE= 1 2 AB，连接 DE将ADE 绕点 A 逆时针方向旋转，记旋转角为 （1）问题发现 当 =0时， BE CD = ； 当 =180时， BE CD = （2）拓展探究 试判断：当 0 360 时， BE CD 的大小有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明；

22、 （3）问题解决 在旋转过程中，BE 的最大值为 ； 当ADE 旋转至 B、D、E 三点共线时，线段 CD 的长为 【答案】（1）22，；（2）无变化，证明见解析；（3）2 2+23， +1 或31. 【解析】 （1）先判断出 DECB，进而得出比例式，代值即可得出结论；先得出 DEBC，即 可得出， AEAD ABAC ，再用比例的性质即可得出结论；（2）先CAD=BAE，进而判断出 ADCAEB 即可得出结论； （3）分点 D在 BE的延长线上和点 D 在 BE上，先利用勾股 定理求出 BD，再借助（2）结论即可得出 CD 【详解】解：（1）当 =0时， 在 RtABC 中，AC=BC=2

23、， A=B=45 ，AB=2 2， AD=DE= 1 2 AB= 2， AED=A=45 ， ADE=90 ， DECB， CDBE ACAB ， 22 2 CDBE ， 2 BE CD ， 故答案为 2， 当 =180时，如图 1， DEBC， AEAD ABAC ， AEABADAC ABAC ， 即： BECD ABAC ， 2 2 2 2 BEAB CDAC ， 故答案为 2； （2）当 0360 时， BE CD 的大小没有变化， 理由：CAB=DAE， CAD=BAE， ADAE ACAB ， ADCAEB， 2 2 2 2 BEAB CDAC ； （3）当点 E 在 BA 的延长

24、线时，BE最大， 在 RtADE 中，AE= 2AD=2， BE 最大=AB+AE=2 2+2； 如图 2， 当点 E在 BD上时， ADE=90 ， ADB=90 ， 在 RtADB 中，AB=2 2，AD=2，根据勾股定理得，BD= 22 ABAD = 6， BE=BD+DE= 6+2， 由（2）知，2 BE CD ， CD= 62 3 22 BE +1， 如图 3， 当点 D在 BE的延长线上时， 在 RtADB 中，AD= 2，AB=22，根据勾股定理得，BD= 22 ABAD = 6， BE=BDDE= 62， 由（2）知，2 BE CD ， CD= 62 3 22 BE 1 故答案

25、为3 +1或31 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，相似 三角形的判定和性质，比例的基本性质及分类讨论的数学思想，解（1）的关键是得出 DE BC，解（2）的关键是判断出ADCAEB，解（3）关键是作出图形求出 BD，是一道 中等难度的题目 3. （河南省新乡市辉县市 2019-2020 学年九年级上学期期末数学试题）（1）某学校“智慧 方园”数学社团遇到这样一个题目： 如图 1，在ABC 中，点 O在线段 BC上，BAO=30 ，OAC=75 ，AO=3 3，BO：CO=1： 3，求 AB 的长 经过社团成员讨论发现，过点 B作 BDAC，交 AO

26、的延长线于点 D，通过构造ABD 就可 以解决问题（如图 2） 请回答：ADB= ，AB= （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图 3，在四边形 ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点 O，ACAD，AO=3 3，ABC= ACB=75 ，BO：OD=1：3，求 DC的长 【答案】（1）75；4 3；（2）CD=413 【解析】 （1）根据平行线性质可得出ADB=OAC=75 ，结合BOD=COA 可得出BOD COA，利用相似三角形的性质可求出 OD的值，进而可得出 AD 的值，由三角形内角和定理 可得出ABD=75 =ADB，由等角对等边可得出 AB=AD=4 3，此题得解； （2）

27、过点 B 作 BEAD 交 AC于点 E，同（1）可得出 AE=4 3，在 RtAEB 中，利用勾股 定理可求出 BE的长度，再在 RtCAD 中，利用勾股定理可求出 DC的长，此题得解 【详解】解：（1）BDAC， ADB=OAC=75 BOD=COA， BODCOA， 1 3 ODOB OAOC 又AO=3 3， OD= 1 3 AO= 3， AD=AO+OD=4 3 BAD=30 ，ADB=75 ， ABD=180 -BAD-ADB=75 =ADB， AB=AD=4 3 （2）过点 B作 BEAD 交 AC于点 E，如图所示 ACAD，BEAD， DAC=BEA=90 AOD=EOB，

28、AODEOB， BOEOBE DOAODA BO：OD=1：3， 1 3 EOBE AODA AO=3 3， EO= 3， AE=4 3 ABC=ACB=75 ， BAC=30 ，AB=AC， AB=2BE 在 RtAEB 中，BE2+AE2=AB2，即（4 3） 2+BE2=（2BE）2， 解得：BE=4， AB=AC=8，AD=12 在 RtCAD 中，AC2+AD2=CD2，即 82+122=CD2， 解得：CD=4 13 【点睛】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的 性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出 OD的值；（2）利用勾股定理求出

29、 BE、CD的长度 4.（河南省南阳市唐河县 2019-2020 学年九年级上学期期末数学试题）（1）【问题发现】 如图 1，在 RtABC 中，ABAC2，BAC90 ，点 D 为 BC的中点，以 CD 为一边作正 方形 CDEF，点 E 恰好与点 A 重合，则线段 BE与 AF 的数量关系为 （2）【拓展研究】 在（1）的条件下，如果正方形 CDEF绕点 C旋转，连接 BE，CE，AF，线段 BE与 AF的数 量关系有无变化？请仅就图 2的情形给出证明； （3）【问题发现】 当正方形 CDEF旋转到 B，E，F三点共线时候，直接写出线段 AF的长 【答案】（1）BE= 2AF；（2）无变化

30、；（3）31或3+1 【解析】 （1）先利用等腰直角三角形的性质得出 AD= 2 ，再得出 BE=AB=2，即可得出结论； （2）先利用三角函数得出 2 2 CA CB ，同理得出 2 2 CF CE ，夹角相等即可得出ACF BCE，进而得出结论； （3）分两种情况计算，当点 E 在线段 BF 上时，如图 2，先利用勾股定理求出 EF=CF=AD= 2，BF=6，即可得出 BE=62，借助（2）得出的结论，当点 E在线段 BF的延 长线上，同前一种情况一样即可得出结论 【详解】解：（1）在 RtABC中，AB=AC=2， 根据勾股定理得，BC= 2AB=22， 点 D 为 BC的中点，AD=

31、 1 2 BC= 2， 四边形 CDEF是正方形，AF=EF=AD= 2， BE=AB=2，BE= 2AF， 故答案为 BE= 2AF； （2）无变化； 如图 2，在 RtABC中，AB=AC=2， ABC=ACB=45 ，sinABC= 2 2 CA CB ， 在正方形 CDEF中，FEC= 1 2 FED=45 ， 在 RtCEF 中，sinFEC= 2 2 CF CE ， CFCA CECB ， FCE=ACB=45 ，FCEACE=ACBACE，FCA=ECB， ACFBCE， BECB AFCA = 2，BE=2AF， 线段 BE与 AF的数量关系无变化； （3）当点 E在线段 AF

32、上时，如图 2， 由（1）知，CF=EF=CD= 2， 在 RtBCF 中，CF= 2，BC=22， 根据勾股定理得，BF= 6，BE=BFEF=62， 由（2）知，BE= 2AF，AF=31， 当点 E在线段 BF的延长线上时，如图 3， 在 RtABC 中，AB=AC=2，ABC=ACB=45 ，sinABC= 2 2 CA CB ， 在正方形 CDEF中，FEC= 1 2 FED=45 ， 在 RtCEF 中，sinFEC= 2 2 CF CE ， CFCA CECB ， FCE=ACB=45 ，FCB+ACB=FCB+FCE，FCA=ECB， ACFBCE， BECB AFCA = 2

33、，BE=2AF， 由（1）知，CF=EF=CD= 2， 在 RtBCF 中，CF= 2，BC=22， 根据勾股定理得，BF= 6，BE=BF+EF=6+2， 由（2）知，BE= 2AF，AF=3+1 即：当正方形 CDEF旋转到 B，E，F 三点共线时候，线段 AF的长为 31 或3+1 5.（河南省洛阳市 2019 年中考数学二模试卷）如图 1，在 RtABC中，ABC90 ，AB BC4，点 D、E分别是边 AB、AC 的中点，连接 DE，将ADE绕点 A按顺时针方向旋转， 记旋转角为 ，BD、CE 所在直线相交所成的锐角为 (1)问题发现当 0 时， CE BD _；_ (2)拓展探究

34、试判断：当 0360 时， CE BD 和 的大小有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明 (3)在ADE旋转过程中，当 DEAC时，直接写出此时CBE 的面积 【答案】(1) 2，45；(2) CE BD 和 的大小无变化；(3)BCE的面积为 4 或 12 【解析】 (1)利用等腰直角三角形的性质，线段的中点的定义即可判断 (2)结论：CE BD 和 的大小无变化 如图 2中， 延长 CE交 AB 于点 O， 交 BD于 K 证明DAB EAC，即可解决问题 (3)分两种情形：当点 D在线段 AB上时，当点 D在线段 BA的延长线上时，分别求解即 可 【详解】解：(1)如图 1 中， B90

35、 ，BABC， A45 ，AC 2AB， 点 D、E分别是边 AB、AC 的中点， BD 1 2 AB，EC 1 2 AC， CE BD 2，45 ， 故答案为 2，45 (2)结论： CE BD 和 的大小无变化 理由：如图 2中，延长 CE交 AB于点 O，交 BD于 K AE 2AD，AC2AB， AEAC ADAB 2， AEAD ACAB ， DAEBAC， DABEAC， DABEAC， CE BD AC AB 2，OBKOCA， BOKCOA， BKOCAO45 ， CE BD 和 的大小无变化 (3)当点 D在线段 AB上时，SBCE 1 2 4 24， 当点 D在线段 BA的

36、延长线上时，SBCE 1 2 4 612 综上所述，BCE的面积为 4或 12 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性 质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的 思想思考问题，属于中考压轴题 6. （河南省新乡市长垣市 2020 届九年级上学期期末调研测试） 在ABC 中， CACB， ACB 点 P 是平面内不与点 A，C 重合的任意一点连接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 得到线段 DP，连接 AD，BD，CP （1）观察猜想 如图 1，当 60 时，的值是 ，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较

37、小角的度 数是 （提示：求角度时可考虑延长 CP 交 BD 的延长线于 E） （2）类比探究 如图 2，当 90 时，请写出的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的小角的度数， 并就图 2 的情形说明理由 （3）解决问题 当 90 时，若点 E，F 分别是 CA，CB 的中点，点 P 在直线 EF 上，请直接写出点 C， P，D 在同一直线上时的值 【解析】 （1）如图 1 中，延长 CP 交 BD 的延长线于 E，设 AB 交 EC 于点 O PADCAB60 ， CAPBAD， CABA，PADA， CAPBAD（SAS）， PCBD，ACPABD， AOCBOE， BEOCAO60 ，

38、 1，线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数是 60 ， 故答案为 1，60 （2）如图 2 中，设 BD 交 AC 于点 O，BD 交 PC 于点 E PADCAB45 ， PACDAB， ， DABPAC， PCADBA， EOCAOB， CEOOABB45 ， 直线 BD 与直线 CP 相交所成的小角的度数为 45 （3）2-，2+ 如图 31 中，当点 D 在线段 PC 上时，延长 AD 交 BC 的延长线于 H CEEA，CFFB，来源:163文库 EFAB， EFCABC45 ， PAO45 ， PAOOFH， POAFOH， HAPO， APC90 ，EAEC， PEEAEC， EPAEAPBAH， HBAH， BHBA， ADPBDC45 ， ADB90 ， BDAH， DBADBC22.5 ， ADBACB90 ， A，D，C，B 四点共圆， DACDBC22.5 ，DCAABD22.5 ， DACDCA22.5 ， DADC，设 ADa，则 DCADa，PDa， 2 如图 32 中，当点 P 在线段 CD 上时，同法可证：DADC，设 ADa，则 CDAD a，PDa， PCaa， 2+ AD PC 的值是 2- ，2+.