1、 中考数学几何模型 3：对角互补模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山 共顶点模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。主要：含 90的对角互补，含 120的 对角互补，两种类型，种类不同，得出的个别结论会有所区别。解决此类题型常用到的辅助线画法主要有 两种：旋转法和过顶点作两垂线. 类型一：含类型一：含 9090的对角互补模型的对角互补模型 （1）如图，AOB=DCE=90，OC 平分AOB，则有以下结论： CDCE； = 2ODOEOC； 2 1 += 2 OCDOCE SSOC 作法 1 作法 2 （2）如图，AOB=DCE=90，OC 平分AOB，当DCE 的一边与 AO 的延长线交
2、于点 D 时，则有以 下结论： CDCE； -= 2OE ODOC； 2 1 -= 2 OCEOCD SSOC 作法 1 作法 2 类型二：含类型二：含 120120的对角互补模型的对角互补模型 （1）如图，AOB=2DCE=120，OC 平分AOB，则有以下结论： CDCE； =ODOE OC； 2 3 += 4 OCDOCE SSOC 作法 1 作法 2 （2）如图，AOB=DCE=90，OC 平分AOB，当DCE 的一边与 AO 的延长线交于点 D 时，则有以 下结论： CDCE； -= 2OE ODOC； 2 1 -= 2 OCEOCD SSOC 作法 1 作法 2 典题探究 启迪思维
3、 探究重点 例题例题 1. 如图，正方形 ABCD 与正方形 OMNP 的边长均为 10，点 O 是正方形 ABCD 的中心，正方形 OMNP 绕 O 点旋转，证明：无论正方形 OMNP 旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值， 并求这个定值 变式练习变式练习 1. 角线交于点 O，点 E、F 分别在 AB、BC 上（AEBE） ，且EOF90，OE、DA 的延长线交于点 M， OF、AB 的延长线交于点 N，连接 MN （1）求证：OMON （2）若正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 OM 的中点，求 MN 的长 例题例题 2. 四边形 ABCD 被对角线 BD 分为等腰
4、直角ABD 和直角CBD，其中A 和C 都是直角，另一条 对角线 AC 的长度为 2，求四边形 ABCD 的面积 变式练习变式练习 2. 如图，在四边形 ABCD 中，A=C=90，AB=AD，若这个四边形的面积为 12，则 BC+CD=_. 例题例题 3. 如图，在 RtABC 中，ABC90，AB3，BC4，RtMPN，MPN90，点 P 在 AC 上， PM 交 AB 于点 E，PN 交 BC 于点 F，当 PE2PF 时，AP 变式练习变式练习 3. 如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC5，点 E 在对角线 AC 上，连接 BE，作 EFBE，垂足为 E，直线 EF 交线段 DC
5、于点 F，则（ ） A B C D 例题例题 4. 用两个全等且边长为 4 的等边三角形ABC 和ACD 拼成菱形 ABCD把一个 60角的三角尺与 这个菱形叠合，使三角尺的 60角的顶点与点 A 重合，两边分别与 AB，AC 重合，将三角尺绕点 A 按逆时 针方向旋转 （1）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC，CD 相交于点 E，F 时， （如图 1） ，通过观察或测量 BE，CF 的长度，你能得出什么结论？（直接写出结论，不用证明） ； （2）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC，CD 的延长线相交于点 E，F 时（如图 2） ，你在（1）中得到 的结论还成立吗？说明理由； （3）在上述
6、情况中，AEC 的面积是否会等于？如果能，求 BE 的长；如果不能，请说明理由 变式练习变式练习 4. 我们规定：横、纵坐标相等的点叫做“完美点” （1）若点 A（x，y）是“完美点” ，且满足 x+y4，求点 A 的坐标； （2）如图 1，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是正方形，点 A 坐标为（0，4） ，连接 OB，E 点从 O 向 B 运动，速度为 2 个单位/秒，到 B 点时运动停止，设运动时间为 t 不管 t 为何值，E 点总是“完美点” ； 如图 2，连接 AE，过 E 点作 PQx 轴分别交 AB、OC 于 P、Q 两点，过点 E 作 EFAE 交 x 轴于点 F， 问：
7、当 E 点运动时，四边形 AFQP 的面积是否发生变化？若不改变，求出面积的值；若改变，请说明理由 例题例题 5. 已知，点 P 是MON 的平分线上的一动点，射线 PA 交射线 OM 于点 A，将射线 PA 绕点 P 逆时针 旋转交射线 ON 于点 B，且使APB+MON180 （1）利用图 1，求证：PAPB； （2）如图 2，若点 C 是 AB 与 OP 的交点，当 SPOB3SPCB时，求 PB 与 PC 的比值； （3）若MON60，OB2，射线 AP 交 ON 于点 D，且满足且PBDABO，请借助图 3 补全图形， 并求 OP 的长 达标检测 领悟提升 强化落实 1. 如图，在等
8、腰 RtABC 中，C=90，AC=8，F 是 AB 边上的中点，点 D、E 分别在 AC、BC 边上运动， 且保持 AD=CE，连结 DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：DEF 是等腰直角三角形；四 边形 CDFE 不可能为正方形；四边形 CDFE 的面积保持不变；DE 长度的最小值为 4；CDE 面积的最 大值为 8，其中正确的结论是_. 2. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC，ABC=CDA=90，BEAD 于点 E，且四边形 ABCD 的面积为 8，求 BE 的长. 3. 如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是对角线 AC，BD 的交点，点 E 在 CD
9、 上，且 DE2CE，连接 BE过点 C 作 CFBE，垂足为点 F，连接 OF求： （1）CF 的长； （2）OF 的长 4. 如图，QPN 的顶点 P 在正方形 ABCD 两条对角线的交点处，QPN，将QPN 绕点 P 旋转，旋 转过程中QPN 的两边分别与正方形 ABCD 的边 AD 和 CD 交于点 E 和点 F（点 F 与点 C，D 不重合） （1）如图，当 90时，DE，DF，AD 之间满足的数量关系是 ； （2）如图，将图中的正方形 ABCD 改为ADC120的菱形，其他条件不变，当 60时， （1） 中的结论变为 DE+DFAD，请给出证明； （3）在（2）的条件下，若旋转过程
10、中QPN 的边 PQ 与射线 AD 交于点 E，其他条件不变，探究在整 个运动变化过程中，DE，DF，AD 之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明 5. “如图 1，在 RtABC 中，ACB90，CDAB 于点 D ”这里，根据已学的相似三角形的知识，易 证：在图 1 这个基本图形的基础上，继续添加条件“如图 2，点 E 是直线 AC 上一动点，连接 DE，过点 D 作 FDED，交直线 BC 于点 F，设 ” （1）探究发现：如图，若 mn，点 E 在线段 AC 上，则 ； （2）数学思考： 如图 3，若点 E 在线段 AC 上，则 （用含 m，n 的代数式表示） ； 当点 E 在
11、直线 AC 上运动时，中的结论是否仍然成立？请仅就图 4 的情形给出证明； （3）拓展应用：若 AC，BC2，DF4，请直接写出 CE 的长 6.（2019贵阳适应性）如图，已知 AC=BC，ACBC，直线 MN 经过点 B，过点 A 作 ADMN，垂足为 D， 连接 CD （1）动手操作：根据题意，请利用尺规将图补充完整； （保留作图痕迹，不写作法） （2）探索证明：在补充完成的图中，猜想 CD、BD 与 AD 之间的数量关系，并说明理由； （3）探索拓广：一天小明一家在某公园游玩时走散了，电话联系后得知，三人的位置如图，爸爸在 A 处， 妈妈在 C 处， 小明在 D 处， B 为公园大门口， 若 B、 D 在直线 MN 上， 且 ACBC， ADMN， AC=BC， AD=100m， CD=40m，求出小明到公园门口的距离 BD 的长度.
