1、 中考数学几何模型 10：胡不归最值模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山 在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如 PA+PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如 “PA+kP”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆 【故事介绍】【故事介绍】 从前有个少年外出求学， 某天不幸得知老父亲病危的消息， 便立即赶路回家 根据“两点之间线段最短”， 虽然从他此刻位置 A 到家 B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小 伙子追悔莫及失声痛哭 邻居告诉小伙子说， 老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” （“胡”同“何”） 而
2、如果先沿着驿道而如果先沿着驿道 AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？ V1 V2 V1 驿道 砂石地 A B C 【模型建立】【模型建立】 如图，一动点 P 在直线 MN 外的运动速度为 V1，在直线 MN 上运动的速度为 V2，且 V1 1如图，平行四边形 ABCD 中，DAB=60 ，AB=6，BC=2，P 为边 CD 上的一动点，则 3 2 PBPD的最 小值等于_ A B CD P 例题例题 2. 如图，AC 是圆 O 的直径，AC4，弧 BA120 ，点 D 是弦 AB 上的一个动点，那么 OD+BD 的 最小值为（ ） A B C
3、D 变式练习变式练习 2 如图， ABC 中， BAC30 且 ABAC， P 是底边上的高 AH 上一点 若 AP+BP+CP 的最小值为 2， 则 BC 例题例题 3. 等边三角形 ABC 的边长为 6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中 BC 边在 x 轴上，BC 边的高 OA 在 Y 轴上一只电子虫从 A 出发，先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GC 到达 C 点，已知电子虫在 Y 轴上运动的速度是在 GC 上运动速度的 2 倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点 G 的坐标为 变式练习变式练习 3如图， ABC 在直角坐标系中，ABAC，A（0，2），C（1，0），D 为射线 A
4、O 上一点，一动点 P 从 A 出发，运动路径为 ADC， 点 P 在 AD 上的运动速度是在 CD 上的 3 倍， 要使整个运动时间最少， 则点 D 的坐标应为（ ） A（0，） B（0，） C（0，） D（0，） 例题例题 4. 直线 y与抛物线 y（x3）24m+3 交于 A，B 两点（其中点 A 在点 B 的左侧），与抛物线 的对称轴交于点 C，抛物线的顶点为 D（点 D 在点 C 的下方），设点 B 的横坐标为 t （1）求点 C 的坐标及线段 CD 的长（用含 m 的式子表示）； （2）直接用含 t 的式子表示 m 与 t 之间的关系式（不需写出 t 的取值范围）； （3）若 CD
5、CB求点 B 的坐标；在抛物线的对称轴上找一点 F，使 BF+CF 的值最小，则满足 条件的点 F 的坐标是 变式练习变式练习 4如图 1，在平面直角坐标系中将 y2x+1 向下平移 3 个单位长度得到直线 l1，直线 l1与 x 轴交于点 C； 直线 l2：yx+2 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，且与直线 l1交于点 D （1）填空：点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ； （2）直线 l1的表达式为 ； （3）在直线 l1上是否存在点 E，使 S AOE2S ABO？若存在，则求出点 E 的坐标；若不存在，说明理由 （4）如图 2，点 P 为线段 AD 上一点（不含端点），连接 C
6、P，一动点 H 从 C 出发，沿线段 CP 以每秒 1 个单位的速度运动到点 P，再沿线段 PD 以每秒个单位的速度运动到点 D 后停止，求点 H 在整个运 动过程中所用时间最少时点 P 的坐标 例题例题 5. 已知抛物线 ya（x+3）（x1）（a0），与 x 轴从左至右依次相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于 点 C，经过点 A 的直线 yx+b 与抛物线的另一个交点为 D （1）若点 D 的横坐标为 2，求抛物线的函数解析式； （2）若在（1）的条件下，抛物线上存在点 P，使得 ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形，求点 P 的 坐标； （3）在（1）的条件下，设点 E 是线段 A
7、D 上的一点（不含端点），连接 BE一动点 Q 从点 B 出发， 沿线段 BE 以每秒 1 个单位的速度运动到点 E，再沿线段 ED 以每秒个单位的速度运动到点 D 后停 止，问当点 E 的坐标是多少时，点 Q 在整个运动过程中所用时间最少？ 变式练习变式练习 5如图，已知抛物线 yx2+bx+c 交 x 轴于点 A（2，0）、B（8，0），交 y 轴于点 C，过点 A、B、 C 三点的M 与 y 轴的另一个交点为 D （1）求此抛物线的表达式及圆心 M 的坐标； （2）设 P 为弧 BC 上任意一点（不与点 B，C 重合），连接 AP 交 y 轴于点 N，请问：APAN 是否为定 值，若是，
8、请求出这个值；若不是，请说明理由； （3）延长线段 BD 交抛物线于点 E，设点 F 是线段 BE 上的任意一点（不含端点），连接 AF动点 Q 从点 A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到点 F，再沿线段 FB 以每秒个单位的速度运动 到点 B 后停止，问当点 F 的坐标是多少时，点 Q 在整个运动过程中所用时间最少？ 达标检测 领悟提升 强化落实 1. 如图，在平面直角坐标系中，点3, 3A，点 P 为 x 轴上的一个动点，当OPAP 2 1 最小时，点 P 的坐 标为_. 2. 如图，四边形 ABCD 是菱形，AB=4，且ABC=60，点 M 为对角线 BD（不含点 B）
9、上的一动点，则 BMAM 2 1 的最小值为_. 3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yax2+bx+c 的图象经过点 A（1，0），B（0，），C（2， 0），其对称轴与 x 轴交于点 D （1）求二次函数的表达式及其顶点坐标； （2）点 M 为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点 N，使得以 A，B，M，N 为顶点的四边形为 菱形，求点 M 的坐标； （3）若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，求PB+PD 的最小值 4. 【问题提出】如图，已知海岛 A 到海岸公路 BD 距离为 AB 的长度，C 为公路 BD 上的酒店，从海岛 A 到酒店 C， 先乘船到登陆点 D， 船
10、速为 a， 再乘汽车， 车速为船速的 n 倍， 点 D 选在何处时， 所用时间最短？ 【特例分析】 若 n2， 则时间 t+， 当 a 为定值时， 问题转化为： 在 BC 上确定一点 D， 使得+ 的值最小如图，过点 C 做射线 CM，使得BCM30 （1）过点 D 作 DECM，垂足为 E，试说明：DE；（2）请在图中画出所用时间最短的登陆点 D 【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图中的问题（写出具体方案，如相关图形 呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等） 【综合运用】（4）如图，抛物线 yx2+x+3 与 x 轴分别交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，E 为
11、 OB 中点，设 F 为线段 BC 上一点（不含端点），连接 EF一动点 P 从 E 出发，沿线段 EF 以每秒 1 个单位 的速度运动到 F， 再沿着线段 FC 以每秒个单位的速度运动到 C 后停止 若点 P 在整个运动过程中用时最 少，请求出最少时间和此时点 F 的坐标 5. 如图， ABC 是等边三角形 （1）如图 1，AHBC 于 H，点 P 从 A 点出发，沿高线 AH 向下移动，以 CP 为边在 CP 的下方作等边 三角形 CPQ，连接 BQ求CBQ 的度数； （2）如图 2，若点 D 为 ABC 内任意一点，连接 DA，DB，DC证明：以 DA，DB，DC 为边一定能组 成一个三
12、角形； （3）在（1）的条件下，在 P 点的移动过程中，设 xAP+2PC，点 Q 的运动路径长度为 y，当 x 取最小 值时，写出 x，y 的关系，并说明理由 6. 如图，已知抛物线 y（x+2）（x4）（k 为常数，且 k0）与 x 轴从左至右依次交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线 yx+b 与抛物线的另一交点为 D （1）若点 D 的横坐标为5，求抛物线的函数表达式； （2）若在第一象限内的抛物线上有点 P，使得以 A，B，P 为顶点的三角形与 ABC 相似，求 k 的值； （3）在（1）的条件下，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连接 AF，一动点 M
13、 从点 A 出发，沿线 段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 F 的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程中用时最少？ 7. 已如二次函数 yx2+2x+3 的图象和 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C， （1）如图 1，P 是直线 BC 上方抛物线上一动点（不与 B、C 重合）过 P 作 PQx 轴交直线 BC 于 Q，求线 段 PQ 的最大值； （2）如图 2，点 G 为线段 OC 上一动点，求 BG+CG 的最小值及此时点 G 的坐标； （3）如图 3，在（2）的条件下，M 为直线
14、 BG 上一动点，N 为 x 轴上一动点，连接 AM，MN，求 AM+MN 的最小值 8. 如图，在 Rt ABC 中，ACB90 ，B30 ，AB4，点 D、F 分别是边 AB，BC 上的动点，连接 CD， 过点 A 作 AECD 交 BC 于点 E，垂足为 G，连接 GF，则 GF+FB 的最小值是（ ） A B C D 9. 抛物线 2 62 3 6 63 yxx 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C点 P 是直 线 AC 上方抛物线上一点，PFx 轴于点 F，PF 与线段 AC 交于点 E；将线段 OB 沿 x 轴左右平移，线段 OB 的对应线段是 O1B1，当 1 2 PEEC的值最大时，求四边形 PO1B1C 周长的最小值，并求出对应的点 O1 的坐标 E B1O1 P AB C F y x O
