1、(1)人们在人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为出现的年份依次为(2)“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。如果将尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。如果将“一尺之棰一尺之棰”视为一份，那么每日剩下的部分依次为视为一份，那么每日剩下的部分依次为1、考察下面的问题、考察下面的问题1740，1823，1960，1989，2072，1 1 111,2 4 8
2、16 32问题创设问题创设(1)三角形数三角形数(2)正方形数正方形数2、观察以下、观察以下2个例子：个例子：1361014916问题创设问题创设一、数列的概念：一、数列的概念：按按一定次序一定次序排列的一列数叫做排列的一列数叫做数列数列思考思考1：拿：拿“1，2，3”这三个数来排，能排出几个数列？这三个数来排，能排出几个数列？例如：三角形数例如：三角形数 1，3，6，10，正方形数正方形数 1，4，9，16，1，2，3 2，1，3 3，1，21，3，2 2，3，1 3，2，1注意：注意：每个数列中的数都有特定的每个数列中的数都有特定的顺序顺序，但不一定要有，但不一定要有 特殊的特殊的规律规律
3、.一、数列的概念：一、数列的概念：按按一定次序一定次序排列的一列数叫做排列的一列数叫做数列数列注：数列中的每一个数都叫做这个数列的注：数列中的每一个数都叫做这个数列的项项，各项依次，各项依次叫做这个数列的第叫做这个数列的第1项（或项（或首项首项），第），第2项，项，第，第n项项.我们常把数列的一般形式写成我们常把数列的一般形式写成 a1，a2，a3，an，.(nN*)简记作简记作an。例如：若用例如：若用an来表示来表示“2，1，3”这个数列，则这个数列，则a2=_；1思考思考2：能不能把数列：能不能把数列“2，1，3”记为记为2，1，3？不行，不行，2，1，3是一个集合，集合中的元素是是一个
4、集合，集合中的元素是没有顺序的没有顺序的一、数列的概念：一、数列的概念：按按一定次序一定次序排列的一列数叫做排列的一列数叫做数列数列注：数列中的每一个数都叫做这个数列的注：数列中的每一个数都叫做这个数列的项项，各项依次，各项依次叫做这个数列的第叫做这个数列的第1项（或项（或首项首项），第），第2项，项，第，第n项项.我们常把数列的一般形式写成我们常把数列的一般形式写成 a1，a2，a3，an，.(nN*)简记作简记作an。思考思考3：an 与与an的意思一样吗？的意思一样吗？an表示一个数列：表示一个数列：a1，a2，a3，an，.an表示数列表示数列an中的第中的第n项项各项都相等的数列各项
5、都相等的数列从第从第2项起，有些项大于它的前一项，项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列有些项小于它的前一项的数列二、数列的分类：二、数列的分类：1、以项数来分类：、以项数来分类：（1）有穷数列：）有穷数列：（2）无穷数列：）无穷数列：2、以各项的大小关系来分类：、以各项的大小关系来分类：（1）递增数列：）递增数列：（2）递减数列：）递减数列：（3）常）常 数数 列：列：（4）摆动数列：）摆动数列：项数有限的数列项数有限的数列项数无限的数列项数无限的数列对任意对任意nN*，总有，总有an+1an(或或an+1-an0)对任意对任意nN*，总有，总有an+1an(或或an+1-a
6、nan(或或an+1-an0)对任意对任意nN*，总有，总有an+1an(或或an+1-an0 an是个递增数列是个递增数列五、数列与函数的关系：五、数列与函数的关系：注意，在数列注意，在数列an中中项：项：a1，a2，a3，an，.序号：序号：1，2，3，n，从函数的观点看，数列可以看成以正整数集从函数的观点看，数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集（或它的有限子集1，2，n）为定义域的函数）为定义域的函数an=f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值所对应的一列函数值.数列的其他表示方法：数列的其他表示方法：如：数列如：数
7、列2，4，6，2n，列表法，图象法列表法，图象法例例4、下图中的三角形称为谢宾斯基三角形，在下图、下图中的三角形称为谢宾斯基三角形，在下图4个个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象系中画出它的图象.（1）（2）（3）（4）思考：如果一个数列思考：如果一个数列an的首项的首项a1=1，从第，从第2项起每一项项起每一项都等于它的前一项的都等于它的前一项的2倍再加倍再加1，即，即 an=2an-1+1(n2)则该数列的第则该数列的第5项
8、是什么？项是什么？已知数列已知数列an的第的第1项（或前几项），且任意一项项（或前几项），且任意一项an与前一项与前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式递推公式练习：试写出数列练习：试写出数列1，3，6，10，的一个递推公式。的一个递推公式。解：解：a1=1练习：写出下列数列练习：写出下列数列an的前的前5项项（1）a1=5，an=an-1+3 (n2)；（2）a1=2，an=2an-1 (n2)；思考：你能否利用上面两题的条件求出数列思考：你能否利用上面两题的条件求出数列an的的
9、通项公式？通项公式？（1）5，8，11，14，17（2）2，4，8，16，32二二.数列的分类：数列的分类：1.以项数来分类：以项数来分类：（1）有穷数列：）有穷数列：（2）无穷数列：）无穷数列：2.以各项的大小关系来分类：以各项的大小关系来分类：（1）递增数列：）递增数列：（2）递减数列：）递减数列：（3）常）常 数数 列：列：（4）摆动数列：）摆动数列：项数有限的数列项数有限的数列项数无限的数列项数无限的数列从第从第2项起，每一项都大于它的前一项项起，每一项都大于它的前一项的数列的数列从第从第2项起，每一项都小于它的前一项项起，每一项都小于它的前一项的数列的数列各项都相等的数列各项都相等的
10、数列从第从第2项起，有些项大于它的前一项，项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列有些项小于它的前一项的数列(an+1an，nN*)(an+11,nN*）,试写出这个数列的前四项.【解析】a1=2,an=2+（n1,nN*），a2=2+a3=2+a4=2+n 11an 11a115a2，2112,a53129.a12自主学习 新知突破等差数列的定义2前一项同一常数常数公差d数列等差中项等差等差数列的通项公式递推公式通项公式_d(n2)an_anan1a1(n1)d合作探究 课堂互动 等差数列的通项公式等差中项等差数列的判定方法符号语言结论定义法anan1d(常数)(n2且nN*)
11、an是等差数列等差中项法2anan1an1(n2且nN*)高效测评 知能提升 谢谢观看！谢谢观看！课前自主预习课前自主预习 课堂典例讲练课堂典例讲练 名师辨误做答名师辨误做答课后强化作业课后强化作业 课前自主预习课前自主预习温温 故故 知知 新新新新 课课 引引 入入自自 主主 预预 习习课堂典例讲练课堂典例讲练 思路方法技巧思路方法技巧建模应用引路建模应用引路探索延拓创新探索延拓创新名师辨误做答名师辨误做答课后强化作业课后强化作业（点此链接）（点此链接）自主学习 新知突破等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn_Sn_答案：D合作探究 课堂互动 与前n项和有关
12、的基本量的运算与前n项和有关的最值问题求数列|an|的前n项和高效测评 知能提升 谢谢观看！谢谢观看！已知Sn求通项公式an【名师指津】数列前n项和Sn与通项公式an的关系.已知数列an的通项公式an就可以求数列an的前n项和Sn；反过来，若已知数列an的前n项和Sn也可以求数列an的通项公式an.Sn=a1+a2+a3+an,Sn-1=a1+a2+a3+an-1(n2),在n2的条件下，把上面两式相减可得：an=Sn-Sn-1(n2)，当n=1时，a1=S1，所以an=1nn 1S(n1).SSn2【特别提醒】an=Sn-Sn-1只对n2的正整数成立.由Sn求通项公式an时，要分n=1和n2
13、两种情形，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示.【例1】已知数列an的前n项和为Sn，且当nN*时满足Sn=-3n2+6n，求数列an的通项公式an.【审题指导】题目中给出了数列的前n项和Sn的表达式，欲求此数列an的通项公式an，可利用an=Sn-Sn-1（n2)，然后再验证当n=1时是否成立，可否用统一解析式表示，即可求解.【规范解答】当n=1时，a1=S1=3,当n2时，an=Sn-Sn-1=(-3n2+6n)-3(n-1)2+6(n-1)=9-6n，a1=3符合此式.an=9-6n(nN*).【互动探究】若本例中“Sn=-3n2+6n”改为“Sn=-3n
14、2+6n+1”,其他条件不变，又如何求通项公式an呢？【解题提示】利用an与Sn的关系，即an=Sn-Sn-1(n2)求解即可,注意验证n=1时是否成立.【解析】当n=1时，a1=S1=4.当n2时，an=Sn-Sn-1=（-3n2+6n+1）-3（n-1）2+6(n-1)+1=9-6n,a1=4不符合此式.故an=4(n1).96n(n2)求数列an的前n项和【名师指津】求数列an的前n项和的方法策略.等差数列各项取绝对值后组成的数列an的前n项和，可分为以下情形：(1)等差数列an的各项都为非负数，这种情形中数列an就等于数列an，可以直接求解.(2)等差数列an中，a10,d0，这种数列
15、只有前边有限项为非负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列an分成两段处理.(3)等差数列an中，a10,这种数列只有前边有限项为负数,其余都为非负数，同样可以把数列分成两段处理.总之，解决此类问题的关键是找到数列an的正负界点.【特别提醒】对于含有正、负项的等差数列an，一定要明确从哪项开始为正或从哪项开始为负.【例2】已知等差数列an中，S2=16，S4=24，求数列an的前n项和An.【审题指导】题目中给出的数列an是等差数列，且S2=16，S4=24，由此可先求得首项和公差，即可得通项公式an，欲求数列an的前n项和An，关键是先判断出an中哪些项是负的，然后再分段求出前n项的绝对
16、值之和.【规范解答】设等差数列an的首项为a1，公差为d,由已知列方程组解得a1=9，d=-2，an=11-2n.令an0，得11-2n5.5.设Sn表示数列an的前n项和，当n5时，an0，An=Sn=-n2+10n；112 12ad162,4 34ad242当n6时，an0，An=a1+a2+a3+a4+a5-a6-a7-an=a1+a2+a3+a4+a5-(a6+a7+an)=2(a1+a2+a3+a4+a5)-(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+an)=2S5-Sn=2(-52+50)-(-n2+10n)=n2-10n+50An=22n10n,n5.n10n50,n6【变式训练
17、】在等差数列an中,a1=-60,a17=-12,求数列|an|的前n项和.【解题提示】由a1=-60，a17=-12，可先求得公差d，分清哪些项是负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和.【解析】设数列an的公差为d，则d=3,an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)3=3n-63.由an0,得3n-630，即n21.当n=21时，a21=0.数列an的前20项是负数，第20项以后的项都为非负数.1711260aa17 116 设Sn,Sn分别表示数列an和|an|的前n项之和，当n20时，Sn=|a1|+|a2|+|an|=-a1-a2-an=-Sn=-60n+3=当n20时，Sn=-S
18、20+(Sn-S20)=Sn-2S20=-60n+3-2(-6020+3)n n1223123nn;22n n1220 19223123nn1260.22数列|an|的前n项和Sn=223123nn,n2022.3123nn1260,n2022 等差数列在实际问题中的应用【名师指津】利用等差数列的知识解决实际问题的方法策略.利用转化思想将实际应用题转化为等差数列求和问题.对于此类有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出实际答案，一般可从以下几步考虑：【例】从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售.4月1日该款服装售出10件，第二天售出25件，第三天售出40件
19、，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12日日销售量达到最大，然后，每天售出的件数分别递减10件.(1)记从4月1日起该款服装日销售量为an,销售天数为n,1n30,求an与n的关系；(2)求4月份该款服装的总销售量；(3)按规律，当该商场销售此服装超过1 200件时，社会上就开始流行，当此服装的销售量连续下降，且日销售量低于100件时，则此服装在社会上不再流行.试问：该款服装在社会上流行的时间是否超过10天？说明理由.【审题指导】由题意分析可知，求总销售量问题可转化为等差数列求和问题，总体解题思路可归结为以下形式：【规范解答】(1)设从4月1日起该款服装的日销售量构成数列an.由题意知
20、，数列a1,a2,a12是首项为10，公差为15的等差数列，an=15n-5(1n12且nN*).而a13,a14,a15，,a30是首项为a13=a12-10=165,公差为-10的等差数列，an=165+(n-13)(-10)=-10n+295(13n30且nN*).an=15n5,1n12nN*.10n295,13n30nN*且且(2)4月份该款服装的总销售量为 +18a13+=2 550(件).(3)4月1日至4月12日的销售总量为 =1 1101 200,4月12日前该款服装在社会上还没有流行.由-10n+295 第20天该款服装在社会上不再流行.该款服装在社会上流行没有超过10天.
21、11212 aa2 30 1230 12 1102 1210 17518 171018 16522 11212 aa1210 1752239,2【变式备选】一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速10 km/h开始，每隔2 s速度提高20 km/h，如果测试时间是30 s，测试距离是多长？【解析】由于每隔2 s速度提高20 km/h，所以该赛车在每个2 s内的速度构成等差数列an且a1=10,d=20.如果测试时间是30 s，则最后一个2 s内的速度是a15，测试距离S=(a1+a2+a15)=(1510+20)=1.25(km).答：若测试时间是30 s，则测试距离为1.25 km.
22、1180015 14211800【典例】(12分)有两个等差数列an，bn，其前n项和分别为Sn和Tn，若 求【审题指导】由题目可知两个数列都为等差数列以及其前n项和Sn和Tn的比值，欲求 的值，可充分利用等差数列前n项和公式及等差中项的关系转化为 的关系.nnS7n2Tn3，55a.b55abnnST【规范解答】方法一：3分 6分 9分 12分5555a2ab2b191919199 aaaa29 bbbb299S7 92T93 65.12方法二：因为 3分所以设Sn=(7n+2)kn，Tn=(n+3)kn,k0,6分a5=S5-S4=65k,b5=T5-T4=12k,9分 12分nnS7n2
23、Tn3，55a65k65.b12k12【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】有两个等差数列an，bn，其前n项和分别为Sn和Tn，若 求【解析】由等差数列的性质得nnS2nT3n1，2517228101216aaaa.bbbb25172212111112810121612111112aaaa2a2aaabbbb2b2bbb1221222212212222aa22aaS2 22442.bbbbT3 22 1672221.设数列an的前n项和Sn=n2，则a8的值为()(A)15 (B)16 (C)49 (D)64【解析】选A.a8=S8-S7=64-49=15.2.已知数列
24、an 为等差数列，a1=35,d=-2,Sn=0,则n等于()(A)33 (B)34 (C)35 (D)36【解析】选D.Sn=na1+=0,35n-n(n-1)=0,得n=36.n n1d23.数列an为等差数列，an=11,d=2,Sn=35,则a1等于()(A)5或7 (B)3或5(C)7或-1 (D)3或-1【解析】选D.由已知得 从而a1=3或a1=-1.11ad n111n n1nad352，4.设等差数列an的前n项和为Sn,a2+a4=6，则S5=_.【解析】S5=15.答案：1524155 aa5 aa5 6222（）5.两个等差数列an和bn的前n项和分别是Sn，Tn，若
25、求 的值.【解析】方法一：方法二：因为 所以设Sn=(2n+3)kn，Tn=(3n-1)kn，k0,a9=S9-S8=37k.b9=T9-T8=50k.nnS2n3T3n1，99ab117991171179911717 aaa2aaa217(bbb2bbb2）1717S2 17337.T3 17 150nnS2n3T3n1，99a37k37.b50k50(1)人们在人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为出现的年份依次为(2)“一尺之棰，日取其半
26、，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。如果将尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。如果将“一尺之棰一尺之棰”视为一份，那么每日剩下的部分依次为视为一份，那么每日剩下的部分依次为1、考察下面的问题、考察下面的问题1740，1823，1960，1989，2072，1 1 111,2 4 8 16 32问题创设问题创设(1)三角形数三角形数(2)正方形数正方形数2、观察以下、观察以下2个例子：个例子：1361014916问题创设问题创设一、数列的概念：一、数列的概念：按按一定次序一定次序排列的一列数叫做排列的一列数叫做数列数列思考思
27、考1：拿：拿“1，2，3”这三个数来排，能排出几个数列？这三个数来排，能排出几个数列？例如：三角形数例如：三角形数 1，3，6，10，正方形数正方形数 1，4，9，16，1，2，3 2，1，3 3，1，21，3，2 2，3，1 3，2，1注意：注意：每个数列中的数都有特定的每个数列中的数都有特定的顺序顺序，但不一定要有，但不一定要有 特殊的特殊的规律规律.一、数列的概念：一、数列的概念：按按一定次序一定次序排列的一列数叫做排列的一列数叫做数列数列注：数列中的每一个数都叫做这个数列的注：数列中的每一个数都叫做这个数列的项项，各项依次，各项依次叫做这个数列的第叫做这个数列的第1项（或项（或首项首项
28、），第），第2项，项，第，第n项项.我们常把数列的一般形式写成我们常把数列的一般形式写成 a1，a2，a3，an，.(nN*)简记作简记作an。例如：若用例如：若用an来表示来表示“2，1，3”这个数列，则这个数列，则a2=_；1思考思考2：能不能把数列：能不能把数列“2，1，3”记为记为2，1，3？不行，不行，2，1，3是一个集合，集合中的元素是是一个集合，集合中的元素是没有顺序的没有顺序的一、数列的概念：一、数列的概念：按按一定次序一定次序排列的一列数叫做排列的一列数叫做数列数列注：数列中的每一个数都叫做这个数列的注：数列中的每一个数都叫做这个数列的项项，各项依次，各项依次叫做这个数列的第
29、叫做这个数列的第1项（或项（或首项首项），第），第2项，项，第，第n项项.我们常把数列的一般形式写成我们常把数列的一般形式写成 a1，a2，a3，an，.(nN*)简记作简记作an。思考思考3：an 与与an的意思一样吗？的意思一样吗？an表示一个数列：表示一个数列：a1，a2，a3，an，.an表示数列表示数列an中的第中的第n项项各项都相等的数列各项都相等的数列从第从第2项起，有些项大于它的前一项，项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列有些项小于它的前一项的数列二、数列的分类：二、数列的分类：1、以项数来分类：、以项数来分类：（1）有穷数列：）有穷数列：（2）无穷数列：）无
30、穷数列：2、以各项的大小关系来分类：、以各项的大小关系来分类：（1）递增数列：）递增数列：（2）递减数列：）递减数列：（3）常）常 数数 列：列：（4）摆动数列：）摆动数列：项数有限的数列项数有限的数列项数无限的数列项数无限的数列对任意对任意nN*，总有，总有an+1an(或或an+1-an0)对任意对任意nN*，总有，总有an+1an(或或an+1-anan(或或an+1-an0)对任意对任意nN*，总有，总有an+1an(或或an+1-an0 an是个递增数列是个递增数列五、数列与函数的关系：五、数列与函数的关系：注意，在数列注意，在数列an中中项：项：a1，a2，a3，an，.序号：序号
31、：1，2，3，n，从函数的观点看，数列可以看成以正整数集从函数的观点看，数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集（或它的有限子集1，2，n）为定义域的函数）为定义域的函数an=f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值所对应的一列函数值.数列的其他表示方法：数列的其他表示方法：如：数列如：数列2，4，6，2n，列表法，图象法列表法，图象法例例4、下图中的三角形称为谢宾斯基三角形，在下图、下图中的三角形称为谢宾斯基三角形，在下图4个个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请
32、写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象系中画出它的图象.（1）（2）（3）（4）思考：如果一个数列思考：如果一个数列an的首项的首项a1=1，从第，从第2项起每一项项起每一项都等于它的前一项的都等于它的前一项的2倍再加倍再加1，即，即 an=2an-1+1(n2)则该数列的第则该数列的第5项是什么？项是什么？已知数列已知数列an的第的第1项（或前几项），且任意一项项（或前几项），且任意一项an与前一项与前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的来表示，那么这个公
33、式叫做数列的递推公式递推公式练习：试写出数列练习：试写出数列1，3，6，10，的一个递推公式。的一个递推公式。解：解：a1=1练习：写出下列数列练习：写出下列数列an的前的前5项项（1）a1=5，an=an-1+3 (n2)；（2）a1=2，an=2an-1 (n2)；思考：你能否利用上面两题的条件求出数列思考：你能否利用上面两题的条件求出数列an的的 通项公式？通项公式？（1）5，8，11，14，17（2）2，4，8，16，32二二.数列的分类：数列的分类：1.以项数来分类：以项数来分类：（1）有穷数列：）有穷数列：（2）无穷数列：）无穷数列：2.以各项的大小关系来分类：以各项的大小关系来分
34、类：（1）递增数列：）递增数列：（2）递减数列：）递减数列：（3）常）常 数数 列：列：（4）摆动数列：）摆动数列：项数有限的数列项数有限的数列项数无限的数列项数无限的数列从第从第2项起，每一项都大于它的前一项项起，每一项都大于它的前一项的数列的数列从第从第2项起，每一项都小于它的前一项项起，每一项都小于它的前一项的数列的数列各项都相等的数列各项都相等的数列从第从第2项起，有些项大于它的前一项，项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列有些项小于它的前一项的数列(an+1an，nN*)(an+11,nN*）,试写出这个数列的前四项.【解析】a1=2,an=2+（n1,nN*），a2
35、=2+a3=2+a4=2+n 11an 11a115a2，2112,a53129.a12自主学习 新知突破等差数列的定义2前一项同一常数常数公差d数列等差中项等差等差数列的通项公式递推公式通项公式_d(n2)an_anan1a1(n1)d合作探究 课堂互动 等差数列的通项公式等差中项等差数列的判定方法符号语言结论定义法anan1d(常数)(n2且nN*)an是等差数列等差中项法2anan1an1(n2且nN*)高效测评 知能提升 谢谢观看！谢谢观看！课前自主预习课前自主预习 课堂典例讲练课堂典例讲练 名师辨误做答名师辨误做答课后强化作业课后强化作业 课前自主预习课前自主预习温温 故故 知知 新
36、新新新 课课 引引 入入自自 主主 预预 习习课堂典例讲练课堂典例讲练 思路方法技巧思路方法技巧建模应用引路建模应用引路探索延拓创新探索延拓创新名师辨误做答名师辨误做答课后强化作业课后强化作业（点此链接）（点此链接）自主学习 新知突破等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn_Sn_答案：D合作探究 课堂互动 与前n项和有关的基本量的运算与前n项和有关的最值问题求数列|an|的前n项和高效测评 知能提升 谢谢观看！谢谢观看！已知Sn求通项公式an【名师指津】数列前n项和Sn与通项公式an的关系.已知数列an的通项公式an就可以求数列an的前n项和Sn；反过来，若已
37、知数列an的前n项和Sn也可以求数列an的通项公式an.Sn=a1+a2+a3+an,Sn-1=a1+a2+a3+an-1(n2),在n2的条件下，把上面两式相减可得：an=Sn-Sn-1(n2)，当n=1时，a1=S1，所以an=1nn 1S(n1).SSn2【特别提醒】an=Sn-Sn-1只对n2的正整数成立.由Sn求通项公式an时，要分n=1和n2两种情形，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示.【例1】已知数列an的前n项和为Sn，且当nN*时满足Sn=-3n2+6n，求数列an的通项公式an.【审题指导】题目中给出了数列的前n项和Sn的表达式，欲求此数列
38、an的通项公式an，可利用an=Sn-Sn-1（n2)，然后再验证当n=1时是否成立，可否用统一解析式表示，即可求解.【规范解答】当n=1时，a1=S1=3,当n2时，an=Sn-Sn-1=(-3n2+6n)-3(n-1)2+6(n-1)=9-6n，a1=3符合此式.an=9-6n(nN*).【互动探究】若本例中“Sn=-3n2+6n”改为“Sn=-3n2+6n+1”,其他条件不变，又如何求通项公式an呢？【解题提示】利用an与Sn的关系，即an=Sn-Sn-1(n2)求解即可,注意验证n=1时是否成立.【解析】当n=1时，a1=S1=4.当n2时，an=Sn-Sn-1=（-3n2+6n+1）
39、-3（n-1）2+6(n-1)+1=9-6n,a1=4不符合此式.故an=4(n1).96n(n2)求数列an的前n项和【名师指津】求数列an的前n项和的方法策略.等差数列各项取绝对值后组成的数列an的前n项和，可分为以下情形：(1)等差数列an的各项都为非负数，这种情形中数列an就等于数列an，可以直接求解.(2)等差数列an中，a10,d0，这种数列只有前边有限项为非负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列an分成两段处理.(3)等差数列an中，a10,这种数列只有前边有限项为负数,其余都为非负数，同样可以把数列分成两段处理.总之，解决此类问题的关键是找到数列an的正负界点.【特别提醒
40、】对于含有正、负项的等差数列an，一定要明确从哪项开始为正或从哪项开始为负.【例2】已知等差数列an中，S2=16，S4=24，求数列an的前n项和An.【审题指导】题目中给出的数列an是等差数列，且S2=16，S4=24，由此可先求得首项和公差，即可得通项公式an，欲求数列an的前n项和An，关键是先判断出an中哪些项是负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和.【规范解答】设等差数列an的首项为a1，公差为d,由已知列方程组解得a1=9，d=-2，an=11-2n.令an0，得11-2n5.5.设Sn表示数列an的前n项和，当n5时，an0，An=Sn=-n2+10n；112 12ad162,
41、4 34ad242当n6时，an0，An=a1+a2+a3+a4+a5-a6-a7-an=a1+a2+a3+a4+a5-(a6+a7+an)=2(a1+a2+a3+a4+a5)-(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+an)=2S5-Sn=2(-52+50)-(-n2+10n)=n2-10n+50An=22n10n,n5.n10n50,n6【变式训练】在等差数列an中,a1=-60,a17=-12,求数列|an|的前n项和.【解题提示】由a1=-60，a17=-12，可先求得公差d，分清哪些项是负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和.【解析】设数列an的公差为d，则d=3,an=a1+(n
42、-1)d=-60+(n-1)3=3n-63.由an0,得3n-630，即n21.当n=21时，a21=0.数列an的前20项是负数，第20项以后的项都为非负数.1711260aa17 116 设Sn,Sn分别表示数列an和|an|的前n项之和，当n20时，Sn=|a1|+|a2|+|an|=-a1-a2-an=-Sn=-60n+3=当n20时，Sn=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20=-60n+3-2(-6020+3)n n1223123nn;22n n1220 19223123nn1260.22数列|an|的前n项和Sn=223123nn,n2022.3123nn1260,n2022
43、 等差数列在实际问题中的应用【名师指津】利用等差数列的知识解决实际问题的方法策略.利用转化思想将实际应用题转化为等差数列求和问题.对于此类有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出实际答案，一般可从以下几步考虑：【例】从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售.4月1日该款服装售出10件，第二天售出25件，第三天售出40件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12日日销售量达到最大，然后，每天售出的件数分别递减10件.(1)记从4月1日起该款服装日销售量为an,销售天数为n,1n30,求an与n的关系；(2)求4月份该款服装的总销售量；(3)按规律，当该商
44、场销售此服装超过1 200件时，社会上就开始流行，当此服装的销售量连续下降，且日销售量低于100件时，则此服装在社会上不再流行.试问：该款服装在社会上流行的时间是否超过10天？说明理由.【审题指导】由题意分析可知，求总销售量问题可转化为等差数列求和问题，总体解题思路可归结为以下形式：【规范解答】(1)设从4月1日起该款服装的日销售量构成数列an.由题意知，数列a1,a2,a12是首项为10，公差为15的等差数列，an=15n-5(1n12且nN*).而a13,a14,a15，,a30是首项为a13=a12-10=165,公差为-10的等差数列，an=165+(n-13)(-10)=-10n+2
45、95(13n30且nN*).an=15n5,1n12nN*.10n295,13n30nN*且且(2)4月份该款服装的总销售量为 +18a13+=2 550(件).(3)4月1日至4月12日的销售总量为 =1 1101 200,4月12日前该款服装在社会上还没有流行.由-10n+295 第20天该款服装在社会上不再流行.该款服装在社会上流行没有超过10天.11212 aa2 30 1230 12 1102 1210 17518 171018 16522 11212 aa1210 1752239,2【变式备选】一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速10 km/h开始，每隔2 s速度提高2
46、0 km/h，如果测试时间是30 s，测试距离是多长？【解析】由于每隔2 s速度提高20 km/h，所以该赛车在每个2 s内的速度构成等差数列an且a1=10,d=20.如果测试时间是30 s，则最后一个2 s内的速度是a15，测试距离S=(a1+a2+a15)=(1510+20)=1.25(km).答：若测试时间是30 s，则测试距离为1.25 km.1180015 14211800【典例】(12分)有两个等差数列an，bn，其前n项和分别为Sn和Tn，若 求【审题指导】由题目可知两个数列都为等差数列以及其前n项和Sn和Tn的比值，欲求 的值，可充分利用等差数列前n项和公式及等差中项的关系转
47、化为 的关系.nnS7n2Tn3，55a.b55abnnST【规范解答】方法一：3分 6分 9分 12分5555a2ab2b191919199 aaaa29 bbbb299S7 92T93 65.12方法二：因为 3分所以设Sn=(7n+2)kn，Tn=(n+3)kn,k0,6分a5=S5-S4=65k,b5=T5-T4=12k,9分 12分nnS7n2Tn3，55a65k65.b12k12【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】有两个等差数列an，bn，其前n项和分别为Sn和Tn，若 求【解析】由等差数列的性质得nnS2nT3n1，2517228101216aaaa.bb
48、bb25172212111112810121612111112aaaa2a2aaabbbb2b2bbb1221222212212222aa22aaS2 22442.bbbbT3 22 1672221.设数列an的前n项和Sn=n2，则a8的值为()(A)15 (B)16 (C)49 (D)64【解析】选A.a8=S8-S7=64-49=15.2.已知数列an 为等差数列，a1=35,d=-2,Sn=0,则n等于()(A)33 (B)34 (C)35 (D)36【解析】选D.Sn=na1+=0,35n-n(n-1)=0,得n=36.n n1d23.数列an为等差数列，an=11,d=2,Sn=3
49、5,则a1等于()(A)5或7 (B)3或5(C)7或-1 (D)3或-1【解析】选D.由已知得 从而a1=3或a1=-1.11ad n111n n1nad352，4.设等差数列an的前n项和为Sn,a2+a4=6，则S5=_.【解析】S5=15.答案：1524155 aa5 aa5 6222（）5.两个等差数列an和bn的前n项和分别是Sn，Tn，若 求 的值.【解析】方法一：方法二：因为 所以设Sn=(2n+3)kn，Tn=(3n-1)kn，k0,a9=S9-S8=37k.b9=T9-T8=50k.nnS2n3T3n1，99ab117991171179911717 aaa2aaa217(bbb2bbb2）1717S2 17337.T3 17 150nnS2n3T3n1，99a37k37.b50k50
