1、2021 年全国高考甲卷数学（理）试题 1. 设集合 1 04 ,5 3 MxxNxx ，则MN （） A. 1 0 3 xx B. 1 4 3 xx C.45xxD.05xx 【答案】B 【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解. 2. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得 到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（） A. 该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 6% B. 该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为 10% C. 估
2、计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元 D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间 【答案】C 3. 已知 2 (1)32izi，则z （） A. 3 1 2 i B. 3 1 2 i C. 3 2 iD. 3 2 i 【答案】B 4. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录 视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足5lgLV已知某同学视力的五分记录法 的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据为（） （1010 1.259 ） A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.6
3、【答案】C 5. 已知 12 ,F F是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且 1212 60 ,3FPFPFPF，则C的离心率为 （） A. 7 2 B. 13 2 C. 7 D. 13 【答案】A 6. 在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G该正方体截去三棱锥A EFG后，所得多 面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ） A.B.C.D. 【答案】D 7. 等比数列 n a的公比为q，前n项和为 n S，设甲：0q ，乙： n S是递增数列，则（） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是
4、乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 8. 2020 年 12 月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86（单位：m） ，三角高程测量 法是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同 一水平面上的投影,A B C 满足 45AC B ，60A BC 由C点测得B点的仰角为15， BB 与 CC 的差为 100；由B点测得A点的仰角为45，则A，C两点到水平面ABC 的高度差AACC约为 （ 31.732 ） （） A. 346B. 373C. 446D. 473 【答案】B 9. 若 cos 0,tan2 22si
5、n ，则tan（） A. 15 15 B. 5 5 C. 5 3 D. 15 3 【答案】A 10. 将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为（） A. 1 3 B. 2 5 C. 2 3 D. 4 5 【答案】C 11. 已如A，B，C是半径为 1 的球O的球面上的三个点，且,1ACBC ACBC，则三棱锥OABC 的体积为（） A. 2 12 B. 3 12 C. 2 4 D. 3 4 【答案】A 12. 设函数 fx的定义域为 R R，1f x为奇函数，2f x为偶函数，当1,2x时， 2 ( )f xaxb若 036ff，则 9 2 f （） A.
6、9 4 B. 3 2 C. 7 4 D. 5 2 【答案】D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 13. 曲线 21 2 x y x 在点 1, 3 处的切线方程为_ 【答案】520 xy 14. 已知向量3,1 ,1,0 ,abcakb 若a c ，则k _ 【答案】 10 3 . 15. 已知 12 ,F F为椭圆C： 22 1 164 xy 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点， 且 12 PQFF， 则四边形 12 PFQF的面积为_ 【答案】8 16. 已知函数 2cos()f xx的部分图像如图所示
7、，则满足条件 74 ( )( )0 43 f xff xf 的最小正整数x为_ 【答案】2 三三、解答题解答题：共共 7070 分分解答应写出交字说明解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤，第第 17172121 题为必考题题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分 17. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分 别用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表： 一
8、级品二级品合计 甲机床15050200 乙机床12080200 合计270130400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少? （2）能否有 99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异? 附： 2 2 () ()()()() n adbc K a b c d a c b d 2 P Kk0.0500.0100.001 k3.8416.63510.828 【详解】 （1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为 150 75% 200 , 乙机床生产的产品中的一级品的频率为 120 60% 200 . （2） 2 2 400 150 80 120 50400 106.6
9、35 270 130 200 20039 K , 故能有 99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异. 18. 已知数列 n a的各项均为正数，记 n S为 n a的前n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另 外一个成立 数列 n a是等差数列：数列 n S是等差数列； 21 3aa 【详解】选作条件证明： 设(0) n Sanb a，则 2 n Sanb， 当1n 时， 2 11 aSab； 当2n 时， 22 1nnn aSSanbanab 22aanab； 因为 n a也是等差数列，所以 2 22abaaab，解得0b ； 所以 2 21 n aan，所以 21 3aa. 选作
10、条件证明： 因为 21 3aa， n a是等差数列， 所以公差 211 2daaa， 所以 2 11 1 2 n n n Snadn a ，即 1n Sa n， 因为 1111 1 nn SSana na ， 所以 n S是等差数列. 选作条件证明： 设(0) n Sanb a，则 2 n Sanb， 当1n 时， 2 11 aSab； 当2n 时， 22 1nnn aSSanbanab 22aanab； 因为 21 3aa，所以 2 323aabab，解得0b 或 4 3 a b ； 当0b 时， 22 1 ,21 n aaaan，当2n 时， 2 -1 -2 nn a aa满足等差数列的定
11、义，此时 n a为等差 数列； 当 4 3 a b 时， 4 = 3 n Sanb ana， 1 0 3 a S 不合题意，舍去. 综上可知 n a为等差数列. 19. 已知直三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 AAB B为正方形，2ABBC，E，F分别为AC和 1 CC的中 点，D为棱 11 AB上的点 11 BFAB （1）证明：BFDE； （2）当 1 B D为何值时，面 11 BBCC与面DFE所成的二面角的正弦值最小? 【详解】因为三棱柱 111 ABCABC是直三棱柱，所以 1 BB 底面ABC，所以 1 BBAB 因为 11/ A BAB， 11 BFAB，所以BF AB
12、， 又 1 BBBFB，所以AB 平面 11 BCC B 所以 1 ,BA BC BB两两垂直 以B为坐标原点，分别以 1 ,BA BC BB所在直线为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系，如图 所以 111 0,0,0 ,2,0,0 ,0,2,0 ,0,0,2 ,2,0,2 ,0,2,2BACBAC， 1,1,0 ,0,2,1EF 由题设,0,2D a（02a） （1）因为0,2,1 ,1,1, 2BFDEa ， 所以012 1 120BF DEa ，所以BFDE （2）设平面DFE的法向量为 , ,mx y z ， 因为1,1,1 ,1,1, 2EFDEa ， 所以 0 0 m EF m
13、 DE ，即 0 120 xyz a xyz 令2za，则3,1,2maa 因为平面 11 BCC B的法向量为 2,0,0BA ， 设平面 11 BCC B与平面DEF的二面角的平面角为， 则 22 63 cos 222142214 m BA mBA aaaa 当 1 2 a 时， 2 224aa 取最小值为 27 2 ， 此时cos取最大值为 36 327 2 所以 2 min 63 sin1 33 ， 此时 1 1 2 B D 20. 抛物线C的顶点为坐标原点O焦点在x轴上，直线l：1x 交C于P，Q两点，且OPOQ已知 点2,0M，且M与l相切 （1）求C，M的方程； （2）设 123
14、 ,A A A是C上的三个点，直线 12 A A， 13 A A均与M相切判断直线 23 A A与M的位置关系， 并说明理由 【详解】 （1）依题意设抛物线 2 00 :2(0), (1,),(1,)C ypx pPyQy， 2 0 ,1120,21OPOQOP OQypp ， 所以抛物线C的方程为 2 yx， (0,2),MM与1x 相切，所以半径为1， 所以M的方程为 22 (2)1xy； （2）设 111222333 (),(,),(,)A x yA xyA xy 若 12 A A斜率不存在，则 12 A A方程为1x 或3x ， 若 12 A A方程为1x ，根据对称性不妨设 1(1,
15、1) A， 则过 1 A与圆M相切的另一条直线方程为1y ， 此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 3 A，不合题意； 若 12 A A方程为3x ，根据对称性不妨设 12 (3, 3),(3,3),AA 则过 1 A与圆M相切的直线 13 A A为 3 3(3) 3 yx ， 又 1 3 13 3 1313 3 113 ,0 33 A A yy ky xxyyy ， 33 0,(0,0)xA，此时直线 1323 ,A A A A关于x轴对称， 所以直线 23 A A与圆M相切； 若直线 121323 ,A A A A A A斜率均存在， 则 1 21 323 121323 111 , A
16、 AA AA A kkk yyyyyy ， 所以直线 12 A A方程为 11 12 1 yyxx yy ， 整理得 1212 ()0 xyyyy y， 同理直线 13 A A的方程为 1313 ()0 xyyyy y， 直线 23 A A的方程为 2323 ()0 xyyyy y， 12 A A与圆M相切， 12 2 12 |2| 1 1() y y yy 整理得 222 12121 (1)230yyy yy ， 13 A A与圆M相切，同理 222 13131 (1)230yyy yy 所以 23 ,yy为方程 222 111 (1)230yyy yy 的两根， 2 11 2323 22
17、11 23 , 11 yy yyyy yy ， M到直线 23 A A的距离为： 2 1 2 231 2 2 1 23 2 1 3 |2| |2|1 2 1() 1() 1 y y yy y yy y 22 11 2 222 1 11 |1|1 1 1 (1)4 yy y yy ， 所以直线 23 A A与圆M相切； 综上若直线 1213 ,A A A A与圆M相切，则直线 23 A A与圆M相切. 21. 已知0a 且1a ，函数( )(0) a x x f xx a （1）当2a 时，求 fx的单调区间； （2）若曲线 yf x与直线1y 有且仅有两个交点，求a的取值范围 【详解】 （1）
18、当2a 时， 22 2 22ln2222 ln2 , 24 2 x xx xx x xxxxx f xfx , 令 0fx 得 2 ln2 x ,当 2 0 ln2 x时， 0fx,当 2 ln2 x 时， 0fx, 函数 f x在 2 0, ln2 上单调递增； 2 , ln2 上单调递减； （2） lnln 1lnln a xa x xxa f xaxxaax axa ,设函数 ln x g x x , 则 2 1 ln x gx x ,令 0gx，得xe, 在0,e内 0gx , g x单调递增； 在, e 上 0gx , g x单调递减； 1 max g xg e e , 又 10g，
19、当x趋近于时， g x趋近于 0， 所以曲线 yf x与直线1y 有且仅有两个交点，即曲线 yg x与直线 ln a y a 有两个交点的充分必 要条件是 ln1 0 a ae ,这即是 0g ag e, 所以a的取值范围是1,ee. （二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分请考生在第分请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分 选修选修 4-44-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 （1010 分）分） 22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程
20、为 2 2cos （1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点A的直角坐标为1,0，M为C上的动点，点P满足 2APAM ，写出的轨迹 1 C的参数方程， 并判断C与 1 C是否有公共点 【详解】 （1）由曲线 C 的极坐标方程2 2cos可得 2 2 2 cos， 将cos ,sinxy代入可得 22 2 2xyx，即 2 2 22xy， 即曲线C的直角坐标方程为 2 2 22xy； （2）设,P x y，设22cos ,2sinM 2APAM ， 1,222cos1,2sin22cos2,2sinxy， 则 122cos2 2sin x y ，即 322cos 2sin x y ，
21、 故P的轨迹 1 C的参数方程为 322cos 2sin x y （为参数） 曲线C的圆心为 2,0，半径为 2，曲线1 C的圆心为 32,0，半径为 2， 则圆心距为3 2 2 ， 32 222 ，两圆内含， 故曲线C与 1 C没有公共点. 选修选修 4-54-5：不等式选讲：不等式选讲 （1010 分）分） 23. 已知函数( )2 , ( )2321f xxg xxx （1）画出 yf x和 yg x的图像； （2）若 f xag x，求a的取值范围 【详解】 （1）可得 2,2 ( )2 2,2 x x f xx xx ，画出图像如下： 3 4, 2 31 ( )232142, 22 1 4, 2 x g xxxxx x ，画出函数图像如下： （2）() |2|f xaxa， 如图，在同一个坐标系里画出 ,f xg x图像， yf xa是 yf x平移了a个单位得到， 则要使()( )f xag x，需将 yf x向左平移，即0a ， 当yf xa过 1 ,4 2 A 时， 1 |2| 4 2 a，解得 11 2 a 或 5 2 （舍去） ， 则数形结合可得需至少将 yf x向左平移 11 2 个单位， 11 2 a.
