2021年各地高考数学真题7份（及答案）.zip

20212021 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学数学 一一 选择题：本题共选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. . 1. 设集合，则（ ） 24Axx 2,3,4,5B AB A. B. C. D. 22,33,42,3,4 【答案】B 2. 已知，则（ ） 2iz iz z A. B. C. D. 62i42i62i42i 【答案】C 3. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） 2 A. B. C. D. 22 244 2 【答案】B 4. 下列区间中，函数单调递增的区间是（ ） 7sin 6 f xx A. B. C. D. 0, 2 , 2 3 , 2 3 ,2 2 【答案】A 5. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） 1 F 2 F C 22 1 94 xy MC 12 MFMF A. 13B. 12C. 9D. 6 【答案】C 6. 若，则（ ） tan2 sin1 sin2 sincos A. B. C. D. 6 5 2 5 2 5 6 5 【答案】C 7. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） , a b exy A. B. ebaeab C. D. 0eba0eab 【答案】D 8. 有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球，甲表 示事件“第一次取出的球的数字是 1” ，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2” ，丙表示事件“两次取 出的球的数字之和是 8” ，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7” ，则（ ） A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立 【答案】B 二二 选择题：本题共选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求要求. .全部选对的得全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分. . 9. 有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中( 1 x 2 x n x 1 y 2 y n y ii yxc 为非零常数，则（ ） 1,2, ),in c A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同 C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样数据的样本极差相同 【答案】CD 【解析】 【分析】A、C 利用两组数据的线性关系有、，即可判断正误；根据中位数、 ( )( )E yE xc( )( )D yD x 极差的定义，结合已知线性关系可判断 B、D 的正误. 【详解】A：且，故平均数不相同，错误； ( )()( )E yE xcE xc 0c B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误； i x ii yxc C：，故方差相同，正确； ( )( )( )( )D yD xD cD x D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为 maxmin xx ，故极差相同，正确； maxminmaxminmaxmin ()()yyxcxcxx 故选：CD 10. 已知为坐标原点，点， O 1 cos ,sinP 2 cos, sinP 3 cos,sinP ，则（ ） ()1,0A A. B. 12 OPOP 12 APAP C. D. 3 12 OA OPOP OP 123 OA OPOP OP 【答案】AC 【解析】 【分析】A、B 写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D 根据向量 1 OP 2 OP 1 AP uuu r 2 AP uuu r 的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A：，所以， 1 (cos,sin)OP 2 (cos, sin)OP 22 1 |cossin1OP ，故，正确； 22 2 |(cos)( sin)1OP 12 | |OPOP B：，所以 1 (cos1,sin)AP 2 (cos1, sin)AP 22222 1 |(cos1)sincos2cos1 sin2(1 cos)4sin2|sin| 22 AP ，同理，故不一定相等，错误； 22 2 |(cos1)sin2|sin| 2 AP 12 |,|APAP C：由题意得：， 3 1 cos()0 sin()cos()OA OP ，正确； 12 coscossin( sin)cos()OP OP D：由题意得：， 1 1 cos0 sincosOA OP 23 coscos()( sin) sin()OP OP 22 coscossinsincossinsincoscossin ，错误； coscos2sinsin2cos(2 ) 故选：AC 11. 已知点在圆上，点、，则（ ） P 22 5516xy4,0A0,2B A. 点到直线的距离小于 PAB10 B. 点到直线的距离大于 PAB2 C. 当最小时， PBA 3 2PB D. 当最大时， PBA 3 2PB 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断 AB 选项的正 ABPAB 误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断 CD 选项的正误. PBAPBM 【详解】圆的圆心为，半径为， 22 5516xy5,5M 4 直线的方程为，即， AB 1 42 xy 240 xy 圆心到直线的距离为， MAB 22 52 541111 5 4 55 12 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A 选项正确，B 选项错 PAB 11 5 42 5 11 5 410 5 误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， PBAPBMMPBMPMPB ，由勾股定理可得，CD 选 22 052534BM 4MP 22 3 2BPBMMP 项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：若直线 与半径为 的圆 相离，圆心到直线 的距离为，则圆上一点到直 lrCCldCP 线 的距离的取值范围是. l ,dr dr 12. 在正三棱柱中，点满足，其中， 111 ABCABC 1 1ABAA P 1 BPBCBB 0,1 ，则（ ） 0,1 A. 当时，的周长为定值 1 1 AB P B. 当时，三棱锥的体积为定值 1 1 PABC C. 当时，有且仅有一个点，使得 1 2 P 1 APBP D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 1 2 P 1 AB 1 AB P 【答案】BD 【解析】 【分析】对于 A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标； 对于 B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值； P 对于 C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数； PP 对于 D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数 PP 【详解】 易知，点在矩形内部（含边界） P 11 BCC B 对于 A，当时，即此时线段，周长不是定值，故 A 111 =BPBCBBBCCC P1 CC 1 AB P 错误； 对于 B，当时，故此时点轨迹为线段，而， 1 1111 =BPBCBBBBBC P 11 BC 11/ BCBC 平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故 B 正确 11/ BC 1 ABC P 1 ABC 对于 C，当时，取，中点分别为，则，所 1 2 1 1 2 BPBCBB BC11 BCQ H BPBQQH 以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图， P QH 1 3 ,0,1 2 A 0,0P, ，则，所以或故 1 0,0 2 B 1 3 ,0,1 2 AP 1 0, 2 BP 10 01 均满足，故 C 错误； ,H Q 对于 D，当时，取，中点为，所以点 1 2 1 1 2 BPBCBB 1 BB 1 CC,M N BPBMMN P 轨迹为线段设，因为，所以， MN 0 1 0, 2 Py 3 0,0 2 A ， 0 31 , 22 APy ，所以，此时与重合，故 D 正确 1 3 1 , 1 22 AB 00 3111 0 4222 yy PN 故选：BD 【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内 三三 填空题：本题共填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13. 已知函数是偶函数，则_. 3 22 xx xaf x a 【答案】1 【解析】 【分析】利用偶函数的定义可求参数的值. a 【详解】因为，故， 3 22 xx xaf x 3 22 xx fxxa 因为为偶函数，故， f x fxf x 时，整理得到， 33 2222 xxxx xaxa 12 +2=0 xx a 故， 1a 故答案为：1 14. 已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直， OC 2 2ypx0p FPCPFx 为轴上一点，且，若，则的准线方程为_. Q x PQOP 6FQ C 【答案】 3 2 x 【解析】 【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果. PQ，p 【详解】不妨设 (, )(6,0),(6,) 22 pp PpQPQp uuu r 因为，所以的准线方程为 PQOP 2 6003 2 p ppp Q C 3 2 x 故答案为： 3 2 x 【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键. 15. 函数的最小值为_. 212lnf xxx 【答案】1 【解析】 【分析】由解析式知定义域为，讨论、，并结合导数研究的单调 ( )f x(0,) 1 0 2 x 1 1 2 x 1x 性，即可求最小值. ( )f x 【详解】由题设知：定义域为， ( ) |21| 2lnf xxx(0,) 当时，此时单调递减； 1 0 2 x ( )1 22lnf xxx ( )f x 当时，有，此时单调递减； 1 1 2 x ( )21 2lnf xxx 2 ( )20fx x ( )f x 当时，有，此时单调递增； 1x ( )21 2lnf xxx 2 ( )20fx x ( )f x 又在各分段的界点处连续， ( )f x 综上有：时，单调递减，时，单调递增； 01x ( )f x 1x ( )f x ( )(1)1f xf 故答案为：1. 16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 的长方形纸，对折 1 次共可以得到，两种规格的图形，它们的 20dm 12dm10dm 12dm20dm 6dm 面积之和，对折 2 次共可以得到，三种规格的图形， 2 1 240dmS 5dm 12dm10dm 6dm20dm 3dm 它们的面积之和，以此类推，则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为_；如果对 2 2 180dmS 折次，那么_. n1 n k k S 2 dm 【答案】 (1). 5 (2). 4 15 3 720 2n n 【解析】 【分析】 （1）按对折列举即可；（2）根据规律可得，再根据错位相减法得结果. n S 【详解】 （1）对折次可得到如下规格：， 4 5 12 4 dmdm 5 6 2 dmdm 53dmdm 3 10 2 dmdm ，共种； 3 20 4 dmdm 5 （2）由题意可得， 1 2 120S 2 3 60S 3 4 30S 4 5 15S 1 1201 2 n n n S 设， 0121 1201120 2120 3120 4 2222n n S L 则， 121 12011120 2120 3120 22222 nn nn S 两式作差得 1 21 1 60 1 120112011111 2 240 120240 1 222222 1 2 n nnn nn S ， 1 12011203120 360360 222 nnn nn 因此，. 4 2403153 720720 22 nn nn S 故答案为：；. 5 4 153 720 2n n 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； nn a b n a n b （3）对于结构，利用分组求和法； nn ab （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂 1 1 nn a a n a0d d 11 1111 nnnn a adaa 项相消法求和. 四四 解答题：本题共解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. . 17. 已知数列满足， n a 1 1a 1 1, 2,. n n n an a an 为奇数 为偶数 （1）记，写出，并求数列的通项公式； 2nn ba 1 b 2 b n b （2）求的前 20 项和. n a 【答案】 （1）；（2）. 12 2,5bb 300 【解析】 【分析】 （1）根据题设中的递推关系可得，从而可求的通项. 1 3 nn bb n b （2）根据题设中的递推关系可得的前项和为可化为，利用 n a 2020 S 2012910 210Sbbbb （1）的结果可求. 20 S 【详解】 （1）由题设可得 1212432 12,12 15baabaaa 又， 2221 1 kk aa 212 2 kk aa 故即即 222 3 kk aa 1 3 nn bb 1 3 nn bb 所以为等差数列，故. n b21331 n bnn （2）设的前项和为，则， n a 2020 S 2012320 Saaaa 因为， 12341920 1,1,1aaaaaa 所以 20241820 210Saaaa . 12910 9 10 210210 2310300 2 bbbb 【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项 的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题. 18. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一 类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽 取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分：B类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分，己知小明能正确回答A类问题的概率为 0.8，能正确回答B类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； XX （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 【答案】 （1）见解析；（2）类 B 【解析】 【分析】 （1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可 （2）与（1） X 类似，找出先回答类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可 B 【详解】 （1）由题可知，的所有可能取值为， X020100 ； 01 0.80.2P X ； 200.8 1 0.60.32P X 1000.8 0.60.48P X 所以的分布列为 X X020100 P0.20.320.48 （2）由（1）知， 0 0.220 0.32 100 0.4854.4E X 若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为， BYY080100 ； 01 0.60.4P Y ； 800.6 1 0.80.12P Y 1000.8 0.60.48P X 所以 0 0.480 0.12 100 0.4857.6E Y 因为，所以小明应选择先回答类问题 54.457.6 B 19. 记是内角，的对边分别为，.已知，点在边上， ABCABCabc 2 bacDAC . sinsinBDABCaC （1）证明：； BDb （2）若，求 . 2ADDCcosABC 【答案】 （1）证明见解析；（2）. 7 cos 12 ABC 【解析】 【分析】 （1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论. ac BD b （2）由题设，应用余弦定理求、，又 2 , 33 bb BDb ADDC cosADBcosCDB ，可得，结合已知及余弦定理即可求. ADBCDB 42 2 2 11 2 3 bb a a cosABC 【详解】 （1）由题设，由正弦定理知：，即， sin sin aC BD ABC sinsin cb CABC sin sin Cc ABCb ，又， ac BD b 2 bac ，得证. BDb （2）由题意知：， 2 , 33 bb BDb ADDC ，同理， 22 222 2 413 99 cos 2 4 2 3 3 bb bcc ADB b b b 22 222 2 10 99 cos 2 2 3 3 bb baa CDB b b b ， ADBCDB ，整理得，又， 22 22 22 1310 99 42 33 bb ca bb 2 22 11 2 3 b ac 2 bac ，整理得，解得或， 42 2 2 11 2 3 bb a a 4224 61130aa bb 2 2 1 3 a b 2 2 3 2 a b 由余弦定理知：， 2222 2 4 cos 232 acba ABC acb 当时，不合题意；当时，； 2 2 1 3 a b 7 cos1 6 ABC 2 2 3 2 a b 7 cos 12 ABC 综上，. 7 cos 12 ABC 【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及得到的数量关系，结合已知条 ADBCDB , ,a b c 件及余弦定理求. cosABC 20. 如图，在三棱锥中，平面平面，为的中点. ABCDABD BCDABADOBD （1）证明：； OACD （2）若是边长为 1 的等边三角形，点在棱上，且二面角的大小 OCDEAD2DEEAEBCD 为，求三棱锥的体积. 45ABCD 【答案】(1)详见解析(2) 3 6 【解析】 【分析】 （1）根据面面垂直性质定理得 AO平面 BCD，即可证得结果； （2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果. 【详解】 （1）因为 AB=AD,O 为 BD 中点，所以 AOBD 因为平面 ABD平面 BCD,平面 ABD平面 BCD，平面 ABD， =BDAO 因此 AO平面 BCD， 因为平面 BCD，所以 AOCD CD (2)作 EFBD 于 F, 作 FMBC 于 M,连 FM 因为 AO平面 BCD，所以 AOBD, AOCD 所以 EFBD, EFCD, ,因此 EF平面 BCD，即 EFBC BDCDD 因为 FMBC，,所以 BC平面 EFM，即 BCMF FMEFFI 则为二面角 E-BC-D 的平面角, EMF4 EMF 因为,为正三角形,所以为直角三角形 BOODOCDOCD 因为, 2BEED 1112 (1) 2233 FMBF 从而 EF=FM= 2 1 3 AO 平面 BCD, AO Q 所以 1113 113 3326 BCD VAO S 【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法. 21. 在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为. xOy 1 17,0F 212 17,02FMFMF MC （1）求的方程； C （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且 T 1 2 x TCABP Q ，求直线的斜率与直线的斜率之和. TA TBTP TQ AB PQ 【答案】 （1）；（2）. 2 2 11 16 y xx 0 【解析】 【分析】 （1）利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值， C1 F 2 F ab 即可得出轨迹的方程； C （2）设点，设直线的方程为，设点、，联立直线 1 , 2 Tt AB 1 1 2 ytkx 11 ,A x y 22 ,B xy 与曲线的方程，列出韦达定理，求出的表达式，设直线的斜率为，同理可得出 ABC TA TB PQ 2 k 的表达式，由化简可得的值. TP TQTA TBTP TQ 12 kk 【详解】因为， 1212 22 17MFMFFF 所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支， C1 F 2 F 设轨迹的方程为，则，可得， C 22 22 10,0 xy ab ab 22a 1a 2 174ba 所以，轨迹的方程为； C 2 2 11 16 y xx （2）设点，若过点的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点， 1 , 2 Tt TC 不妨直线的方程为，即， AB 1 1 2 ytkx 11 1 2 yk xtk 联立，消去并整理可得， 11 22 1 2 1616 yk xtk xy y 2 22 1111 1 162160 2 kxktkxtk 设点、，则且. 11 ,A x y 22 ,B xy 1 1 2 x 2 1 2 x 由韦达定理可得， 2 11 12 2 1 2 16 kk t xx k 2 1 12 2 1 1 16 2 16 tk x x k 所以， 22 1 22 12 112112 2 1 12 1 111 11 222416 tk xx TA TBkxxkx x k 设直线的斜率为，同理可得， PQ 2 k 22 2 2 2 12 1 16 tk TP TQ k 因为，即，整理可得， TA TBTP TQ 2222 12 22 12 12 112 1 1616 tktk kk 22 12 kk 即，显然，故. 1212 0kkkk 12 0kk 12 0kk 因此，直线与直线的斜率之和为. AB PQ 0 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值 22. 已知函数. 1 lnf xxx （1）讨论的单调性； f x （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. ablnlnbaabab 11 2e ab 【答案】 （1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析. f x0,11,+ 【解析】 【分析】 （1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间； （2）设，原不等式等价于，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后 12 11 ,xx ab 12 2xxe 者可设，从而把转化为在上的恒成立问题，利用导数 21 xtx 12 xxe 1 ln1ln0tttt1, 可证明该结论成立. 【详解】 （1）函数的定义域为， 0, 又， 1 ln1lnfxxx 当时，当时， 0,1x 0fx 1,+x 0fx 故的递增区间为，递减区间为. f x0,11,+ （2）因为，故，即， lnlnbaabab ln1ln +1baab ln1ln +1ab ab 故， 11 ff ab 设，由（1）可知不妨设. 12 11 ,xx ab 12 01,1xx 因为时，时， 0,1x 1 ln0f xxx,xe 1 ln0f xxx 故. 2 1xe 先证：， 12 2xx 若，必成立. 2 2x 12 2xx 若， 要证：，即证，而， 2 2x 12 2xx 12 2xx 2 021x 故即证，即证：，其中. 12 2f xfx 22 2f xfx 2 12x 设， 2,12g xf xfxx 则， 2lnln 2gxfxfxxx ln2xx 因为，故，故， 12x 021xxln20 xx 所以，故在为增函数，所以， 0gx g x1,2 10g xg 故，即成立，所以成立， 2f xfx 22 2f xfx 12 2xx 综上，成立. 12 2xx 设，则， 21 xtx 1t 结合，可得：， ln1ln +1ab ab 12 11 ,xx ab 1122 1 ln1 lnxxxx 即：，故， 11 1 ln1 lnlnxttx 1 1ln ln 1 ttt x t 要证：，即证，即证， 12 xxe 1 1txe 1 ln1ln1tx 即证：，即证：， 1ln ln11 1 ttt t t 1 ln1ln0tttt 令， 1 ln1ln ,1S ttttt t 则， 112 ln11 lnln 1 11 t S ttt ttt 先证明一个不等式：. ln1xx 设，则， ln1u xxx 1 1 11 x ux xx 当时，；当时， 10 x 0ux 0 x 0ux 故在上为增函数，在上为减函数，故， u x 1,00,+ max 00u xu 故成立 ln1xx 由上述不等式可得当时，故恒成立， 1t 112 ln 1 1ttt 0S t 故在上为减函数，故， S t1, 10S tS 故成立，即成立. 1 ln1ln0tttt 12 xxe 综上所述，. 11 2e ab 河南省河南省 20212021 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学文科数学 一、选择题一、选择题: :本题共本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1. 已知全集，集合，则（ ） 1,2,3,4,5U 1,2 ,3,4MN() UM N A. B. C. D. 5 1,23,41,2,3,4 【答案】A 【解析】 【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可. 【详解】由题意可得：，则. 1,2,3,4MN U 5UMN 故选：A. 2. 设，则（ ） i43iz z A. B. C. D. 34i34i 34i34i 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得 z 的值. 【详解】由题意可得：. 2 434343 34 1 i iii zi ii 故选：C. 3. 已知命题命题，则下列命题中为真命题的是（ ） :,sin1pxx R:qx R | | e1 x A. B. C. D. pqpq pq pq 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦函数的有界性确定命题的真假性，由指数函数的知识确定命题的真假性，由此确定正 pq 确选项. 【详解】由于，所以命题 为真命题；sin0=0 p 由于在上为增函数，所以，所以命题为真命题； x ye R 0 x | |0 1 x ee q 所以为真命题，、为假命题. pqpq pq pq 故选：A 4. 函数的最小正周期和最大值分别是（ ） ( )sincos 33 xx f x A. 和B. 和 2C. 和D. 和 2 323626 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值. f x 【详解】由题，所以的最小正 22 ( )sincos2sinco2sin 3 s 3323234 xxxx f x x f x 周期为，最大值为. 2 6 1 3 T p p= 2 故选：C 5. 若满足约束条件则的最小值为（ ） , x y 4, 2, 3, xy xy y 3zxy A. 18B. 10C. 6D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为，数形结合即可得解. 3yxz 【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示， 由可得点, 4 3 xy y 1,3A 转换目标函数为， 3zxy3yxz 上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值， 3yxz Az 此时. min 3 1 36z 故选：C. 6. （ ） 22 5 coscos 1212 A. B. C. D. 1 2 3 3 2 2 3 2 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解. 2222 5 coscoscossin 12121212 【详解】由题意， 222222 5 coscoscoscoscossin 1212122121212 . 3 cos 26 故选：D. 7. 在区间随机取 1 个数，则取到的数小于的概率为（ ） 1 0, 2 1 3 A. B. C. D. 3 4 2 3 1 3 1 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何概型的概率公式即可求出. 【详解】设“区间随机取 1 个数” ，对应集合为： ，区间长度为， 1 0, 2 1 0 2 xx 1 2 “取到的数小于” ， 对应集合为：，区间长度为， A 1 3 1 0 3 xx 1 3 所以 1 0 2 3 1 3 0 2 l A P A l 故选：B 【点睛】本题解题关键是明确事件“取到的数小于”对应的范围，再根据几何概型的概率公式即可准确 1 3 求出 8. 下列函数中最小值为 4 的是（ ） A. B. 2 24yxx 4 sin sin yx x C. D. 2 22 xx y 4 ln ln yx x 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等” ，即可得 A 出不符合题意，符合题意 ,B D C 【详解】对于 A，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A 不 2 2 24133yxxx 1x 3 符合题意； 对于 B，因为，当且仅当时取等号，等号取不到， 0sin1x 4 sin2 44 sin yx x sin2x 所以其最小值不为，B 不符合题意； 4 对于 C，因为函数定义域为，而，当且仅当，即 R20 x 2 4 2222 44 2 xxx x y 22 x 时取等号，所以其最小值为，C 符合题意； 1x 4 对于 D，函数定义域为，而且，如当， 4 ln ln yx x 0,11, ln xRln0 x ln1x ，D 不符合题意 5y 故选：C 【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数 的性质即可解出 9. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） 1 ( ) 1 x f x x A. B. C. D. 11f x11f x11f x11f x 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 【详解】由题意可得， 12 ( )1 11 x f x xx 对于 A，不是奇函数； 2 112f x x 对于 B，是奇函数； 2 11f x x 对于 C，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 2 112 2 f x x 对于 D，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 2 11 2 f x x 故选：B 【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题. 10. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） 1111 ABCDABC D 11 B D PB 1 AD A. B. C. D. 2 3 4 6 【答案】D 【解析】 【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可. 1 AD 1 BC PB 1 AD PB 1 BC 【详解】 如图，连接，因为， 11 ,BC PC PB 1 AD 1 BC 所以或其补角为直线与所成的角， 1 PBC PB 1 AD 因为平面，所以，又， 1 BB 1111 DCBA 11 BBPC 111 PCB D 1111 BBB DB 所以平面，所以， 1 PC 1 PBB 1 PCPB 设正方体棱长为 2，则， 1111 1 2 2,2 2 BCPCD B ，所以. 1 1 1 1 sin 2 PC PBC BC 1 6 PBC 故选：D 11. 设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ） 2 2 :1 5 x Cy PB A. B. C. D. 2 5 2 65 【答案】A 【解析】 【分析】设点，由依题意可知，再根据两点间的距离公式得到， 00 ,P xy0,1B 2 2 0 0 1 5 x y2 PB 然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值 【详解】设点，因为，所以 00 ,P xy0,1B 2 2 0 0 1 5 x y ， 2 222 222 0000000 125 15 114264 24 PBxyyyyyy 而，所以当时，的最大值为 0 11y 0 1 2 y PB 5 2 故选：A 【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数 的性质即可解出易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点 B 最远的点，或者认为是椭圆的 长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量 的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值. 12. 设，若为函数的极大值点，则（ ） 0a xa 2 fxa xaxb A. B. C. D. abab 2 aba 2 aba 【答案】D 【解析】 【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对进行分 类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项. , a b 【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. ab 3 f xa xa ab 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题 f x xaxbxaxb 意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的. xa 当时，由，画出的图象如下图所示： 0a xb 0f x f x 由图可知，故. ba0a 2 aba 当时，由时，画出的图象如下图所示： 0a xb 0f x f x 由图可知，故. ba0a 2 aba 综上所述，成立. 2 aba 故选：D 【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答. 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 13. 已知向量，若，则_ 2,5 ,4ab /a b rr 【答案】 8 5 【解析】 【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：， 2 450 解方程可得：. 8 5 故答案为：. 8 5 14. 双曲线的右焦点到直线的距离为_ 22 1 45 xy 280 xy 【答案】 5 【解析】 【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，所以双曲线的右焦点为， 22 543cab(3,0) 所以右焦点到直线的距离为. (3,0)280 xy 22 |3208|5 5 5 12 故答案为： 5 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，则 ABC360B 22 3acac _ b 【答案】2 2 【解析】 【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解. 4ac 【详解】由题意， 13 sin3 24 ABC SacBac 所以， 22 4,12acac 所以，解得（负值舍去）. 222 1 2cos122 48 2 bacacB 2 2b 故答案为：. 2 2 16. 以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选 侧视图和俯视图的编号依次为_（写出符合要求的一组答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可. 【详解】选择侧视图为，俯视图为， 如图所示，长方体中， 11