1、河南省河南省 20212021 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学文科数学 一一、选择题选择题: :本题共本题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1. 已知全集1,2,3,4,5U ，集合1,2 ,3,4MN，则() UM N（） A. 5B.1,2C.3,4D.1,2,3,4 【答案】A 【解析】 【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可. 【详解】由题意可得：1,2,3,4MN U，则 5 U MN . 故选：A
2、. 2. 设i43iz ，则z （） A.34iB.34i C.34iD.34i 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得 z 的值. 【详解】由题意可得： 2 434343 34 1 i iii zi ii . 故选：C. 3. 已知命题:,sin1pxx R命题 :qx R | | e1 x ，则下列命题中为真命题的是（） A. pq B. pq C. pq D.pq 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦函数的有界性确定命题p的真假性，由指数函数的知识确定命题q的真假性，由此确定正 确选项. 【详解】由于sin0=0，所以命题p为真命题； 由于 x ye在R上为增函数
3、，0 x ，所以 | |0 1 x ee，所以命题q为真命题； 所以p q 为真命题， pq 、p q 、pq为假命题. 故选：A 4. 函数( )sincos 33 xx f x 的最小正周期和最大值分别是（） A.3和 2 B.3和 2C.6和 2 D.6和 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简 fx，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值. 【详解】由题， 22 ( )sincos2sinco2sin 3 s 3323234 xxxx f x x ，所以 fx的最小正 周期为 2 6 1 3 T p p= ，最大值为 2. 故选：C 5. 若 , x y满足
4、约束条件 4, 2, 3, xy xy y 则3zxy的最小值为（） A. 18B. 10C. 6D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为3yxz ，数形结合即可得解. 【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示， 由 4 3 xy y 可得点1,3A, 转换目标函数3zxy为3yxz ， 上下平移直线3yxz ，数形结合可得当直线过点A时,z取最小值， 此时 min 3 1 36z . 故选：C. 6. 22 5 coscos 1212 （） A. 1 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 3 2 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合诱导公式可得 222
5、2 5 coscoscossin 12121212 ，再由二倍角公式即可得解. 【详解】由题意， 222222 5 coscoscoscoscossin 1212122121212 3 cos 26 . 故选：D. 7. 在区间 1 0, 2 随机取 1 个数，则取到的数小于 1 3 的概率为（） A. 3 4 B. 2 3 C. 1 3 D. 1 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何概型的概率公式即可求出. 【详解】设 “区间 1 0, 2 随机取 1 个数” ，对应集合为： 1 0 2 xx ，区间长度为 1 2 ， A “取到的数小于 1 3 ” ， 对应集合为： 1 0 3 xx
6、 ，区间长度为 1 3 ， 所以 1 0 2 3 1 3 0 2 l A P A l 故选：B 【点睛】本题解题关键是明确事件“取到的数小于 1 3 ”对应的范围，再根据几何概型的概率公式即可准确 求出 8. 下列函数中最小值为 4 的是（） A. 2 24yxxB. 4 sin sin yx x C. 2 22 xx y D. 4 ln ln yx x 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等” ，即可得出 ,B D不符合题意，C符合题意 【详解】对于 A， 2 2 24133yxxx，当且仅当1x 时取等号，所以其最小值为3，
7、A 不 符合题意； 对于 B，因为0sin1x， 4 sin2 44 sin yx x ，当且仅当sin2x 时取等号，等号取不到， 所以其最小值不为4，B 不符合题意； 对于 C，因为函数定义域为R，而2 0 x ， 2 4 2222 44 2 xxx x y ，当且仅当2 2 x ，即1x 时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于 D， 4 ln ln yx x ，函数定义域为0,11,，而ln xR且ln0 x ，如当ln1x ，5y ， D 不符合题意 故选：C 【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数 的性质即可解出 9.
8、设函数 1 ( ) 1 x f x x ，则下列函数中为奇函数的是（） A.11f xB.11f xC.11f xD.11f x 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 【详解】由题意可得 12 ( )1 11 x f x xx ， 对于 A， 2 112f x x 不是奇函数； 对于 B， 2 11f x x 是奇函数； 对于 C， 2 112 2 f x x ，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于 D， 2 11 2 f x x ，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B 【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
9、 10. 在正方体 1111 ABCDABC D中，P为 11 B D的中点，则直线PB与 1 AD所成的角为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】平移直线 1 AD至 1 BC，将直线PB与 1 AD所成的角转化为PB与 1 BC所成的角，解三角形即可. 【详解】 如图，连接 11 ,BC PC PB，因为 1 AD 1 BC， 所以 1 PBC或其补角为直线PB与 1 AD所成的角， 因为 1 BB 平面 1111 DCBA，所以 11 BBPC，又 111 PCB D， 1111 BBB DB， 所以 1 PC 平面 1 PBB，所以 1 PCPB，
10、 设正方体棱长为 2，则 1111 1 2 2,2 2 BCPCD B， 1 1 1 1 sin 2 PC PBC BC ，所以 1 6 PBC . 故选：D 11. 设B是椭圆 2 2 :1 5 x Cy的上顶点，点P在C上，则PB的最大值为（） A. 5 2 B. 6 C. 5 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设点 00 ,P xy，由依题意可知，0,1B， 2 2 0 0 1 5 x y，再根据两点间的距离公式得到 2 PB，然 后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值 【详解】设点 00 ,P xy，因为0,1B， 2 2 0 0 1 5 x y，所以 2 222 222 00
11、00000 125 15 114264 24 PBxyyyyyy ， 而 0 11y ，所以当 0 1 2 y 时，PB的最大值为 5 2 故选：A 【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数 的性质即可解出易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点 B 最远的点，或者认为是椭圆的 长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量 的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值. 12. 设0a ，若xa为函数 2 fxa xaxb的极大值点，则（） A.abB.abC. 2 aba D. 2
12、aba 【答案】D 【解析】 【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对进行分 类讨论，画出图象，即可得到, a b所满足的关系，由此确定正确选项. 【详解】若ab，则 3 f xa xa为单调函数，无极值点，不符合题意，故ab. f x有x a 和xb两个不同零点， 且在xa左右附近是不变号， 在xb左右附近是变号的.依题意， 为函数的极大值点，在xa左右附近都是小于零的. 当0a 时，由xb， 0f x ，画出 fx的图象如下图所示： 由图可知ba，0a ，故 2 aba . 当0a 时，由xb时， 0f x ，画出 fx的图象如下图所示： 由图可
13、知ba，0a ，故 2 aba . 综上所述， 2 aba 成立. 故选：D 【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答. 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 13. 已知向量2,5 ,4ab ，若 /a b r r ，则_ 【答案】 8 5 【解析】 【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450， 解方程可得： 8 5 . 故答案为： 8 5 . 14. 双曲线 22 1 45 xy 的右焦点到
14、直线 280 xy的距离为_ 【答案】 5 【解析】 【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知， 22 543cab ，所以双曲线的右焦点为(3,0)， 所以右焦点(3,0)到直线280 xy的距离为 22 |3208|5 5 5 12 . 故答案为： 5 15. 记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 面积为 3， 60B ， 22 3acac ， 则b _ 【答案】2 2 【解析】 【分析】由三角形面积公式可得4ac ，再结合余弦定理即可得解. 【详解】由题意， 13 sin3 24 ABC SacBac ， 所以 22 4,12acac， 所以
15、222 1 2cos122 48 2 bacacB ，解得 2 2b （负值舍去）. 故答案为：2 2. 16. 以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选 侧视图和俯视图的编号依次为_（写出符合要求的一组答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可. 【详解】选择侧视图为，俯视图为， 如图所示，长方体 1111 ABCDABC D中， 1 2,1ABBCBB， ,E F分别为棱 1 1, BC BC的中点， 则正视图，侧视图，俯视图对应的几何体为三棱锥EADF. 故答案为：. 【点睛】三视图问题解决的关
16、键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关 系. 三三、解答题解答题共共 7070 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤，第第 17172121 题为必考题题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分 17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和 一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备9.810.31
17、0.010.29.99.810.010.110.29.7 新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为 2 1 S和 2 2 S （1）求x，y， 2 1 S， 2 2 S； （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 22 12 2 10 SS yx ，则认为 新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高） 【答案】 （1） 22 12 10,10.3,0.036,0.04xySS； （2）新设备生产产品的该项指标的均值较
18、旧设备有 显著提高. 【解析】 【分析】 （1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差. （2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断. 【详解】 （1） 9.8 10.3 10 10.29.99.8 10 10.1 10.29.7 10 10 x ， 10.1 10.4 10.1 10 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 10.3 10 y ， 22222222 2 1 0.20.300.20.10.200.10.20.3 0.036 10 S ， 222222222 2 2 0.20.10.20.30.200.30.20.10.2 0.04 10 S
19、 . （2）依题意， 2 0.32 0.152 0.152 0.025yx ， 0.0360.04 22 0.0076 10 ， 22 12 2 10 ss yx ，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高. 18. 如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，M为BC的中点，且PBAM （1）证明：平面PAM 平面PBD； （2）若1PDDC，求四棱锥PABCD的体积 【答案】 （1）证明见解析； （2） 2 3 【解析】 【分析】 （1）由PD 底面ABCD可得PDAM，又PBAM，由线面垂直的判定定理可得AM 平 面PBD，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面PA
20、M 平面PBD； （2）由（1）可知，AMBD，由平面知识可知，DABABM，由相似比可求出AD，再根据四棱 锥PABCD的体积公式即可求出 【详解】 （1）因为PD 底面ABCD，AM 平面ABCD， 所以PDAM， 又PBAM，PBPDP， 所以AM 平面PBD， 而AM 平面PAM， 所以平面PAM 平面PBD （2）由（1）可知，AM 平面PBD，所以AMBD， 从而DABABM，设BMx，2ADx， 则 BMAB ABAD ，即 2 21x ，解得 2 2 x ，所以 2AD 因为PD 底面ABCD， 故四棱锥PABCD的体积为 12 121 33 V 【点睛】本题第一问解题关键是找
21、到平面PAM或平面PBD的垂线，结合题目条件PBAM，所以垂线 可以从,PB AM中产生，稍加分析即可判断出AM 平面PBD，从而证出；第二问关键是底面矩形面积 的计算，利用第一问的结论结合平面几何知识可得出DABABM，从而求出矩形的另一个边长，从而 求得该四棱锥的体积 19. 设 n a是首项为 1 的等比数列，数列 n b满足 3 n n na b 已知 1 a， 2 3a， 3 9a成等差数列 （1）求 n a和 n b的通项公式； （2）记 n S和 n T分别为 n a和 n b的前n项和证明： 2 n n S T 【答案】 （1） 1 1 ( ) 3 n n a ， 3 n n
22、n b ； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】利用等差数列的性质及 1 a得到 2 9610qq ，解方程即可； 利用公式法、错位相减法分别求出, nn S T，再作差比较即可. 【详解】因为 n a是首项为 1 的等比数列且 1 a， 2 3a， 3 9a成等差数列， 所以 213 69aaa，所以 2 111 69a qaa q， 即 2 9610qq ，解得 1 3 q ，所以 1 1 ( ) 3 n n a ， 所以 33 n n n nan b . （2）证明：由（1）可得 1 1 (1) 31 3 (1) 1 23 1 3 n n n S ， 21 121 3333 n nn
23、nn T ， 231 1121 33333 n nn nn T ， 得 231 21111 333333 n nn n T 11 11 (1) 11 33 (1) 1 3233 1 3 n nnn nn ， 所以 31 (1) 432 3 n nn n T ， 所以 2 n n S T 3131 (1)(1)0 432 3432 3 nnnn nn ， 所以 2 n n S T . 【点晴】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运 算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关 键是要看如何消项化简的更为
24、简洁. 20. 已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点F到准线的距离为 2 （1）求C的方程; （2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足9PQQF ，求直线OQ斜率的最大值. 【答案】 （1） 2 4yx； （2）最大值为 1 3 . 【解析】 【分析】 （1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解； （2）设 00 ,Q xy，由平面向量的知识可得 00 109,10Pxy，进而可得 2 0 0 259 10 y x ，再由斜率公式及 基本不等式即可得解. 【详解】 （1）抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点,0 2 p F ，准线方程为 2 p x ， 由题意，该抛物线焦点到准
25、线的距离为2 22 pp p ， 所以该抛物线的方程为 2 4yx； （2）设 00 ,Q xy，则 00 999, 9PQQFxy ， 所以 00 109,10Pxy， 由P在抛物线上可得 2 00 104 109yx，即 2 0 0 259 10 y x ， 所以直线OQ的斜率 000 22 000 10 259259 10 OQ yyy k yxy ， 当 0 0y 时，0 OQ k ； 当 0 0y 时， 0 0 10 9 25 OQ k y y ， 当 0 0y 时，因为 00 00 99 252 2530yy yy ， 此时 1 0 3 OQ k，当且仅当 0 0 9 25y y
26、，即 0 3 5 y 时，等号成立； 当 0 0y 时，0 OQ k ； 综上，直线OQ的斜率的最大值为 1 3 . 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用平面向量的知识求得点Q坐标的关系，在求斜率的最值时要 注意对 0 y取值范围的讨论. 21. 已知函数 32 ( )1f xxxax （1）讨论 fx的单调性； （2）求曲线 yf x过坐标原点的切线与曲线 yf x的公共点的坐标 【答案】(1)答案见解析；(2)和11 a ，. 【解析】 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性； (2)首先求得导数过坐标原点的切线方程， 然后将原问题转化为方
27、程求解的问题， 据此即可求得公共点坐标. 【详解】(1)由函数的解析式可得： 2 32fxxxa， 导函数的判别式412a ， 当 1 4 120, 3 aa 时， 0,fxf x在 R 上单调递增， 当时，的解为： 12 11 311 3 , 32 aa xx ， 当 11 3 , 3 a x 时，单调递增； 当 11 311 3 , 33 aa x 时，单调递减； 当 11 3 , 3 a x 时，单调递增； 综上可得：当时，在 R 上单调递增， 当时，在 11 3 , 3 a ， 11 3 , 3 a 上 单调递增，在 11 311 3 , 33 aa 上单调递减. (2)由题意可得：
28、32 0000 1f xxxax， 2 000 32fxxxa， 则切线方程为： 322 000000 132yxxaxxxaxx， 切线过坐标原点，则： 322 000000 01320 xxaxxxax , 整理可得： 32 00 210 xx ，即： 2 000 1 210 xxx， 解得：，则， 0 ()11fxfa 切线方程为：1yax, 与联立得 32 1(1)xxaxax ， 化简得 32 10 xxx ,由于切点的横坐标 1 必然是该方程的一个根，1x是 32 1xxx的一个 因式，该方程可以分解因式为 2 110,xx 解得 12 1,1xx , 11fa ， 综上，曲线过坐
29、标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和11 a ，. 【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注 意单调性研究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线的公共点坐标时， 要注意除了已经求出的切点，还可能有另外的公共点(交点),要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解 时要注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考 压轴题中的常见问题，不必恐惧，一般都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根. （二（二）选考题选考题: :共共 1010 分分请考生在第请考生在第
30、 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答如果多做如果多做则按所做的第一则按所做的第一 题计分题计分 选修选修 4-4:4-4:坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22. 在直角坐标系xOy中，C的圆心为2,1C，半径为 1 （1）写出C的一个参数方程; （2）过点4,1F作C的两条切线以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切 线的极坐标方程 【答案】 （1） 2cos 1 sin x y ， （为参数） ； （2）2 cos()43 3 或2 cos()43 3 . 【解析】 【分析】 （1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程； （2）先求得过（4，1）的圆的切
31、线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可. 【详解】 （1）由题意，C的普通方程为 22 (2)(1)1xy， 所以C的参数方程为 2cos 1 sin x y ， （为参数） （2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为1(4)yk x ，即140kxyk ， 由圆心到直线的距离等于 1 可得 2 | 2 | 1 1 k k ， 解得 3 3 k ，所以切线方程为3334 30 xy或3334 30 xy， 将cosx，siny代入化简得 2 cos()43 3 或2 cos()43 3 【点晴】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学 运
32、算能力，是一道基础题. 选修选修 4 45:5:不等式选讲不等式选讲 23. 已知函数 3f xxax （1）当1a 时，求不等式 6f x 的解集; （2）若 f xa ，求a的取值范围 【答案】 （1） , 42, .（2） 3 , 2 . 【解析】 【分析】 （1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集. （2）利用绝对值不等式化简 f xa ，由此求得a的取值范围. 【详解】 （1）当1a 时， 13fxxx，13xx表示数轴上的点到1和3的距离之和， 则 6f x 表示数轴上的点到1和3的距离之和不小于6， 当4x 或2x 时所对应的数轴上的点到13，所对应的点距离之和等于 6， 数轴上到13，所对应的点距离之和等于大于等于 6 得到所对应的坐标的范围是4x 或2x ， 所以 6f x 的解集为 , 42, . （2）依题意 f xa ，即3axax 恒成立， 333xaxxaax， 当且仅当30axx时取等号， 3 min f xa, 故3aa ， 所以3aa 或3aa， 解得 3 2 a . 所以a的取值范围是 3 , 2 .
