1、 1 2016 2017学年度第二学期期中考试 高一年级承智班数学试卷 第 I卷（选择题） 一、选择题（每小题 5分，共 60 分） 1 在 ABC? 中， a,b,c分别为 A、 B、 C的对边，若 2 3, 3, c o s 4b ac a c B? ? ? ?，则 .ABBC =（ ）A. 32 B. - 32 C. 3 D. -3 2 若 sin cos cosA B Ca b c?，则 ABC 是 （ ） A. 等腰直角三角形 B. 有一内角是 30 的直角三角形 C. 等边三角形 D. 有一内角是 30 的等腰三角形 3一海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40
2、 的方向直线航 行， 30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海伦在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70 ，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65 ，那么 ,BC两点间的距离是（ ） A.102 海里 B.103 海里 C.203 海里 D.202 海里 4 数列 ?na 满足 211 2 33 3 3 2n n na a a a? ? ? ? ?，则 na? （ ） A. 1132n?B. 1123n?C. 12nD. 3nn5 (福建省漳州市八校 2017 届高三下学期 2月联考数学文第 8题 ) 大衍数列，来源于乾坤谱中对易传 “ 大衍之数五十 ” 的推论。主要用于解释中国传
3、统文化中的太极衍生原理。数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和。是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上 第一道数列题。其前 10项依次是、 40、 ? ，则此数列第 20项为（ ） A. 180 B. 200 C. 128 D. 162 6 定义 为 个正数 的 “ 均倒数 ”. 若已知数列 的前 项的 “ 均倒数 ” 为，又 ，则 ? （ ） 2 A. B. C. D. 7 已知 01c?， 1ab?，下列不等式成立的是 A. abcc? B. aba c b c? C. ccba ab? D. log logabcc? 8对于任意实数 , , ,abcd ，以下四个命
4、题中 若 22ac bc? ，则 ab? ； 若 ab? ， cd? ，则 a c b d? ? ? ； 若 ab? ， cd? ，则 ac bd? ；若 ab? ，则 11ab? . 其中正确的有（ ） A 1 个 B 2个 C 3个 D 4个 9若正数 ,xy满足 3 5 ,x y xy? 则 34xy? 的最小值是（ ） A. 245 B. 285 C. 6 D. 5 10 已知 ? ? ? ?log 1 1af x x? ? ?（ 0a? 且 1a? ）恒过定点 M ，且点 M 在直线 1xymn?（ 0m? ， 0n? ）上，则 mn? 的最小值为（ ） A. 3 2 2? B. 8
5、 C. 42 D. 4 11 下列函数中，最小值为 4的是（ ） A. 4xxy e e? B. 4sin (0 )siny x xx ? ? ? ? C. 4yxx? D. 2221 1yx x? ? ? ? 12 某几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为（ ） A. 18 B. 20 C. 24 D. 12 第 II卷（非选择题） 二、填空题（每题 5分，共 20分） 13 若数列 ?na 满足1 112, 1n naa a ? ? ?，则 2017a ? _ 14如图所示，在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为 25m 的建筑物 CD ， 为了测量该山坡相对于水平地面的坡角 ?
6、， 在山坡的 A 处测得 15DAC? ? ? ， 沿山坡前进 50m 到达 B 处 ， 又测得3 45DBC? ? ? ， 根据以上数据得 cos? 15. 1 3, 5 7, 9, 11, 13 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29 . 设 999是该表第 m行的第 n 个数 ,则 mn?_ 16 在 ABC? 中， 22AC CB? ，其面积为 2 ，则 2tan sin2AB? 的最大值 是 _ 三、解答题（共 6题，共 70分） 17 在 ABC? 中， a,b,c分别为 A、 B、 C的对边，且满足 ? ?222 2 c o sa b ac B bc? ?
7、? （ 1）求 A （ 2） D为边 BC上一点， CD=3BD， DAC=90 ，求 tanB 18 已知数列 的前 项和为 ，且 . （ 1）求 的值； （ 2）是否存在常数，使得数列 为等比数列？若存在，求出 的值和通项公式 ；若不存在，请说明理由 . CD 为 直 径19 某隧道截面如图，其下部形 状是矩形 ABCD ，上部形状是 以的半圆 .已知隧道的横截面面积为 4+ ，设半圆的半径 =OCx ， 隧道横截面的周长（即矩形三边长与 圆弧长之和）为 ?fx. （ 1）求函 数 ?fx的解析式，并求 其定义域； （ 2）问当 x 等于多少时， ?fx有最小值？并求出最小值 . 20 已
8、知函数 ，若对于数列 满足： ，且 ， （ 1）求证：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式； （ 2）设 ，若数列 的前 项和为 ，求 4 21 在 ABC? 中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 2 1sin sin sin24BC BC? ?. () 求角 A 的大小； () 若 2bc? ，求 a的取值范围 22 在三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中，侧棱 1BB? 底面 1 1 1ABC ， D 为 AC 的中点， 1 1 1 2AB BB?， 1 1 1AC BC? ， 11 60ACB? ? ? . （ 1）求证： 1/AB 平面 1BDC ； （ 2）
9、求多面体 1 1 1ABCDBA 的体积 . 附加题 1 已知向量 ? ?sin ,cosm A A? ， ? ?cos ,sinn B B? ， ? sin2m n C? ，且 A ， B ， C 分别为 ABC 的三边 ,abc所对的角 （ ）求角 C 的大小； （ ）若 sinA ， sinC ， sinB 成等比数列，且 ? ? 18CA AB AC? ? ?， 求边 c的值 2 对于数列 ， ， 为数列 是前 项和，且 ， ，.（ 1）求数列 ， 的通项公式； （ 2）令 ，求数列 的前 项和 . 3 如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中，底面 ABC是等边三角形，且 1A
10、A?平面 ABC， D 为 AB 的中点 . () 求证：直线 1BC 平面 A1CD； () 若 1 2AB BB?， E 是 1BB 的中点，求三棱锥 1A CDE? 的体积 5 参考答案 1 B 2 A 3 A 4 B 5 B 6 C 7 D 8 B 9 D 10 A 11 A 12 B 【解析】 由三视图可得如下图所示几何体，它为长宽高为 4,3,2 的长方体沿对角线去掉一半且去掉一个三棱锥的几何体，其体积 1 1 14 3 4 4 3 2 2 02 3 2V ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 13 2 14 31? 15 254 该数表的前 k 行数共有 2 3 11 2 2
11、 2 2 2 1kk? ? ? ? ? ? ?个数，而 999 1 5002? ? ，因为892 1 255 2 1 511? ? ? ?， ，所以 500-255=245，故 999 是该数表的第 9 行的第 245 个数，则9 n 245m?， ， 254mn? . 16 3 2 2? 由题意得，在 ABC? 中， 22AC CB? ，其面积为 2 ， 所以 ? ?c o s c o s 2 2 c o s 2 2a b C a b C a b C? ? ? ? ? ? ? ?， 且 1 s in 2 s in 2 22S a b C a b C? ? ? ?， 所以 tan 1C? ，又
12、因为 ? ?0,C ? ，所以 34C ? ，所以 4BA?， 所以 ? ?22 2 2 22s i nt a n s i n 2 t a n s i n 2 t a n c o s 2 2 c o s 14 c o s AA B A A A A AA? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2221 sin 2 c o s 1c o sAAA? , 设 2costA? ，即 22 2 3 1 1t a n s i n 2 2 3 2 2 3ttA B xtx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 17 （ 1） 23? （ 2） 337 （ ）因为 2accosB=a2+c2 b2
13、，所以 2（ a2 b2） =a2+c2 b2+bc 整理得 a2=b2+c2+bc，所以 cosA= 12 ，即 A=23? （ ）因为 DAC=2? ，所以 AD=CD?sinC， DAB=6? 在 ABD中，有 ，又因为 CD=3BD， 所以 3sinC=2sinB， 6 由 C=3? B得 332 cosB 32 sinB=2sinB， 整理得 tanB=337 18 (1) ， ， ;(2) ， . 试题解析： (1) 当 时，由 ，得 ；当 时，由 ，可得 ；当时，由 ，得 . (2) 令 ，即 ，解得 .由 及 ，两式相减，得 .由以上结论得 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等
14、比数列，因此存在 ，使得数列 为等比数列，所以 . 19 （ 1） ? ? 4 4 82 ( 0 )2 f x x xx? ? ? ? ? ?;（ 2） ? ?24 2x ? . （ 1）设 OC x? 则矩形 ABCD 面积 214 2 x? 214 22xADx? ? ? 22 f x x AD x? ? ? ? ? 4 12 2f x x x xx? ? ? ? ? ? 4 4 2f x x x? 又 0AD? 214 2 x? 82x ? ? ? 4 4 82 ( 0 )2 f x x xx? ? ? ? ? ?定义域 820?，（ 2） ? ? ? ? ? ?24 24 22fx ?
15、 ? ? 当且仅当 2x? 时取等号即最小值 ? ?4 2? 20（ 1） ；（ 2） 试题解析： (1) 即 ， ， ， 数列 是一个以 3 为首项，以 2为公差的等差数列； 7 则 ， ， ， ? ， 累加得 . 验证 时上式成立， (2) ， 则 两式作差得： 21 （ ） 23A? （ ） ?32? ， （ ）由已知得 ? ?1 c o s 1s in s in24BC BC? ?， 化简得 1 c o s c o s s i n s i n 1s i n s i n24B C B C BC? ?， 整理得 1c o s c o s sin sin 2B C B C?，即 ? ? 1c
16、os 2BC?， 由于 0 BC? ? ? ，则 3BC?，所以 23A? （ ）根据余弦定理，得 2 2 2 2 2 co s 3a b c bc? ? ? ? 22b c bc? ? ? ? ? ? ?22 22b b b b? ? ? ? ? 2 24bb? ? ? ? ?213b? ? ? 又由 2bc? ，知 02b? ，可得 234a?， 所以 a 的取值范围是 ?32? ， 22 （ 1）证明：连接 1BC交 1BC 于 O ，连接 OD . O ， D 分别为 1BC与 AC 的中点， OD? 为 1ABC? 的中位线， 8 1/OD AB? .又 1AB? 平面 1BDC ，
17、 OD? 平面 1BDC ， 1/AB? 平面 1BDC . （ 2）连接 1AB，取 BC 的中点 E ，连接 DE ，如图 . 1 1 1AC BC? ， 11 60ACB? ? ? ， 11ACB? 为等边三角形 . 侧棱 1BB? 底面 1 1 1ABC ， 1 1 1BB AB?， 1 1 1BB BC? ， 1 1 1 1A C BC A B? ? ?. 221 1 1 22A B BB? ? ?. ?在 11Rt BBC? 中， 221 1 1 1 2B C B C B B? ? ?， 于是， 2 2 21 1 1 1 1 1A C B C A B?， 1 1 1 90ABC?
18、? ?， 即 1 1 1 1AB BC? ， 11AB?面 11BCCB ，又 11/ / / /DE AB A B， DE?面 11BCCB ，即 DE 是三棱锥 1D BCC? 的高 . 1113D B C C B C CV S D E? ? ? ? 11 1 13 2 2B C B C A B? ? ? ? ?1 1 1 22 2 23 2 2 3? ? ? ? ? ?. 1 1 1 1A B C A B C D B C CV V V? ? ? ?11 123A B CS B? ? 122 2 223? ? ? ? ?103? . 附加 1 (1) 3C ? ;(2) c=6. () m ? ?sin ,cos ,AA? n ? ?cos ,sinBB?
