1、 - 1 - 古丈一中 2018年上学期高一期中考试 A 层次 数学试卷 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分） 1.1.已知点 P（ ）在第三象限，则角 在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】 B 【解析】 【分析】 根据点的位置结合三角函数的符号进行判断， 【详解】 点 P（ ）在第三象限， 则角 的终边在第二象限， 故选： B 【点睛】本题主要考查角的象限的确定，根据三角函数值的符号和角的关系是解决本题的关键 2.2.函数 ， 是 A. 最小正周期 为 的奇函数 B. 最小正周期为 的偶函数 C. 最小正周期为 的奇函数 D. 最
2、小正周期为 的偶函数 【答案】 A 【解析】 【分析】 判断函数函数 ， 的奇偶性，求出其周期即可得到结论 . 【详解】设 则 故函数函数 ， 是奇函数，由 故函数 ， 是最小正周期为 的奇函数 . 故选 A. 【点睛】本题考查正弦函数的奇偶性和周期性，属基础题 . 3.3.已知 , , 且 , 则 等于 ( ) A. 1 B. 9 C. 9 D. 1 【答案】 A - 2 - 【解析】 【分析】 利用数量积的坐标运算即可得到 的值 . 【详解】因为 ，故 即 ，解得 ，故选 A. 【点睛】已知 ， ， （ 1）若 ，则 ； （ 2）若 ，则 4.4.已知 与 均为单位向量，它们的夹角为 ，那
3、么 等于（ ） A. B. C. D. 4 【答案】 B 【解析】 【分析】 利用 来计算 . 【详解】 ， 有 是单位向量且夹角为 ，故 ，故选 B. 【点睛】向量的数量积有两个应用： （ 1）计算角： （ 均为非零向量），特别地， ； （ 2） 计算长度： . 5.5.若 是 的 一个内角，且 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 试 题 分 析 ： 是 的 一 个 内 角 , ，又，所以有 ，故本题的- 3 - 正确选项为 D. 考点：三角函数诱导公式的运用 . 6.6.在 中，若 ，则此三角形必是（ ） A. 直角三角形 B. 正三角形 C. 等腰三角形
4、D. 等腰直角三角形 【答案】 C 【解析】 【分析】 利用 可以得到 ，从而得到 ，据此可判断三角形的形状 . 【详解】因 ，故 ， 整理得 即 ， 所以 ，因 ，故 即 ， 故选 C. 【点睛】解三角形中，我们常常利用 、 来化简题设中的三角关系，化简时注意从 “ 次数、角、函数名和结构 ” 四个角度分析差异性 . 7.7.在 中，有如下四个命题： ； ； 若 ，则 为等腰三角形； 若 ，则 为锐角三角形其中正确的命题序号是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 根据向量的线性运算可判断 是错误的， 是正确的 .根据向量的数量积的运算可知 是正确的， 是错误的 .
5、 【详解】对于 ，因 ，故 不 成立； 对于 ，因为 ，故 正确； 对于 ， ， 故 ，所以 为等腰三角形，故 正确； - 4 - 对于 ，取 ， ， 但 为钝角三角形，故 不成立； 综上， 正确，故选 C. 【点睛】本题考察向量的线性运算和数量积运算，属于基础题 . 8.8.函数 在一个周期内的图象如图所示， 此函数的解析式为 （ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 由函数 在一个周期内的图象，易得： ， ， 由五点法作图可知： ，即 ，当 k=0时， ， 此函数的解析式为 . 故选： A 点睛：已知 函数 的图象求解析式 (1) . (2)由函数的周期 求 (3)利用 “
6、五点法 ” 中相对应的特殊点求 . 9.9.已知 为锐角，且 ，则 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B - 5 - 【解析】 分析 ： 由 为锐角，且 ， ，求出 ，求 的值，确定的值 . 详解 ： 因为 为锐角，且 ， 所以可得 ， 由 为锐角，可得 ， ， 故 ，故选 B. 点睛 ： 三角函数求值有三类 ： (1)“ 给角求值 ” ：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关 系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解 (2)“ 给值求值 ” ：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的
7、三角函数值，解题关键在于 “ 变角 ” ，使其角相同或具有某种关系 (3)“ 给值求角 ” ：实质是转化为 “ 给值求值 ” ，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 10.10.已知 = , = ,那么 为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 利用 来计算 . 【详解】 ，故选 C. - 6 - 【点睛】三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（ 1）看函数名的差异；（ 2）看结构的差异；（ 3） 看角的差异；（ 4）看次数的差异对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已
8、知的角表示未知的角）、升幂降幂法 11.11. 的值为 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 将所求关系式中的切化弦，利用辅助角公式与诱导公式即可求得答案 【详解】 . 故选 D. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，切化弦，利用辅助角公式是关键，属于中档题 . 12.12. OAB中， = ， = ， = ，若 = ， tR ，则点 P在（ ） A. AOB 平分线所在直线上 B. 线段 AB中垂线上 C. AB边所在直线上 D. AB边的中线上 【答案】 A 【解析】 【分析】 注意 与 都是单位向量，从而 是与 的平分线共线的向量，故可判断 的位置 【详解】
9、如图， - 7 - ， ， ， 则 ， 故四边形 为菱形， 是 的平分线，因 ， 所以 在角平分 线上 【点睛】在向量中，我们需要熟知一些特殊的向量： （ 1） 表示 边上的中线 所在的向量 ； （ 2） 表示与 共线同向的单位向量， 表示与 共线反向的单位向量 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13.13. 的值为 _ 【答案】 【解析】 【分析】 因为 中，后者总是前者的两倍，故可以倍角公式化简 【详解】 ， 故填 【点睛】三角函数的化简求值中，注意角与角的关系，有时他们的和或差是特殊角，有时要求的角可以用已知的角来表示，有时他们之间有倍数 关系等 14.14.已知
10、 ，则 的值为 【答案】 【解析】 - 8 - 【分析】 利用商数关系式化简即可 【详解】 ， 故填 【点睛】利用同角的三角函数的基本关系式可以化简一些代数式，常见的方法有： （ 1） 弦切互化法：即把含有正弦和余弦的代数式化成关于正切的代数式，也可以把含有正切的代数式化为关于余弦和正弦的代数式； （ 2） “1 ” 的代换法：有时可以把 看成 15.15.已知向量 若向量 ，则实数 的值是 _ 【答案】 【解析】 , . 16.16.关于 x的方程 (0x )有两相异根，则实数 的取值范围是_. 【答案】 【解析】 【分析】 把 化成 ， 画出函数 在 上的图像即可得到 的取值范围 【详解】
11、令 ，则 ， 该函数在 上的图像如图所示： 因 有两个不同的解， - 9 - 故直线 与 的图像有两个不同的交点， 所以 ，填 【点睛】对于形如 的函数，我们可将其化简为 ，其中 ， 三、解答题 （ 本大题共 6小题，共 70分） 17.17.已知非零向量 ， 满足 | | 1，且 ( )( ) (1)求 | |； (2)当 时，求向 量 与 的夹角 的值 【答案】（ 1） （ 2） 【解析】 【分析】 （ 1）利用向量的数量积的运算可得 ，故可得 （ 2） 根据（ 1）的结果，利用数量积的定义可得两向量的夹角 【详解】（ 1）由 即 ，因 ，故 （ 2） = = ，因 ，所以 【点睛】向量的
12、数量积的运算，满足交换律和分配律，注意数量积的运算不满足结合律另外，数量积是向量中计算向量夹角的主要工具 18.18.已知 ， (1)求 的值； (2)求 的值 【答案】（ 1） （ 2） 【解析】 - 10 - 【分析】 （ 1）利用平方关系先算出 即可得 （ 2）先用倍角公式和诱导公式把 化成 ，利用（ 1）的结果可计算该式的值 【详解】（ 1）由 且 得 ， 所以 （ 2）原式 = = = 【点睛】三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（ 1）看函数名的差异；（ 2）看结构的差异；（ 3） 看角的差异；（ 4）看次数的差异对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法 19.19.已知函数 ， ， （ 1）求函数 的最小正周期； （ 2）求函数 的增区间。 【答案】（ 1） （ 2） 【解析】 试题分析 ：（ 1） 利用辅助角公式等将函数 化为 的形式，利用周期 求出周期；（ 2） 令 ，求出 的范围，得出递增区间。 试题解析 ： （ ） （ ） ， ， ， ， 单调增区间为 ，
