1、成都七中 2020 届高三下期第 18 周数学检测题（理科） 参考答案 一、选择题：BCBCC； BDDAA； BB 二、填空题：134； 1440； 1548； 1622 , 13( 三、解答题： 17(1)证明：OCOB ，又 4 ABC， 4 OCB， 2 BOC， ABCO ， 1 分 又 PO平面ABC， OC平面ABC，OCPO ， 2分 又 ABPO、平面PAB，OABPO ， CO平面PAB，即 CO平面PBD， 3 分 又 CO平面COD，平面 PBD平面COD； 4分 (2)解：以OC、OB、OP所在射线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 设1 OA，则2
2、OCOBPO，1 DA， 则)0 , 0 , 2(C，)0 , 2 , 0(B，)2 , 0 , 0(P，)1 , 1, 0( D， )1, 1, 0( PD，)0 , 2, 2( BC，)1 , 3, 0( BD， 6 分 设平面BDC的一个法向量为),(zyxn ， 0 0 BDn BCn ， 03 022 zy yx ， 令1 y，则1 x，3 z，)3 , 1 , 1( n， 9分 设PD与平面BDC所成的角为 ， 则 11 222 | 311)1()1(0 )1(3)1(101 | | |sin 222222 nPD nPD ， 即直线PD与平面BDC所成角的正弦值为 11 222
3、12 分 18解：(1)完成22 列联表如下： 2 分 非读书迷 读书迷 总计 男 40 15 55 女 20 25 45 总计 60 40 100 635. 6249. 8 45554060 )20152540(100 2 2 K， 有%99的把握认为“读书迷”与性别有关 4分 (2)将频率视为概率，则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率 5 2 P， 5 分 由题意可知) 5 2 , 3( BX， iii CiXP 3 3 ) 5 3 () 5 2 ()(3 , 2 , 1 , 0 i) 7 分 X的分布列为： 9 分 X 0 1 2 3 P 125 27 125 54 125 3
4、6 125 8 期望 5 6 5 2 3)( npXE，方差 25 18 ) 5 2 1( 5 2 3)1()( pnpXD 12 分 仅供四川省简阳市石桥中学使用 仅供四川省简阳市石桥中学使用 整理得：0)()4( 2 2121 2 mxxkmxxk，42 22 km， 21 2 2121 4)(| 2 1 | 2 1 xxxxmxxmS AOB 1 4 4 |2 2 22 k mk m， 11 分 综上所述，AOB 的面积为定值1 12 分 21解： （1） 22 ( )e sine cos2sincos 22 xxx fxxxaexxa 2e sin 4 x xa ， 1 分 ( )2e
5、 sinco2 44 se xx fxxx 2esin 4 22 cos 224 x xx s2e co x x， 2 分 当 0, 4 x 时，cos0x ，e0 x ，则 ( )0fx ， 所以函数( )fx 在 0, 4 上单调递增， 3 分 若 f x 在 0, 4 上单调递增，则 ( )0fx 在 0, 4 上恒成立， 所以(0)2sin101 4 faaa ； 4 分 （2）由(1)知( )2e sin 4 x fxxa ，( )2e cos x fxx， 5 分 当 3 0, 4 x 时，e0 x 恒成立， 当 0,) 2 x 时，cos0x ，此时 ( )0fx ；当 2 x
6、时， ( )cos0 2 fx ， 当 3 , 24 x 时，cos0x，此时 ( )0fx ， 所以函数( )fx 在 0,) 2 上单调递增，在 3 , 24 上单调递减， 6 分 而1a ，则 (0)10fa ， 2 e0 2 fa ， 3 00 4 fa ， 则函数( )fx 在 3 , 24 上有且仅有一个零点，设该零点为 0 x， 7 分 则 0 0,)xx 时， ( )0fx ， 0 3 , 4 xx 时， ( )0fx ， 所以函数 ( )f x 在 0 0,)x 上单调递增， 0 3 , 4 x 上单调递减， 8 分 因为 (0)0f ， 3 4 323 e 424 a f
7、， 仅供四川省简阳市石桥中学使用 当0a 时， 3 4 323 e0 424 a f ， 9 分 当01a时， 2 3 2 4 3232325 e3 4242422 aa fea 25 3 8 a 10 分 因为 2525 330 88 a，所以 3 0 4 f ， 因为 3 (0) 4 ff ，所以 3 0, 4 x 时， min ( )(0)0f xf ， 11 分 即对任意的 3 0, 4 x ，均有 ( )0f x . 12 分 22解： （1）由条件知消去参数得到曲线 1 C的普通方程为 2 2 39xy. 2 分 因 4cos0 可化为 2 4 cos0，又 222 xy，cosx
8、， 3 分 代入得 22 40xyx，于是曲线 2 C的直角坐标方程为 22 40xyx. 5 分 （2）由条件知曲线 1 C， 2 C均关于x轴对称，而且外切于原点O， 不妨设 1, 0 2 A ，则 2, 2 B ， 6 分 因曲线 1 C的极坐标方程为6cos ， 所以 1 6cos ， 2 4cos4sin 2 ， 7 分 于是 12 11 6cos4sin6sin26 22 AOB S， 9 分 所以当 4 时，AOB面积的最大值为 6. 10 分 23解：(1) 2, 43 21 , 1, 43 |2|1|)( xx xx xx xxaxf， 1 分 )(xf在)1 ,(上单调递减
9、，在), 1( 上单调递增， 2 分 又4) 3 8 ()0( ff，故4)( xf的解集为 3 8 0| xx； 4 分 (2)若1 a， | )()1( |1|)1(|1|1|)1()(axxxaaxxxaxf 1|1|1|1|)1( aaaxa， 当且仅当1 x时取等号，故只需11 a，解得2 a， 6 分 若1 a，|1|2)( xxf，10)1( f，不合题意， 7 分 若10 a， | )1(|1|)(axaaxaxaxf | )1(| )()1( |axaaxxa )1(|1| )1(|1|aaaaaxaaa ， 当且仅当ax 时取等号，故只需1)1( aa，这与10 a矛盾，舍， 9 分 综上所述，a的取值范围是), 2 10 分 仅供四川省简阳市石桥中学使用
