1、 - 1 - 四川省成都市双流区 2017-2018学年高一数学下学期开学考试试题 第 一部分 （选择题共 60分） 一 选择题：本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设集合 1,2,3,4A? ， 集合 2,1,2B? ， 则 AB? （ ） A ? B 1,2 C 2,2? D 2,1,2,3? 2.sin390? 的值为 （ ） A 32 B 12 C 32? D 12? 3.已知函数2lg , 0() 6, 0xxfx xx? ? ?， 则 ( ( 4)ff?（ ） A -3 B 0 C 1 D -1 4.角
2、? 终边 落在直线 xy 2? 上， 则 tan2? （ ） A 2 B 12 C. 43? D 43 5.函数 2() xf x x e?的零点个数为 （ ） A 0 B 1 C.2 D 3 6.已知函数 ( ) sin 1f x x x? ? ?， 若 ( ) 3fa? ， 则 ()fa? 的值为 （ ） A 0 B 3 C.4 D 5 7已知 21tan ? ，则 ? ?22 cossin cossin2 ?的值是 （ ） A 34? B 3 C 34 D 3? 8 已知1.2 0.8 612 , ( ) , 2 l og 22a b c? ? ?，则,abc的大小关系为 （ ） A c
3、 b a?Bc a bCb c a?Dbac9.已知 3cos( ) 5?， 1sin( )63? ?， 且 ,?均为锐角 ， 则 sin( )6?（ ） A 8 2 315? B 8 2 415? C. 8 3 215? D 8 4 215? - 2 - 10.已知函数 ( 2 6 ) 1, 1()lo g , 1a a x xfx xx? ? ? ? ?， 对 12, ( , )xx? ? ? ?， 总有1212( ) ( ) 0f x f xxx? ? 12()xx? 成立 ， 则实数 a 的取值范围是 （ ） A 1( ,1)3 B 1(0, )3 C. 11( , 32 D 1 ,1
4、)2 11.在平面直角坐标系中 ， 点 O(0， 0)， P(6， 8)， 将向量 OP 绕 点 O 按逆时针方向旋转 34 后得向量 OQ ， 则点 Q的坐标是 ( ) A ( 7 2， 2) B ( 7 2， 2) C ( 4 6， 2) D ( 4 6， 2) 12.已知函数?3,l o g130,l o g)(33xxxxxf， 若 )()()( cfbfaf ? 且 cba ? ， 则cabcab ? 的取值范围为 （ ） A )4,1( B )5,1( C )7,4( D )7,5( 第 二部分 （非选择题 共 90 分） 二、 填空题：本大题共 4小题；每小题 5分，共 20分
5、. 13.已知幂函数 ()y f x? 的图像过点 (8,2) ， 则 ( 64)f ? 14.已知集合 | 2 5A x x? ? ? ?， | 1 2 1B x m x m? ? ? ? ?， 若 BA? ， 则实数 m 的取值范围是 15.已知 ()fx为偶函数 ， 当 0x? 时 ，1c o s , 0 , 2()12 1 , ( , )2xxfxxx? ? ? ? ? ?， 则不等式 1( 1) 2fx? 的解集为 16 若函数 ?xf 同时满足：对于定义域上的任意，恒有 ? ? ? ? 0? xfxf ； 对于定义域上的任意 21,xx ，当 21 xx? 时，恒有 ? ? ? ?
6、 02121 ? xx xfxf ； 则称函数 ?xf 为“理想函数” 下列四个函数中： ? ? xxf 1? ； ? ? 2xxf ? ； ? ? 12 12 ?xxxf ； - 3 - ? ? ? ? 002 2 xx xxxf ，能被称为“理想函数”的有 （填相应的序号） 三、解答题 ：本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.（本题满分 10分） 已知全集 RU? ，集合 ? 42A ? xx , ? 41B ? xx （ 1） 求 )C(A UB? ； （ 2） 若集合 4| axaxC ? ，且 BC? ，求实数 a 的取值范围 18.（本题
7、满分 12分） 已知 2s in ( ) c o s ( 2 ) ta n ( )()s in ( ) ta n ( 3 )f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. （ 1） 化简 ()f? ； （ 2） 若 1()8f ? ? ， 且 42? ，求 cos sin? 的值 19.（本题满分 12分） 已知函数 2 1( ) 3 s i n c o s c o s 2f x x x x? ? ?. （ 1）求 ()4f? 的值 ； （ 2）求 ()fx的单调递增区间 ； - 4 - （ 3）当 5 , 4 12x ? 时 ， 求 ()fx的值域 .
8、20.（本题满分 12分） 函数 f(x) 6cos2 x2 3sin x 3( 0)在一个周期内的图象如图所示 ， A 为图象的最高点 ， B， C为图象与 x轴的交点 ， 且 ABC为正三角形 (1)求 的值及函数 f(x)的值域； (2)若 f(x0) 8 35 ， 且 x0 )32,310(? ， 求 f(x0 1)的值 21.（本题满分 12分） 近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车 公司“ Mobike” 计划在甲 、 乙两座城市共投资 120 万元，根据行业规定，每个城市至少要投资 40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益 P 与投入 a （单
9、位：万元）满足 623 ? aP ，乙城市收益 Q 与投入 a （单位：万元）满足 241Q ? a ， 设甲城市的投入为 x （单位：万元），两个城市的总收益为 )(xf （单位：万元） （ 1）当甲城市投资 50万元时，求此时公司总收益； （ 2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？ - 5 - 22.（本题满分 12分） 已知函数 4( ) lg 4 xfx x? ? ， 其中 ( 4,4)x? . （ 1）判断并证明函数 ()fx的奇偶性 ； （ 2）判断并证明函数 ()fx在 ( 4,4)? 上的单调性 ； （ 3）是否存在这样的负实数 k ， 使 22( c o s
10、 ) ( c o s ) 0f k f k? ? ? ?对一切 R? 恒成立 ，若存在 ， 试求出 k 取值的集合 ； 若不存在 ， 说明理由 . - 6 - 参考答案 一、选择题（每小题 3 分，共 36 分 ） 二、填空题（每小题 3 分，共 12 分 ） 13 -4 14 2 15 ,3? 16. 17 解： (1) ? ? 242A ? xxx x ? 41C U ? xxxB 或）（ ? ? ? 1)( ? xxBCA U? ? （ 2）当 ?C 时 ， 即 aa4 ? ，所以 2a? ，此时 BC? 满足题意 2?a 当 ?C 时 ， aa4 ? ，即 2a? 时， 所以?4142
11、aaa ，解得： 32 ?a 综上， 实数 a的取值范围 是 ? 3?aa 18 解： (1)f( ) sin2 cos tan （ sin ）（ tan ） sin cos .-5分 (2)由 f( ) sin cos 18可知， (cos sin )2 cos2 2sin cos sin2 1 2sin cos 1 2 18 34 又 4 2， cos sin ，即 cos sin 0. cos sin 32 . 19.解：（ 1） 2 1( ) 3 s i n c o s c o s 2f x x x x? ? ?， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B C D
12、C D C A A C A D - 7 - 2 1( ) 3 s i n c o s c o s4 4 4 4 2f ? ? ? ? ? ?， 3 1 1 32 2 2 2? ? ? ?. （ 2）由 2 1( ) 3 s i n c o s c o s 2f x x x x? ? ? 3 1 1s in 2 ( c o s 2 1 )2 2 2xx? ? ? ? sin(2 )6x ?， 当 2 2 22 6 2k x k? ? ? ? ? ? ?， kz? 时 ， 函数单调递增 ， 解得函数的单调增区间为 , ( )63k k k z? ? ? （ 3） 5 , 4 12x ? ， 223
13、 6 3x? ? ? ? ? ， 3 sin (2 ) 126x ? ? ?， 故函数的值域为 3 ,12 . 20.解： (1)由已知可得 ， f(x) 3cos x 3sin x 2 3sin? ? x 3 . 易知正三角形 ABC的高为 2 3， 从而 BC 4. 所以函数 f(x)的最小正周期 T 4 2 8， 即 2 8， 则 4. 所以函数 f(x)的值域为 2 3， 2 3 (2)已知 f(x0) 8 35 ， 由 (1)得 f(x0) 2 3sin? ? x04 3 8 35 ， 即 sin? ? x04 3 45. 由 x0 ? ? 103 ， 23 ， 知 x04 3 ?
14、? 2， 2 ， 所以 cos? ? x04 3 1 ? ?452 35. 故 f(x0 1) 2 3sin? ? x04 4 3 2 3sin? ? ? x04 3 4 2 3?sin? ? x04 3 cos4 ?cos? ? x04 3 sin4 2 3? ?45 22 35 22 7 65 . 21.解：（ 1）当 50?x 时 ，此时甲城市投资 50 万元，乙城市投资 70 万元 - 8 - 所以总收益 2704165023)50( ?f =43.5（万元）? （ 2）由题知，甲城市投资 x 万元，乙城市投资 )120( x? 万元 所以 2)120(41623)( ? xxxf 2
15、62341 ? xx 依题意得? ? 4012040xx， 解得 8040 ?x 故 262341)( ? xxxf )8040( ?x 令 xt? ，则 54,102?t （ 评分细则说明： 1.函数 )(xf 定义域没写扣 1分） 所以 4426(41262341 22 ? ）ttty 当 26?t ， 即 72?x 万元时 ， y 的最大值为 44万元， 所以当甲城市投资 72 万元，乙城市投资 48 万元时，总收益最大，且最大收益为 44万元 22.解：（ 1） 44( ) l g l g ( )xxf x f x? ? ? ? ? ?， ()fx是奇函数 . （ 2） ()fx在 (
16、 4,4)? 上为减函数 . 证明 ： 任取 12, ( 4,4)xx? 且 12xx? ， 则 1212 44( ) ( ) l g l gxxf x f x ? ? ?1244lg xx? 2 1 1 21 2 1 21 6 4 ( )lg 1 6 4 ( )x x x xx x x x? ? ? ? ? ?， 2 1 1 216 4( )x x x x? ? ? 2 1 1 26 4 ( ) 0x x x x? ? ? ? ?， 2 1 1 21 2 1 21 6 4 ( ) 11 6 4 ( )x x x xx x x x? ? ? ? ? ?， 得 12( ) ( ) 0f x f
17、x?， 得到 12( ) ( )f x f x? ， ()fx在 ( 4,4)? 上为减函数 ； - 9 - （ 3） 22( c o s ) ( c o s )f k f k? ? ? ?22( cos )fk ? ， ()fx在 ( 4,4)? 上为减函数 ， 222204 c os 44 c os 4c os c oskkkkk? ? ? ? ? ? ? ? ? ?对 R? 恒成立 由 22co s co skk? ? ?对 R? 恒成立得 ： 22co s co skk ? ? ?对 R? 恒成立 ， 令 2211c o s c o s ( c o s )42y ? ? ? ? ? ? ?， cos 1,1? ， 1 2, 4y? ， 2 2kk? ? ， 得 1k? ， 由 4 cos 4k ? ? ? ?对 R? 恒成立得 ： 33k? ? ? ， 由 224 co
