1、 - 1 - 上海市 2016-2017学年高一数学下学期期中试卷 一 .填空题 1弧度数为 3的角的终边落在第 象限 2 = 3若函数 f（ x） =asinx+3cosx的最大值为 5，则常数 a= 4已知 an为等差数列， Sn为其前 n项和，若 a1=8， a4+a6=0，则 S8= 5在 ABC中， ， ，则 = 6函数 的图象可由函数 的图象至少向右平移 个单位长度得到 7方程 3sinx=1+cos2x的解集为 8已知 是第四象限角，且 ，则 = 9无穷数列 an由 k 个不同的数组成， Sn为 an的前 n 项和，若对任意 n N*， Sn 1， 3，则 k的最大值为 10在锐
2、角 ABC中，若 sinA=3sinBsinC，则 tanAtanBtanC 的最小值是 二 .选择题 11已知 ， ， ，则 = （ ） A B C D 12函数 y=Asin（ x + ）的部分图象如图所示，则（ ） A B C D 13 “sin 0” 是 “ 为第三、四象限角 ” 的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不 充分也不必要条件 - 2 - 14已知函数 f（ x） =sin（ x + ）（ 0， | | ）， x= 为 f（ x）的零点， x= 为y=f（ x）图象的对称轴，且 f（ x）在（ ， ）上单调，则 的最大值为（ ） A 11 B 9
3、 C 7 D 5 三 .简答题 15在 ABC中， a2+c2=b2+ ac （ 1）求 B 的大小； （ 2）求 cosA+ cosC的最大值 16已知 an是等比数列，前 n项和为 Sn（ n N*），且 = ， S6=63 （ 1）求 an的通项公式； （ 2）若对任意的 n N*， bn是 log2an和 log2an+1的等差中项，求数列 （ 1） nb 的前 2n 项和 17已知函数 ； （ 1）求 f（ x）的定义域与最小正周期； （ 2）求 f（ x）在区间 上的单调性与最值 18已知方程 ； （ 1）若 ，求 的值； （ 2）若方程有实数解，求实数 a的取值范围； （ 3）若
4、方程在区间上有两个相异的解 、 ，求 + 的最大值 - 3 - 2016-2017 学年上海市华东师大二附中高一（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一 .填空题 1弧度数为 3的角的终边落在第 二 象限 【考点】 G3：象限角、轴线 角 【分析】判断角的范围，即可得到结果 【解答】解：因为 3 ，所以 3弧度的角终边在第二象限 故答案为：二 2 = 【考点】 GI：三角函数的化简求值 【分析】利用二倍角公式、诱导公式，求得所给式子的值 【解答】解： =cos = cos = ， 故答案为： 3若函数 f（ x） =asinx+3cosx的最大值为 5，则常数 a= 4 【考点】 HW：三角
5、函数的最值 【分析】利用辅助角公式基本公式将函数化为 y=Asin（ x + ）的形式，结合三角函数的图象和性质，可 得最大值 【解答】解：函数 f（ x） =asinx+3cosx= sin（ x+ ），其中 tan= sin（ x+ ）的最大值为 1 函数 f（ x）的最大值为 ，即 =5 可得： a= 4 故答案为： 4 4已知 an为等差数列， Sn为其前 n项和，若 a1=8， a4+a6=0，则 S8= 8 - 4 - 【考点】 85：等差数列的前 n项和 【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出 【解答】解：设等差数列 an的公差为 d， a1=8， a4+a6=0， 2
6、 8+8d=0，解得 d= 2 则 S8=8 8 2 =8 故答案为： 8 5在 ABC中， ， ，则 = 【考点】 HP：正弦定理 【分析】由正弦定理可求 sinC 的值，结合 C 的范围可求 C，利用三角形内角和定理可求 B，由正弦定理及比例的性质即可计算得解 【解答】解： ， ， 由正弦定理 ，可得： = ，解得： sinC= ， C为锐角，可得 C= ， 由 A+B+C= ，可得： B= ， = = = 故答案为： 6函数 的图象可由函数 的图象至少向右平移 个单位长度得到 【考点】 HJ：函数 y=Asin（ x + ）的图象变换 【分析】令 f（ x） = sinx+cosx=2s
7、in（ x+ ），则 f（ x ） =2sin（ x+ ），依题意可得 2sin（ x+ ） =2sin（ x ），由 =2k （ k Z），可得答案 【解答】解： y=f（ x） = sinx+cosx=2sin（ x+ ）， y=sinx cosx=2sin（ x ）， f（ x ） =2sin（ x+ ）（ 0）， - 5 - 令 2sin（ x+ ） =2sin（ x ）， 则 =2k （ k Z）， 即 = 2k （ k Z）， 当 k=0时， 正数 min= ， 故答案为： 7方程 3sinx=1+cos2x的解集为 【考点】 GI：三角函数的化简求值 【分析】由题意利用同角三角函
8、数的基本关系求得 sinx= ，由此求得 x的取值范围 【解答】解：方程 3sinx=1+cos2x，即 3sinx=1+1 2sin2x，即 2sin2x+3sinx 2=0， 求得 sinx= 2（舍去），或 sinx= ， x ， 故答案为： 8已知 是第四象限角，且 ，则 = 【考点】 GR：两角和与差的正切函数 【分析】由 得范围求 得 + 的范围，结合已知求得 cos（ + ），再由诱导公式求得sin（ ）及 cos（ ），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得 tan（ ）的值 【解答】解： 是第四象限角， +2k 2k ，则 +2k + +2k ， k Z， 又 sin（
9、 + ） = ， cos（ + ） = = - 6 - cos（ ） =sin（ + ） = ， sin（ ） =cos（ + ） = 则 tan（ ） = tan（ ） = = 故答案为： 9无穷数列 an由 k 个不同的数组成， Sn为 an的前 n 项和，若对任意 n N*， Sn 1， 3，则 k的最大值为 4 【考点】 8H：数列递推式 【分析】根据 a1 1， 3， an=Sn Sn 1（ n 2），即可得出结论 【解答】解： 对任意 n N*， Sn 1， 3， a1=S1 1， 3， a1=1或 a1=3， 当 n 2 时， an=Sn Sn 1， an可能的值只有 0， 2，
10、 2，三种情况， 故数列 an最多有 1， 0， 2， 2，或 3， 0， 2， 2四个数字组成， 故答案为 4 10在锐角 ABC中，若 sinA=3sinBsinC，则 tanAtanBtanC 的最小值是 12 【考点】 GR：两角和与差的正切函数 【分析】结合三角形关系和式子 sinA=2sinBsinC 可推出 sinBcosC+cosBsinC=3sinBsinC，进而得到 tanB+tanC=3tanBtanC，结合函数特性可求得最小值 【解答】解：由 sinA=sin（ A） =sin（ B+C） =sinBcosC+cosBsinC， sinA=3sinBsinC， 可得 s
11、inBcosC+cosBsinC=3sinBsinC， 由三角形 ABC为锐 角三角形，则 cosB 0， cosC 0， 在 式两侧同时除以 cosBcosC可得 tanB+tanC=3tanBtanC， 又 tanA= tan（ A） = tan（ B+C） = ， 则 tanAtanBtanC= ?tanBtanC， 由 tanB+tanC=3tanBtanC，可得 tanAtanBtanC= ， - 7 - 令 tanBtanC=t，由 A， B， C为锐角可得 tanA 0， tanB 0， tanC 0， 由 式得 1 tanBtanC 0，解得 t 1， tanAtanBtanC
12、= = ， =（ ） 2 ，由 t 1得， 0， 因此 tanAtanBtanC的最小值为 12 故答案为： 12 二 .选择题 11 已 知 ， ，则 = （ ） A B C D 【考点】 GQ：两角和与差的正弦函数 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 cos（ ）， cos ，进而由 sin= sin，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解 【解答】解： ， （ ， ）， cos （ ）= = ， 又 ，可得： cos = ， sin= sin= sin（ ） cos +cos（ ） sin= （ ） + = ， 故选： C 12函数 y=Asin（ x + ）的部分图象如图所示，
13、则（ ） - 8 - A B C D 【考点】 HK：由 y=Asin（ x + ）的部分图象确定其解析式 【分析】首先，根据图形，得到振幅 A=2，然后，根据周期公式，得到 =2 ，从而得到 f（ x）=2sin（ 2x+ ），然后，将点（ ， 2）代入，解得 ，最后，得到 f（ x） 【解答】解 ：据图， A=2， ， T= ， T= ， =2 ， f（ x） =2sin（ 2x+ ）， 将点（ ， 2）代入上式，得 = ， f（ x） =2sin（ 2x ）； 故选 A 13 “sin 0” 是 “ 为第三、四象限角 ” 的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既
14、不充分也不必要条件 【考点】 2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】由 为第三、四象限角，可得 sin 0反之不成立，即可判断出结论 【解答】解：由 为第三、四象限角，可得 sin 0反之不成立，例如 故选： B - 9 - 14已知函数 f（ x） =sin（ x + ）（ 0， | | ）， x= 为 f（ x）的零点，x= 为 y=f（ x）图象的对称轴，且 f（ x）在（ ， ）上单调，则 的最大值为（ ） A 11 B 9 C 7 D 5 【考点】 H6：正弦函数的对称性 【分析】根据已知可得 为正奇数，且 12，结合 x= 为 f（ x）的零点， x=为 y=f（ x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合 f（ x）在（ ， ）上单调，可得 的最大值 【解答】解： x= 为 f（ x）的零点， x= 为 y=f（ x）图象的对称轴， ，即 ，（ n N） 即 =2n +1，（ n N） 即 为正奇数， f（ x）在（ ， ）上单调，则 = ， 即 T= ，解得： 12， 当 =11 时， +=k ， k Z， | | ， = ， 此时 f（ x）在（ ， ）不单调，不满足题意； 当 =9 时， +=k ， k Z， | | ， = ， 此时 f（ x）在（ ， ）单调，满足题意； 故 的最大值为 9， - 10 - 故选： B 三 .简答题 15
