1、 - 1 - 2016-2017 学年湖北省华中师大一附中高一（下）期中数学试卷 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知等比数列 an满足： a3?a7= ，则 cosa5=（ ） A B C D 2 ABC中， a， b， c分别为角 A， B， C的对边， a= ， b= ， B=45 ，则角 C的大小为（ ） A 15 B 75 C 15 或 75 D 60 或 120 3已知向量 =（ 1， 2）， =（ 3， 1）， =（ k， 4），且（ ） ，则 ?（ + ） =（ ） A（ 2， 12）
2、B（ 2， 12） C 14 D 10 4已知数列 an的通项为 an= ，则满足 an+1 an的 n的最大值为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 5 ABC的三内角 A， B， C所对边的长分别为 a， b， c设向量 =（ a+c， b）， =（ b a，c a），若向量 ，则角 C的大小是（ ） A B C D 6等差数列 an的前 n项和为 Sn，已知 a5=8， S3=6，则 S10 S7的值是（ ） A 24 B 48 C 60 D 72 7已知 =（ 1， 1）， = ， = + ，若 OAB 是以点 O 为直角顶点的等腰直角三角形，则 OAB的面积为（ ） A 2 B 4
3、 C 2 D 8一个正整数数表如表所示（表中 下一行中数的个数是上一行中数的个数的 2 倍），则第 9行中的第 6个数是（ ） 第 1行 1 第 2行 2 3 第 3行 4 5 6 7 ? ? A 132 B 261 C 262 D 517 - 2 - 9在 ABC中，三个内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c已知 2acosB=c，且满足 sinAsinB（ 2 cosC） =sin2 + ，则 ABC为（ ） A锐角非等边三角形 B等边三角形 C等腰直角三角形 D钝角三角形 10在 ABC中， AB=2， BC=3， ABC=60 ， AD为 BC边上的高， O为 AD的中点，
4、若 ，则 += （ ） A 1 B C D 11设数列 an满足 a1=2， an+1=1 ，记数列 an的前 n项之积为 Tn，则 T2018=（ ） A 1 B 2 C D 12已知 ABC周长为 6， a， b， c 分别为角 A， B， C的对边，且 a， b， c成等比数列，则? 的取值范围为（ ） A 2， 18） B（ ， 2 C 2， ） D（ 2， 9 3 ） 二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13已知向量 ， 满足 =（ 1， ）， ?（ ） = 3，则向量 在 方向上的投影为 14已知数列 an的前 n项和 Sn=3n 2，求 an的通项公式 1
5、5如图，在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 60 ，沿倾斜角为 15 的斜坡向上走 200 米到 B，在 B处测得山顶 P的仰角为 75 ，则山高 h= 米 16已知数列 an的前 n项和为 Sn，对任意 n N+， Sn=（ 1） nan+ +n 3且（ t an+1）（ tan） 0恒成立，则实数 t的取值范围是 三、解答题：（本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17设正项等比数列 an的前 n项和为 Sn，且满足 S3=3a3+2a2， a4=8 （ 1）求数列 an的通项公式； - 3 - （ 2）设数列 bn=log2an， 数列 bn的前 n项和
6、为 Tn，求使得 Tn取最大值的正整数 n的值 18在 ABC中， a， b， c分别为角 A， B， C的对边， （ 1）求角 A的度数； （ 2）若 ，求 ABC的面积 19已知向量 满足 ， | |=1， |k + |= | k |， k 0 （ 1）求 与 的夹角 的最大值； （ 2）若 与 共线，求实数 k的值 20 如 图 ， 某 小 区 准 备 将 闲 置 的 一 直 角 三 角 形 地 块 开 发 成 公 共 绿 地 ， 图 中设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道 MN对称的三角形（ AMN 和 AMN）现考虑方便和绿地最大化原则，要
7、求点 M与点 A， B均不重合， A落在边 BC 上且不与端点 B， C重合，设 AMN= （ 1）若 ，求此时公共绿地的面积； （ 2）为方便小区居民的行走，设计时要求 AN， AN 的长度最短，求此时绿地公共走道 MN 的长度 21已知数列 an满足 （ n N*）， a1=1 （ 1）证明：数列 为等差数列，并求数列 an的通项公式； （ 2）若记 bn为满足不等式 的正整数 k 的个数，数列 的前 n项和为 Sn，求关于 n的不等式 Sn 4032的最大正整数解 22已知数列 an满足 a1=1，点（ an， an+1）在直线 y=2x+1上 （ 1）求数列 an的通项公式； - 4
8、- （ 2）若数列 bn满足 b1=a1， = +? + （ n 2且 n N*），求 bn+1an（ bn+1） an+1的值； （ 3）对于（ 2）中的数列 bn，求证：（ 1+b1）（ 1+b2） ? （ 1+bn） b1b2?b n（ n N*） - 5 - 2016-2017 学年湖北省华中师大一附中高一（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知等比数列 an满足： a3?a7= ，则 cosa5=（ ） A B C D 【考点】 88：等比数列的通项公式；
9、GI：三角函数的化简求值 【分析】 直接利用等比数列的性质结合已知求得 则答案可求 【解答】 解：在等比数列 an中， 由 a3?a7= ，得 ， cosa5=cos（ ） = 故选： B 2 ABC中， a， b， c分别为角 A， B， C的对边， a= ， b= ， B=45 ，则角 C的大小为（ ） A 15 B 75 C 15 或 75 D 60 或 120 【考点】 HP：正弦定理 【分析】 由已知及正弦定理可得 sinA= ，结合范围 A （ 45 ， 180 ），可求 A，利用三角形内角和定理可求 C 的值 【解答】 解： a= ， b= ， B=45 ， 由正弦定理可得： s
10、inA= = = ， A （ 45 ， 180 ）， A=60 ，或 120 ， C=180 A B=15 或 75 故选： C - 6 - 3已知向量 =（ 1， 2）， =（ 3， 1）， =（ k， 4），且（ ） ，则 ?（ + ） =（ ） A（ 2， 12） B（ 2， 12） C 14 D 10 【考点】 9R：平面向量数量积的运算 【分析】 由已知求出 ， 的坐标，再由 （ ） 列式求得 k 值，得到 ，然后利用数量积的坐标运算求得 ?（ + ） 【解答】 解： =（ 1， 2）， =（ 3， 1）， =（ k， 4）， =（ 4， 1）， =（ 2， 3）， （ ） ， 4k
11、+4=0，解得 k=1 ，则 ?（ + ） =（ 1， 4） ?（ 2， 3） =1 2+4 3=14 故选： C 4已知数列 an的通项为 an= ，则满足 an+1 an的 n的最大值为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 【考点】 82：数 列的函数特性 【分析】 an= ， an+1 an， ，化为： 对 n 分类讨论即可得出 【解答】 解： an= ， an+1 an， ，化为： 由 9 2n 0， 11 2n 0， 11 2n 9 2n，解得 n ? 由 9 2n 0， 11 2n 0，解得 ，取 n=5 由 9 2n 0， 11 2n 0， 11 2n 9 2n，解得 n ?
12、因此满足 an+1 an的 n的最大值为 5 故选： C 5 ABC的三内角 A， B， C所对边的长分别为 a， b， c设向量 =（ a+c， b）， =（ b a，c a），若向量 ，则角 C的大小是（ ） - 7 - A B C D 【考点】 HR：余弦定理； 96：平行向量与共线向量 【分析】 因为 ，根据向量平行定理可得（ a+c）（ c a） =b（ b a），展开即得 b2+a2 c2=ab，又根据余弦定理可得角 C的值 【解答】 解： （ a+c）（ c a） =b（ b a） b2+a2 c2=ab 2cosC=1 C= 故选 B 6等差数列 an的前 n项和为 Sn，已知
13、 a5=8， S3=6，则 S10 S7的值是（ ） A 24 B 48 C 60 D 72 【考点】 8F：等差数列的性质； 85：等差数列的前 n项和 【分析】 利用条件 a5=8， S3=6，计算等差数列的首项，公差，进而可求 S10 S7的值 【解答】 解：设等差数列的首项为 a1，公差为 d a5=8， S3=6， S10 S7=a8+a9+a10=3a1+24d=48 故选 B 7已知 =（ 1， 1）， = ， = + ，若 OAB 是以点 O 为直角顶 点的等腰直角三角形，则 OAB的面积为（ ） A 2 B 4 C 2 D 【考点】 9V：向量在几何中的应用 【分析】 根据
14、OAB是以 O为直角顶点的等腰直角三角形，得到向量垂直和向量模长相等的条件，利用向量数量积的定义进行求解即可 【解答】 解：若 OAB是以 O为直角顶点的等腰直角三角形， - 8 - 则 ，即 ? =0， 则（ ） ?（ + ） =0， 即 | |2 | |2=0， 则 | |=| |= ， 又 | |=| |， 即 | |=| + |， 平方得 | |2+| |2 2 ? =| |2+| |2+2 ? ， 得 ? =0， 则 | |2=| |2+| |2 2 ? =| |2+| |2=2+2=4， 则 | |=2， 则 OAB的面积 S= | |?| |= 2 2=2 故选： A 8一个正整
15、数数表如表所示（表中下一行中数的 个数是上一行中数的个数的 2 倍），则第 9行中的第 6个数是（ ） 第 1行 1 第 2行 2 3 第 3行 4 5 6 7 ? ? A 132 B 261 C 262 D 517 【考点】 F1：归纳推理 【分析】 先根据题意可知第 n 行有 2n 1个数，此行最后一个数的为 2n 1，求出第 8 行的最后一个数，从而求出所求 【解答】 解：根据题意可知第 n行有 2n 1个数，此行最后一个数的为 2n 1 那么第 8行的最后一个数是 28 1=255， 该数表中第 9行的第 6 个数是 261， 故选： B 9在 ABC中，三个内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c已知 2acosB=c，且满足 sinAsinB- 9 - （ 2 cosC） =sin2 + ，则 ABC为（ ） A锐角非等边三角形 B等边三角形 C等腰直角三角形 D钝角
