1、 合合肥市肥市20202020届高三第一次教学质量检测数学试题届高三第一次教学质量检测数学试题( (理科理科) ) 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共1212小题，每小题小题，每小题5 5分，共分，共6060分分. . 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共4 4小题，每小题小题，每小题5 5分分，共，共2 20 0分分. . 13.-2 14. 3 或 2 3 15.72 16.6， 1 6 4n (第一空2分，第二空3分) 三、解答题：三、解答题：大题共大题共6 6小题，小题，满分满分7 70 0分分. . 1717. .( (本小题满分本小题满分1212分分)
2、 ) 解：(1)在ABC中， sinsinsin abc ABC ，且coscos2 cos0aC cAbB， sincossincos2sincos0ACCABB， sin12cos0BB， 又sin0B ， 2 cos 2 B . B是三角形的内角， 3 4 B . 5分 (2)在ABM中， 3 15 4 BMAMBABc ， 由余弦定理得 2 22 2cosAMcBMc BMB， 2 240cc， 0c ，2c . 在ABC中，2a ，2c ， 3 4 B ， ABC的面积 1 sin1 2 SacB. 12分 18.(18.(本小题满分本小题满分1212分分) ) (1)依题意，学校选
3、择“科技体验游”的概率为 2 5 ，选择“自然风光游”的概率为1 5 ， 若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的 概率为： 22 22 33 211218 5555125 PCC . 5分 (2)X可能取值为0，1，2，3. 则 3 0 3 327 0 5125 P XC ， 2 1 3 2354 1 55125 P XC ， 2 2 3 2336 2 55125 P XC ， 3 3 3 28 3 5125 P XC ， X的分布列为 X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 27543686 0123 12
4、51251251255 EX . 12分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C D D B A B A C C B 或解：随机变量X服从 2 3 5 XB ， 26 3 55 EXnp . 12分 1 19 9.(.(本小题满分本小题满分1212分分) ) (1)连结 1 AC. 1 AAAC，四边形 11 AACC为菱形， 11 ACAC. 平面 11 AAC C 平面ABC，平面 11 AACC平面 ABCAC， BC 平面ABC，BC AC， BC 平面 11 AACC. 又 11 /BCBC， 11 BC 平面 11 AACC， 111 BCAC
5、. 1111 ACBCC， 1 AC 平面 11 ABC，而 1 AB 平面 11 ABC， 1 AC 1 AB. 5分 (2)取 11 AC的中点为M，连结CM. 1 AAAC，四边形 11 AACC为菱形， 1 60A AC， 11 CMAC，CMAC. 又CMBC，以C为原点，CACBCM，为正方向建立空间直角坐标系，如图. 设1CB ，22ACCB， 1 AAAC， 1 60A AC， C(0，0，0)， 1 A(1，0，3)，A(2，0，0)，B(0，1，0)， 1 B(-1，1，3). 由(1)知，平面 11 C AB的一个法向量为 1 1 03CA ，. 设平面 1 ABB的法向
6、量为nxyz，则 1 nAB nAB， 1 0 0 n AB n AB . 2 1 0AB ， 1 3 1 3AB ， 20 330 xy xyz . 令1x ，得 1 2 3 yz，即 1 1 2 3 n ， ，. 1 1 1 23 cos 416 2 3 CA n CA n CAn ， 二面角 11 CABB的余弦值为 3 4 . 12分 20.(20.(本小题满分本小题满分1212分分) ) (1)设椭圆的半焦距为c.由椭圆的离心率为 2 2 知，2bc ab，. 设圆 C 的半径为r，则 22 rabab， 2 232bb，解得3b ，6a ， 椭圆C的方程为 22 1 63 xy .
7、 5分 (2)MN，关于原点对称，PMPN，OPMN. 设 11 M xy， 22 P xy，. 当直线PM的斜率存在时，设直线PM的方程为ykx m. 由直线和椭圆方程联立得 2 2 26xkxm，即 222 124260kxkmxm， 12 2 2 12 2 4 21 26 21 km xx k m x x k . 11 OMxy， 22 OPxy， 12121212 OM OPx xy yx xkxmkxm 2 2222 1212 22 264 11 2121 mkm kx xkm xxmkkmm kk 22 2 322 0 21 mk k ， 22 220mk， 22 22mk， 圆
8、C 的圆心O到直线PM的距离为 2 2 1 m r k ，直线PM与圆 C 相切. 当直线PM的斜率不存在时，依题意得 11 ,Nxy， 11 ,P xy. 由PMPN得 11 22xy， 22 11 xy，结合 22 11 1 63 xy 得 2 1 2x ， 直线PM到原点O的距离都是2， 直线PM与圆 C 也相切. 同理可得，直线PN与圆 C 也相切. 直线PM、PN与圆 C 相切. 12分 21.(21.(本小题满分本小题满分1212分分) ) (1)由 2 1 0 x x f x e ，得1x ，函数的零点 0 1x . 2 21 x xx fx e ， 12fe ，10f . 曲线
9、 yf x在1x 处的切线方程为21ye x. 2 1f e ， 10f， 曲线 yf x在1x 处的切线方程为 2 1yx e .5分 (2) 2 21 x xx fx e . 当 1212 x ，时， 0fx；当 12 12x，时， 0fx. f x的单调递增区间为 12 12 ，单调递减区间为 12 12，. 由(1)知，当1x 或1x 时， 0f x ；当11x 时， 0f x . 下面证明：当1 1x ，时， 21e xf x. 当1 1x ，时， 2 1 11 212100 2 x x xx e xf xe xe e . 易知， 1 1 2 x x g xe 在1 1x ，上单调递
10、增， 而10g ， 10g xg对1 1x ，恒成立， 当1 1x ，时， 21e xf x. 由 21ye x ym 得1 2 m x e .记 1 1 2 m x e . 不妨设 12 xx，则 12 1121xx ， 1212212 1 2 m xxxxxxx e . 要证 12 1 21 2 xxm e ，只要证 2 1 121 22 m xm ee ，即证 2 1xm . 又 2 2 2 1 x x m e ，只要证 2 2 2 2 1 1 x x x e ，即 2 22 110 x xex. 2 12 1x ，即证 2 2 10 x ex. 令 11 xx xexxe，. 当 12
11、, 0x时， 0x， x为单调递减函数； 当0,1x时， 0x， x为单调递增函数. 00x， 2 2 10 x ex， 12 1 21 2 xxm e . 12分 22.(22.(本小题满分本小题满分1010分分) ) (1)曲线C的方程4cos6sin， 2 4 cos6 sin， 22 46xyxy， 即曲线C的直角坐标方程为： 22 2313xy. 5分 (2)把直线 2 3 2 : 2 1 2 xt l yt 代入曲线C得 2 2 22 1213 22 tt ， 整理得， 2 3 280tt. 2 3 2320 ，设 12 tt，为方程的两个实数根，则 12 3 2tt， 1 2 8t t ， 12 tt，为异号， 又点A(3，1)在直线l上， 2 1212121 2 4505 2AMANttttttt t. 10分 23.(23.(本小题满分本小题满分1010分分) ) 解：(1) 2f xxmx，220f xx mx的解集为 4， 2xmx，解得28m，即6m . 5分 (2)6m ，212ab c . 又0a ，0b ，3c ， 1223 113 2 abc abc 3 33 12231121 12 32 232323 abcabc ， 当且仅当1223abc ，结合212abc解得3a ，1b ，7c 时，等号成立， 113abc的最大值为32. 10分
