1、 1 玉溪一中 2017 2018 学年下学期高一年级期中考 数学试卷 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知全集 ，集合 ，集合 ，则( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 ,所以 ，故选 A. 考点：集合的运算 . 视频 2. 已知 ， ，且 ，则 点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 分析：设出 P点的坐标，根据要用的 点的坐标写出两个向量的坐标，根据所给的关于向量的等式，得到两个方程，解方程组即可得到要求的点的坐标 . 详解：设 P点的坐标为 ， M(3， 2)， N(
2、5， 1)，且 ， . 点 P 的坐标为 . 故选 ： B. 点睛 ： 本题考查相等向量和相反向量，是一个基础题，解题的关键是写出要用的向量的坐标，根据两个向量相等，得到向量坐标之间的关系 . 2 3. 下列命题中，一定正确的是 ( ) A. 若 ，且 ，则 B. 若 ，且 ，则 C. 若 ，且 ，则 D. 若 ，且 ，则 【答案 】 D 【解析】 【分析】 利用特例法和不等式基本性质逐一判断即可 . 【详解】 A a 0,b 0时 , ， 因此不成立 ； B a 0,b 0时 , ， 因此不成立 ； C取 a=5， b= 3， c=1， d= 6，满足 a b， c d，则 ac bd，不正
3、确 ； D 若 ，且 ，则 即 正确 故选： D 【点睛】 本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 4. 下列函数中，既是偶函数又在 单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，即可得到答案 【详解】 根据题意，依次分析选项： 对于 A， y= = ，为幂函数，其定义域为 x|x0 ，不是偶函数，不符合题意； 对于 B， y=x3，为幂函数，是奇函数，不符合题意； 对于 C， y=cosx，为偶函数，在（ 0， + ）不是增函数，不符合题意； 对于 D， y=ln|x|= ，为偶函数，且当
4、 x 0时， y=lnx，为增函数，符合题意； 故选： D 【点睛】 本题考查函数奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性 5. 已知等差数列 前 9项的和为 27， ，则 （ ） A. 11 B. 13 C. 15 D. 17 3 【答案】 B 【解析】 【分析】 由等差数列 an前 9项的和为 27， a10=8，列出方程组，求出 a1= 1， d=1，由此能求出 a15 【详解】 等差数列 an前 9 项的和为 27， a10=8， ， 解得 a1= 1， d=1， a15=a1+14d= 1+14=13 故选： B 【点睛】 本题主要考查等差数列的基本量的计算和通项公式
5、及求和公式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力 . 6. （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 根据诱导公式转化求解即可 【详解】 . 故选： D 【点睛】 本题考查诱导公式的应用：求值此类题一般依照 “ 负角化正角，大角化小角 ” 的顺序进行角的转化 7. 设 是无穷等差数列，公差为 ，其前 项和为 ，则下列说法正确的是（ ） A. 若 ，则 有最大值 B. 若 ，则 有最小值 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】 C 【解析】 【分析】 利用等差数列的通项公式、前 n项和公式的性质直接 求解 4 【详解】 由设 an是无穷等差数列，公差为
6、d，其前 n项和为 Sn，知： 在 A中，若 a1d 0，则 Sn没有最大值，故 A错误； 在 B中，若 a1d 0，则 Sn有最小值或最大值，故 B错误； 在 C中，若 0 a1 a2，则 d=a2 a1 0， =（ a1+d） 2= ， ， ，故 C正确； 在 D中，若 a1 0， 则（ a2 a1）（ a2 a3） = = + = d20 ， 故 D错误 故选： C 【点睛】 本题考查命题真假的判断，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算与求解能力，考查函数与方程思想，属于 中档题 8. 已知正数 满足 ，则 的最小值为 ( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】 B
7、【解析】 【分析】 由题意可得 =（ ） ?（ 4x+y），再利用基本不等式即可求出最小值 【详解】 因为 x， y都是正数， 所以 =（ ） ?（ 4x+y） = 2 +5=9， 当且仅当 y=2x= 时等号成立 则 的最小值为 9， 故选： B 5 【点睛】 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意运用乘 “1” 法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题 9. 某三棱锥的三视图 如下图所示，则该三棱锥的体积为 ( ) A. B. C. D. 1 【答案】 A 【解析】 试题分析：由图可得 ,故选 A. 考点：三视图 . 【方法点晴】本题主要考查三视图和锥体的体积，计算量较大，属
8、于中等题型 .应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正） ,主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐） ,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等） ,若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称 .此外本题应注意掌握锥体的体积公式 . 视频 6 10. 圆柱形容器的 内壁底半径是 10 ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了 ，则这个铁球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 容器的水面下降部分的容积即为球的体积，由此计算出球的半径，再根据球的表面积公式即可求解 【详解】 设实心铁球的半径为 R， 则 =
9、，解得 R=5， 故这个铁球的表面积为 S=4R 2=100cm 2 故选： D 【点睛】 本题考查球的表面积的求法，考查圆柱的体积和球的表面积、体积的计算等基础知识，考 查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于基础题 11. 中，三个内角 的对边分别为 ，若 成等差数列，且 ，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 【分析】 根据同角三角函数基本关系，算出 cosC= 再根据余弦定理 c2=b2+a2 2abcosC 的式子及2b=a+c，化简整理得到关于 b、 a的等式，解之即可得到 的值 【详解】 tanC=2 0，得 C为锐角 cosC
10、= = sinA ， sinB， sinC成等差数列，即 2sinB=sinA+sinC 7 根据正弦定理，得 2b=a+c 由余弦定理，得 c2=b2+a2 2abcosC 即 化简得 9b2 =10ab， = 故选： A 【点睛】 对于余弦定理一定要熟记两种形式：（ 1） ；（ 2） .另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住 ， ， 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用 . 12. 中，已知 ，且 ，则 是 ( ) A. 三边互不相等的三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 顶角为钝角的等腰三角形 【答案】 C 【解析】 【分析】 先根据（ + ） ? =0
11、 判断出 A 的角平分线与 BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得 B ，判断出三角形的形状 【详解】 （ + ） ? =0， ， 分别为单位向量， A的角平分线与 BC垂直， AB=AC ， cosB= ， B= ， B=C=A= ， 三角形为等腰直角三角形 8 故选： C 【点睛】 本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断考查了学生综合分析能力，属于中档题 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分 . 13. 已知 ，则 _. 【答案】 4. 【解析】 【分析】 利用分段函数，直接代入即可求值 【详解】 故答案为： 4 【点睛】 本题主要考查分段
12、函数的应用，注意分段函数的定义区间，利用变量范围直接代入即可，属于基础题 14. 函数 的图象与函数 的图象关于原点对称，则 _. 【答案】 . 【解析】 【分析】 先设函数 f（ x）上的点为（ x， y），根据（ x， y）关于原点的对称点为（ x， y）且函数y=f（ x）的图象与函数 g（ x） =log2x（ x 0） 的图象关于原点对称，得到 x与 y的关系式，即得答案 【详解】 设（ x， y）在函数 f（ x）的图象上 （ x， y）关于原点的对称点为（ x， y）， 所以（ x， y）在函数 g（ x）上 y=log2（ x） ?f（ x） = log2（ x）（ x 0）
13、故答案为 ： 【点睛】 本题主要考查对称的性质和对数的相关性质，比较简单，但是容易把与 f（ x） = log2（ x）（ x 0）搞混，其实 15. 中， ， ，且 的面积为 ，则 边上的高为 _. 9 【答案】 . 【解析】 【分析】 运用三角 形的面积公式 S= AB?ACsin BAC，解方程可得 AB，设 AB边上的高为 h，由 4h= ，可得所求高 【详解】 ABC中， BAC=135 ， ，且 ABC的面积为 ， 可得 AB?ACsinBAC= AB? ? = ， 解得 AB=4， 设 AB边上的高为 h， 则 4h= ， 可得 h= ， 故答案为： 【点睛】 本题考查三角形的面
14、积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题 16. 已知数列 的通项公式是 ， ，则 中的最大项的序号是_. 【答案】 9. 【解析】 【分 析】 利用作差法明确项的变化趋势从而得到最大项的序号 . 【详解】 令 an+1 an=（ 2n+3） （ 2n+1） = = 0 可得 n8.5 即 a n中的最大项的序号是 9 故答案为： 9 【点睛】 解决数列的单调性问题可用以下三种方法 用作差比较法，根据 的符号判断数列 是递增数列、递减数列或是常数列 . 10 用作商比较法，根据 与 1的大小关系及 符号进行判断 . 结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17. （ 1）解 不等式 ； （ 2）解关于 的不等式 . 【答案】 (1) ； （ 2）若 ，原不等式的解集为 ；若 ，原不等式的解集为 ；若 ，原不等式的解集为 . 【解析】 【分析】 （ 1）根据题意，圆不等式变形可得 0 2x+3 2，解可得 x的取值范围，即可得答案； （ 2）根据题意，求出方程 x2 ax=0的两个根，结合二次函数的性质讨论两个根的大小，分析可得答案 【详解】 （ 1） ，所以 ，
