1、第十七章第十七章 一元二次方程一元二次方程 教学内容教学内容一元二次方程一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)(x1、x2是它的两个根是它的两个根)一解法一解法 1直接开平方直接开平方 2配方法配方法 3公式法公式法 求根公式求根公式 x=4因式分解法因式分解法二判别式：二判别式：b2_4ac0 方程有两个不等实根方程有两个不等实根 b2_4ac=0 方程有两个相等实根方程有两个相等实根 b2_4ac0 方程没有实根方程没有实根aacbb242-三根与系数关系三根与系数关系 ax2+bx+c=0 (a0)(x1、x2是它的两个根是它的两个根)x1+x2=x1x2=(四四)可化为一元二次方
2、程的分式方程可化为一元二次方程的分式方程五二元二次方程组五二元二次方程组 1由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成 2由两个二元二次方程组成由两个二元二次方程组成ab-ac二、本章重点 1一元二次方程的解法 2可化为一元二次方程的分式方程的解法 3列方程解应用题三、本章难点 1配方法 2列方程解应用题 3分式方程的增根和验根问题四、本章的关键熟练掌握一元二次方程的解法，特别是公式法。一元二次方程应注意以下五个方面：应注意以下五个方面：通过通过化简化简后，后，只含有一个未知数只含有一个未知数，并且，并且未未知数的最高次数是知数的最高次数是2，系数不等于系
3、数不等于0的的整式方整式方程程叫一元二次方程。叫一元二次方程。解题规律：解题规律：1是否为一元二次方程应依据定义来判定；是否为一元二次方程应依据定义来判定；2“未知数的最高次数是未知数的最高次数是2是对化成一般是对化成一般 形式之后而言的。形式之后而言的。12003以下方程中，关于x的一元二次方程是 A 3(x+1)2=2(x+1)B C ax2+bx+c=0 D x2+2x=x2-10211=-+xx222002方程m+2xm+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为 注意：求字母系数的值或范围，要防止漏条件，尤其是隐含条件。3（2003）如果a是关于x的方程x2+bx+a=0的根
4、，并且a0,求 的值。（填序号）ab a+b a-b ab4。已知7x2+5y2=12xy,并且xy 0，求 的值。xy x+y x-yyx说明：说明：关于关于x的方程的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程的条件是一元二次方程的条件是是a0，反过来，反过来，“一元二次方程这个说法中那么包一元二次方程这个说法中那么包含含a0的条件。的条件。例方程例方程k-5(k-3)xk-2+(k-3)x+5=01k为何值时，此方程为一元一次方程？为何值时，此方程为一元一次方程？2k为何值时，此方程为一元二次方程为何值时，此方程为一元二次方程?直接开平方法：用直接开平方法求解的方程的特征是：方程的一边是一个含
5、有未知数的式的平方，另一边是一个大于或等于零的常数假设为负数，那么无实根，形式如方程ax+b2=c (c0)注意问题：注意问题：1方程的两边应同时开平方，如方程（x+2）2=3，两边同时开平方得x+2=,而不是得x+2=3的错误结果；32开平方后，方程的一边应有“号，即有相等或互为相反数的两种情况。配方法：设法将一元二次方程配成x+m2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。其理论依据是a22ab+b2=(ab)2，这里a2相当于x2，2ab相当于一次项，2b就相当于一次项系数，因此b2就是一次项系数一半的平方了。用配方法解一元二次方程的步骤：1把原方程化为ax2
6、+bx+c=0(a0)的形式；2方程两边同除以二次项系数，使二次项 系数为1，并把常数项移到方程右边；3方程两边同时加上一次项系数一半的平方；4方程左边写成完全平方式，右边化简为一 个常数；5用直接开平方法求解。注意问题注意问题 1方程两边同时加上一次项系数一半的方程两边同时加上一次项系数一半的平方的前提是二次项系数为平方的前提是二次项系数为1；2不要将完全平方公式用错，如不要将完全平方公式用错，如 而不是而不是 或或 22)81(64141+=+xxx2)81(-x2)21(+x 公式法：用公式法解一元二次方程的步骤：1把方程化成一般式，进而确定a、b、c的值注意符号；2求出b2-4ac的值
7、,假设b2-4ac0,方程 无实数根)；3在b2-4ac0的前提下，把a、b、c的 值代入公式进行计算，最后写出方程 的根。本卷须知：1确定a、b、c的值时，要注意符号，尤其是a、b、c值为负数时；03322=+-xx33（2）当b2-4ac=0时，方程有两个相等实根，不要认为只有一个实数根，如方程 其解应写成 x1=x2=，而不可写成x=3利用求根公式解一元二次方程时，要注意两个前提，a0 0例 解关于x的方程：(m+1)x2+2mx+(m-3)=0 说明：“关于 x的方程这个说法中，包含一元一次方程和一元二次方程两种情况。解题时应根据方程的形式对字母的取值加以讨论1m+1 02m+1 0=
8、b2-4ac=4(2m+3)0，m-23 因式分解法 对关于x的方程ax2+bx+c=0 (a0)，可化为(a1x+b1)(a2x+b2)=0的形式，求出方程的根x1=,x2=的方法，叫因式分解法。因式分解法的理论依据是：AB A=0 或 B=0 A、B为整式 用因式分解法的条件是：方程的左边易于分解，而右边等于零。11ab-22ab-因式分解的解题步骤是：1化方程式为一般形式；2将方程左边因式分解；3令每个因式分别得零，得到两个一元 一次方程；4解两个一元一次方程得原方程的解。因式分解法的关键是：熟练掌握多项式因式分解的方法。注意问题：1使用因式分解法的前提是方程一边等于0。当方程一边不为0
9、时，将导出错误的答案。如有同学解 x2+2x=8 时，分解左边得x(x+2)=8，于是得x1=2,x2=2 的错误答案。正确的做法是，先移项，再分解(x+4)(x-2)=0，从而得x1=-4,x2=2(2)解方程时，不能两边同时约去含有未知数的代数式。例如 解方程x-3(2x+1)=x-33 x+5 此题易犯的错误是约去方程两边的x-3,将方程变为:2x+1=3 x+5,因而得x=-2.这样就丢掉了x=3这个根.此题的正确解法是:x-3(2x+1)-x-33 x+5)=0 x-3(2x+1-3 x 5)=0 x-3(x+4=0 x1=3,x2=-41x1x1.(2x+3)(2x-3)=9 +4
10、x-8=03.3 -4x-4=04.2 -5x+1=02x2x2x小结：选择适当的方法解一元二次方程的关键是认真观察方程的特征。在特征不明朗时，要先整理方程。解题时切忌盲目下手。习题1解方程 (2x-1)2-3(2x-1)-4=02(a2+b2)2-(a2+b2)-6=0,求出a2+b2的值33x2-7xy-20y2=0 求证 x=4y 或 3x=-5y4.假设关于x的一元二次方程x2+mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组的实数值可以是m=,n=.注意问题：1如果说方程有实数根，即应当包括方程只有一个 实根和有两个不等实根或有两个相等实根三种 情况；2如果方程不是一般形式，要化为
11、一般形式，再确定a、b、c的值；3使用判别式的前提是方程为一元二次方程，即二次项系数a0；当二次项系数含字母时，解题时要加以考虑；一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式 判别式的应用 1不解方程就可以直接判定方程的根的情况；2方程根的情况，确定方程中未知系数或参数的 取值范围；3判别或证明一元二次方程的根的性质；4判别二次三项式ax2+bx+c(a0)能否在实数范围内分解 因式 (1)当0 时，二次三项式在实数范围内能分解因式；2当0 时，二次三项式在实数范围内不能分解因式。5和韦达定理结合，求方程中的参数和两根；6利用判别式判别三角形的形状 例：a、b、c为ABC三边，且方程a(1
12、-x2)+2bx+c(1+x2)=0有两个相等实根，试判定ABC的形状。7判别二次函数的图像与x轴的位置关系，确定解析式中参数的取值范围。1当0时，二次函数图像与x轴有两个交点 2当=0时，二次函数图像与x轴有一个交点 3当0时，二次函数图像与x轴有没有交点 8利用判别式，求有关的极值问题。证明代数式 的值不小于3-而不大于3+。545222+xxxx列方程解应用题的一般步骤：(1)(2)(3)(4)(5)分析题意，设未知数找出等量关系，列方程解方程看方程的解是否符合题意答数绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为
13、多少？解：设宽为x米，那么长为 x+10米依题意得：x(x10)900 整理得 x210 x9000155 37x=-255 37x=-+解得：1x2x所求的 ，都是所列方程的解吗？1x所求的，都符合题意吗？2x绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？15 5 37x=-255 37x=-+15 5 37x=-55 371055 37xx=-+=+例1如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的
14、边长。例题例1如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的边长。x解：设截去正方形的边长 厘米，则图中虚线部分长等于_厘米，宽等于_厘米60-240-2800 xx=依题意得：1210,40 xx=解得：240,1 ,.0 xx=不合题意 应舍去经检验答：截去正方形的边长为10厘米。60 2x-40-2x1、学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸.经试验，彩纸面积为相片面积的 时较美观，求镶上彩纸条的宽.精确到厘米 23练习 2、竖直上抛物体的高度h和时间t 符合关系式 ，其中重力加速度g以10米/计算.爆竹点燃后以初速度v020米/秒上升，问经过多少时间爆竹离地15米？2012hv tgt=-2秒课后习题 6、7作业
