1、14.3 因式分解14.3.1 提公因式法1 1了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系乘法的区别和联系 2 2理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式 3 3通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力新能力，深化学生逆向思维能力.整式的乘法整式的乘法计算下列各式计算下列各式:x(x+1)=x(x+1)=(x+1)(x(x+1)(x1)=1)=x x2 2+x+xx x2 21 1请把下列多
2、项式写成整式的乘积的形式请把下列多项式写成整式的乘积的形式:(1)x(1)x2 2+x=_;+x=_;(2)x(2)x2 21=_.1=_.x(x+1)x(x+1)(x+1)(x-1)(x+1)(x-1)上面我们把一个多项式化成了几个上面我们把一个多项式化成了几个整式整式的的积积的形式的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解因式分解,也叫做把也叫做把这个多项式这个多项式分解因式分解因式.整式的乘法与因式整式的乘法与因式分解有什么关系？分解有什么关系？x x2 2-1-1 因式分解因式分解整式乘法整式乘法(x+1)(x-1)(x+1)(x-1)因式分解与整
3、式乘法是方向相反的变形因式分解与整式乘法是方向相反的变形.由由p(a+b+c)=pa+pb+pcp(a+b+c)=pa+pb+pc可得可得:pa+pb+pc=p(a+b+c):pa+pb+pc=p(a+b+c)这样就把这样就把pa+pb+pcpa+pb+pc分解成两个因式乘积的形式分解成两个因式乘积的形式,其中一个其中一个因式是各项的公因式因式是各项的公因式p,p,另一个因式另一个因式(a+b+c)(a+b+c)是是pa+pb+pcpa+pb+pc除除以以 p p所得的商所得的商.一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式
4、写成公因式与另一个因式的乘积因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.它的各项都有一个公共的因式它的各项都有一个公共的因式p p,我们把因式我们把因式 p p 叫做叫做这个多项式各项的这个多项式各项的 _._.pa+pb+pcpa+pb+pc 公因式公因式【例例1 1】把把8a8a3 3b b2 2+12ab+12ab3 3c c 分解因式分解因式.分析：分析：找公因式找公因式 1.1.系数的最大公约数系数的最大公约数 4 42.2.找相同字母找相同字母 a a3.3.相同字母的最低指数相同字母的最低指数
5、 a a1 1b b2 2 公因式为：公因式为：4ab4ab2 2【解析解析】8a8a3 3b b2 2+12ab+12ab3 3c c =4ab=4ab2 2 2a2a2 2+4ab+4ab2 2 3bc3bc =4ab=4ab2 2(2a(2a2 2+3bc).+3bc).【例题例题】【解析解析】a a（x x3 3）+2b+2b（x x3 3）=(x=(x3)(a+2b).3)(a+2b).【例例2 2】把把a a（x x3 3）+2b+2b（x x3 3）分解因式）分解因式.分析：分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即这个多项式整体而言可分为两大项，即a(xa(x3)3)与与2b(x
6、2b(x3)3)，每项中都含有（，每项中都含有（x x3 3）,因此可以把因此可以把(x(x3)3)作为公因式提出来作为公因式提出来.把下列各式分解因式把下列各式分解因式:（x xy y）+b+b（y yx x）;分析：分析：虽然虽然a a（x xy)y)与与b(yb(yx)x)看上去没有公因式，但仔看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（细观察可以看出（x xy)y)与与(y(yx x）互为相反数，如果把）互为相反数，如果把其中一个提取一个其中一个提取一个“”号，则可以出现公因式，如号，则可以出现公因式，如：y yx=x=（x xy y）【解析解析】a a（x xy y）+b+b（y yx x
7、）=a=a（x xy y）b b（x xy y）=（x xy y）（）（a ab b）.【跟踪训练跟踪训练】【解析解析】6 6（m mn n）3 31212（n nm m）2 2 =6 =6（m mn n）3 31212（m mn n）2 2 =6 =6（m mn n）3 31212（m mn n）2 2 =6 =6（m mn n）2 2（m mn n2 2）.2.62.6（m mn n）3 31212（n nm m）2 21.1.填空填空请在下列各式等号右边的括号前填入请在下列各式等号右边的括号前填入“+”+”或或“”号，号，使等式成立使等式成立:（1 1）2 2a=_a=_（a a2 2）
8、;（2 2）y yx=_x=_（x xy y）;（3 3）b+a=_b+a=_（a+ba+b）;（4 4）（）（b ba a）2 2=_=_（a ab b）2 2;（5 5）m mn=_n=_（m+nm+n）;（6 6）s s2 2+t+t2 2=_=_（s s2 2t t2 2）.-+-2.2.（苏州（苏州中考）分解因式中考）分解因式 a a2 2a=a=【解析解析】a a2 2a=a(a-1).a=a(a-1).答案：答案：a(a-1)a(a-1)22a4a_.22 a4 a2 a(a 2)3.3.（盐城（盐城中考）因式分解中考）因式分解 【解析解析】用提公因式法因式分解：用提公因式法因式
9、分解：答案：答案：2a(a-2)2a(a-2)4.4.写出下列多项式各项的公因式写出下列多项式各项的公因式.（1 1）ma+mb ma+mb （2 2）4kx4kx8ky 8ky （3 3）5y5y3 3+20y+20y2 2 （4 4）a a2 2b b2ab2ab2 2+ab +ab m4k5y2ab5.5.把下列各式分解因式把下列各式分解因式（1 1）8x8x7272（2 2）a a2 2b b5ab5ab（3 3）4m4m3 36m6m2 2（4 4）a a2 2b b5ab+9b5ab+9b（5 5）a a2 2+ab+abacac=8=8（x x9 9）=ab=ab（a a5 5）
10、=2m=2m2 2（2m2m3 3）=b=b（a a2 25a+95a+9）=（a a2 2ab+acab+ac）=a a（a ab+cb+c）【解析解析】原式原式=（a+ba+bc)(ac)(ab+c)b+c)(b(ba+c)(aa+c)(ab+c)b+c)=（a ab+c)b+c)(a+b(a+bc)c)(b(ba+c)a+c)=（a ab+c)(a+bb+c)(a+bc cb+ab+ac c）=（a ab+c)(2ab+c)(2a2c2c）=2=2（a ab+c)(ab+c)(ac c）.6.6.把把(a+b(a+bc)(ac)(ab+c)+(bb+c)+(ba+c)(ba+c)(ba
11、ac)c)分解因式分解因式.1.1.一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.提公因式法提公因式法2.2.分解因式的方法：分解因式的方法：注意符号变化注意符号变化 通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：海阔凭鱼跃，天高任鸟飞海阔凭鱼跃，天高任鸟飞.轴对称轴对称引言引言对称现象无处不在，从自然景观到艺术作对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品
12、，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！引出新知引出新知探索新知探索新知问题问题1如图，把一张纸对折，剪出一个图案（折如图，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到了痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花观察得到的窗花，你能发现它们有什么共美丽的窗花观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？同的特点吗？追问追问你能举出一些轴对称图形的例子吗？你能举出一些轴对称图形的例子吗？探索新知探索新知如果一个平面
13、图形沿一条直线折叠，直线两旁的部如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直 线就是它的对称轴这时，我们也说这个图形关于这条线就是它的对称轴这时，我们也说这个图形关于这条 直线（成轴）对称直线（成轴）对称共同特征：共同特征：每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合的图形重合 探索新知探索新知问题问题2观察下面每对图形（如图），你能类比前观察下面每对图形（如图），你能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？面的内容概括出它们的共同特征吗？追问追问
14、1你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？探索新知探索新知把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点应点，叫做对称点 两者的区别：两者的区别：轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两形的两部分能完全重合，而两个
15、图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合够重合探索新知探索新知追问追问2你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个 图形成轴对称有什么区别与联系吗图形成轴对称有什么区别与联系吗？两者的联系：两者的联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图轴对称图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称形，这两个图形关于这条轴对称 探索新知探索新知追问追问2你能结合具体的图形说明
16、轴对称图形和两个你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个 图形成轴对称有什么区别与联系吗图形成轴对称有什么区别与联系吗？追问追问1你能说明其中你能说明其中的道理吗？的道理吗？探索新知探索新知问题问题3如图，如图，ABC 和和ABC关于直线关于直线MN 对称，点对称，点A,B,C分别是点分别是点A，B，C 的对称点，线的对称点，线 段段AA，BB，CC与直线与直线MN 有什么关系？有什么关系？ABCMNPABC探索新知探索新知追问追问2上面的问题说明上面的问题说明“如果如果ABC 和和ABC关于直线关于直线MN 对称，那么，直线对称，那么，直线MN 垂直垂直线段线段AA，BB和和CC，并且直线，并
17、且直线MN 还平分线段还平分线段AA，BB和和CC”如如果将其中的果将其中的“三角形三角形”改为改为“四边形四边形”“”“五边形五边形”其其他条件不变，上述结论还成他条件不变，上述结论还成立吗？立吗？ABCMNPABC经过线段中点并且垂直经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线条线段的垂直平分线 探索新知探索新知问题问题3如图，如图，ABC 和和ABC关于直线关于直线MN 对称，点对称，点A,B,C分别是点分别是点A，B，C 的对称点，线的对称点，线段段AA，BB，CC与直线与直线MN 有什么关系？有什么关系？ABCMNPABC探索新知探索新知追问
18、追问3你能用数学语言概括前面的结论吗？你能用数学语言概括前面的结论吗？成轴对称的两个图形的性质：成轴对称的两个图形的性质：如果两个图形关于某条如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂何一对对应点所连线段的垂直平分线即对称点所连线直平分线即对称点所连线段被对称轴垂直平分；对称段被对称轴垂直平分；对称轴垂直平分对称点所连线段轴垂直平分对称点所连线段 ABCMNPABC结论：结论：直线直线l 垂直线段垂直线段AA，BB，直线直线l平分线段平分线段AA，BB（或直（或直线线l 是线段是线段AA，BB的垂直平分的垂直平分线）线）探索新知探索新知问题问题
19、4下图是一个轴对称图形，你能发现什么结下图是一个轴对称图形，你能发现什么结 论？能说明理由吗？论？能说明理由吗？ABlAB追问你能用数学语言概括前面追问你能用数学语言概括前面的结论吗？的结论吗？探索新知探索新知问题问题4下图是一个轴对称图形，你能发现什么结下图是一个轴对称图形，你能发现什么结论？能说明理由吗？论？能说明理由吗？ABlAB轴对称图形的性质：轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线一对对应点所连线段的垂直平分线 探索新知探索新知问题问题4下图是一个轴对称图形，你能发现什么结下图是一个轴对称图形，你能发现什么结 论？能说明理
20、由吗？论？能说明理由吗？ABlAB课堂练习课堂练习练习练习1 1如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴果是，指出它的对称轴 课堂练习课堂练习练习练习2如图所示的每幅图形中的两个图案是轴对称如图所示的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点称点 （1）本节课学习了哪些主要内容？）本节课学习了哪些主要内容？（2）轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系是）轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系是 什么？什么？（3）成轴对称的两个图形有什么性质？轴对称图形有）成轴对称的两个图形有什么性质？轴对称图形有 什么性质？我们是怎么探究这些性质的？什么性质？我们是怎么探究这些性质的？课堂小结课堂小结教科书习题教科书习题13.1第第1、2、3、4、5题题 布置作业布置作业
