1、 - 1 - 下学期高一数学期中模拟试题 04 一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1 在等差数列 na 中， 12?a ， 54?a 则 na 的前 5项和 5S =（ ） A.7 B.15 C.20 D.25 2 若 sin 2 sin cosA B C? , 那么 ABC是 （ ） A直角三角形 B等边三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 3若 ba? ,则不等式成立的是 （ ） A cbca ? B ba 11? C 0?ab D 1?ba 4若 2 a b c y a x b x c? ? ?、 、 成
2、 等 比 数 列 ， 则 函 数 的 图 象 与 x 轴 的 交 点 个 数 为（ ） A 0 B 1 C 2 D不能确定 5. 若 13)( 2 ? xxxf ， 12)( 2 ? xxxg ，则 )(xf 与 )(xg 的大小关系为 （ ） A )()( xgxf ? B )()( xgxf ? C )()( xgxf ? D随 x值变化而变化 6设数列 na 满足： 12 ( )nna a n ?N,且前 n 项和为 nS ，则 42Sa 的值为（ ） A. 152B.415C. 4 D. 2 7 已知等差数列 ?na 的公差为 2 ，项数是偶数，所有奇数项之和为 15，所有偶数项之和为
3、 35 ，则这个数列的项数 为（ ） A 19 B 20 C 21 D 22 8右图给出了一个“三角形数阵”。已知每一列数成等差数列， 从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等， 记第 i 行第 j 列的数为 ija （ *i j N?、 ），则 53a 的值为 （ ） A 116 B 18 C 516 D 54 9下列哪个函数的最小值为 3（ ） A 1 , ( 0)y x xx? ? ? B 22log ( 16)yx? - 2 - C 22+3+2xy x? D 1 ( 1)1y x xx? ? ? 10 已知 数列 ?na 的前 n项和 2 1,nnS ?则 ?na （
4、） A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或是等差数列 ,或是等比数列 D.既不是等差数列 ,也不是等比数列 11一个等比数列前 11项和为 10，前 33项和为 70.则前 22 项和为（ ） A.30 B.410 C.30或 410 D. 30或 20 12 已知等差数列 ?na 的前 n 项和为 55, 5, 15nS a S?,则数列11nnaa?的前 100 项和为( ) A.100101B.99101C.99100D.101100 二、填空题： 本大题共 4小题，每小题 5分，满分 20分 13 若 ),( yxOA? ，其中 实数 yx, 满足不等式组 1 102 2 0x
5、xyxy? ? ? ? ?，则 2OA 的最小值是 . 14已知数列 21 ( 2 , )n n n na a a a n n N? ? ? ?满 足 ，且 122, 3aa?，则 ?2013a _. 15.在 ABC? 中， sin ,sin ,sinA B C依次成等 比 数列，则 B 的取值范围是 . 16 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数 1， 5， 12， 22，?，被称为五角形数，其中第 1个五角形数记作 1 1a? ，第 2个五角形数记作 2 5a? ，
6、第 3个五角形数记作 3 12a? ，第 4个五角形数记作 4 22a? ，?，若按此规律继续下去，则 5a? ， ?na 三、解答题： 本大题共 6小题，满分 70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17 (本小题满分 10分 ) 已知数列 na 为递增的等比数列，其中 2=9, a 13+ =30aa 。 （ 1）求数列 na 的通项公式； 5 12 1 22 - 3 - （ 2）若 21nnba?，求数列 nb 的前 n 项和 nS 18 （本小题满分 12分） 已知函数 xxxf s in)c o s1(3)( ? ，在 ABC? 中， 3)(,3 ? CfAB ，且 ABC?的
7、面积为 32 ， （ 1）求 C 的值；（ 2）求 sin sinAB? 的值 . 19 (本小题满分 12分 ) 已知等差数列 na 各项都不相同，前 3项和为 18，且 1a 、 3a 、 7a 成等比数列 （ 1）求数列 na 的通项公式； (2) 若数列 *11 ( ) , 2 ,n n n nb b b a n N b? ? ? ? ? 满 足 且求数列 1nn nTb 的 前 项 和。 20. (本小题满分 12分） 若 关于 x 的一元 二次不等式 2 0ax bx c? ? ? 的解集为 1|3xx?或 12x?，求关于 x 的不等式2 0cx bx a? ? ? 的解集 .
8、21.(本小题满分 12分） 如图， A， B是海面上位于东西方向相距 ? ?5 3 3? 海里的两个观测点，现位于 A点北偏东 45 ， B 点北偏西 60 的 D点有一艘轮船发出求救信号，位于 B点南偏西 60 且与 B点相距 203 海里的 C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为 30 海里 /小时，该救援船到达 D点需要多长时间？ - 4 - 22（本小题满分 12分） 已知数列 ?na 是各项均不为 0 的等差数列，公差为 d ， nS 为其前 n 项和，且满足2 21nnaS? ， n *N? 数列 ?nb 满足11nnnb aa? ?， nT 为数列 ?nb 的前 n 项和 （
9、 1）求 1a 、 d 和 nT ； （ 2）若对任意的 n *N? ，不等式 8 ( 1)nnTn? ? ? ? ?恒成立，求实数 ? 的取值范围； （ 3）是否存在正整数 ,mn(1 )mn? ，使得 1,mnT T T 成等比数列？若存在，求出所有 ,mn的值；若不存在，请说明理由 参考答案 1-5 BCCAA 6-10 ABCD B 11-12 DA 13 5 14 23 15 (0, 3? 16 35 ， 23 2 nn ? 17.（ 1）设等比数列的公比为 q 又由已知 2=9, a 13+ =30aa 可得 9 9 30qq?，解 得 13 3qq?或 由已知，数列为递增数列，所
10、以可知 3q? 即 222 9 3 3n n nna a q ? ? ? ? （ 2） 21nnba? 所以 12121( 2 3 1 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 1 ) 72 ( 3 3 3 ) 93 ( 1 3 )21333nnnnnSnnn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 分 分即数列 nb 的前 n 项和 nS 为 133n n? ? 18解： （ 1） ?)(xf 3 (1 cos ) sinxx?= 2 cos 36x ?- 5 - 由 3)( ?Cf ，得 33)6c o s (2 ? ?C ，得， 0)6cos(2 ? ?C ? ?
11、0,C ? ， )67,6(6 ? ?C 26 ? ?C 3?C （ 2）由（ 1）知 3?C ，又 1 sin2ABCS ab C? 3sin2123 ?ab? 2?ab 由余弦定理得 23c o s23 2222 ? baabba ? 522 ?ba 3?ba 由正弦定理得 s in s in s in 12A B Ca b c? ? ? 12分 23)(21s ins in ? baBA 19.（ 1）依题意 1 2 3 2 21 8 , 3 1 8 , 6a a a a a? ? ? ? ?即 解 得 设公差为 0dd?， 则 可 知 由已知可得 223 1 7 , 6 + ) ( 6
12、 ) ( 6 5 )a a a d d d? ? ? ?即 （ 解得 2d? 2 ( 2 ) 2 ( + 1na a n d n? ? ? ? ） （ 2）由已知 1n n nb b a? ? 1122n n nn b b a n? ? ? 当 时 ， 所以可知 122112 ( 1 )22212 ( 1 2 ) ( 1 )nnnb nbbbn n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?将 以 上 各 式 累 加 起 来 ， 得 b又 1 ( 1)nb b n n?也 满 足 所以可知当 * ( 1)nn N b n n? ? ?， 1 1 1 1( 1) 1nb n n n n? ?
13、?所以 1 1 1 1 11 2 2 3 1 1n nT n n n? ? ? ? ? ? ? ?- 6 - 20.解： 由题意知001 1 5 03 2 61 1 1 03 2 6aab baac caa? ? ? ? ? ? ? ? ? ?代入不等式 2 0cx bx a? ? ? 中得 2 2 21 5 1 50 ( 0 ) 1 0 5 6 06 6 6 6a x a x a a x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即 化 得 所求不等式的解集为 ? ?| 3 2xx? ? ? 21.解 :由题意知 AB 5(3 3)(海里 )， DBA 90 60 30 ， DAB 9
14、0 45 45 ， ADB 180 (45 30) 105. 在 DAB中，由正弦定理得 DBsin DAB ABsin ADB， DB ABsin DABsin ADB 3sin105 3sin45cos60 cos45sin60 5 3 33 12 10 3(海里 )， 又 DBC DBA ABC 30 30 60 ， BC 20 3 海里， 在 DBC中，由余弦定理得 CD2 BD2 BC2 2BD BCcos DBC 3000 1 200 210 320 3 12 900， CD 30(海里 )，则需要的时间 t 3030 1(小时 ) 该救援船到达 D点需要 1小时 22解：（ 1）
15、在 2 21nnaS? 中，令 1?n ， 2?n ，得?,322121 Sa Sa 即 ? ? ,33)( ,121121 dada aa 解得 11?a ， 2?d ， 21nan? ? ? 11 1 1 1 1()( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2 1 2 1nnnb a a n n n n? ? ? ? ? ? ?， 1 1 1 1 1 1( 1 )2 3 3 5 2 1 2 1 2 1n nT n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 2）当 n 为偶数时，要使 不等式 8 ( 1)nnTn? ? ? ? ?恒成立，即需不等式( 8 ) ( 2 1 ) 82 1
16、7nn nnn? ? ? ? ?恒成立 函数 1782 ? xxy 在 2,0( 递减，在 ),2 ? 递增 当 2n? 时， 1782 ?nn 取得最小值 25 ?此时 ? 需满足 25? 分 当 n 为奇数时，要使不等式 8 ( 1)nnTn? ? ? ? ?恒成立，即需不等式- 7 - ( 8 ) ( 2 1 ) 82 1 5nn nnn? ? ? ? ?恒成立 82n n? 是随 n 的增大而增大， 1n?时 82n n? 取得最小值 6? ?此时 ? 需满足 21? 综合、可得 ? 的取值范围是 21? （ 3）1 1 ,3 2 1 2 1mnmnT T T? ? ?， 若 1,mnT T T 成等比数列，则 2 1( ) ( )2 1 3 2 1mn?，即 224 4 1 6 3mnm m n? ? ? 又 m?N ，且 1m? ，所以 2m? ，此时 12n? 因此，当且仅当 2m? ， 12n? 时，数列 ?nT 中的 1,mnT T T 成等比数列 -温馨提示： - 【 精品教案、课件、试题、素材、教学计划 】 可 到 百度 搜索“ 163 文库 ”，到网站下载！ 或直接访问： 【 163 文库】： 1， 上传
