1、 - 1 - 北京四中 2017-2018 学年下学期高一年级期中考试数学试卷 试卷分为两卷，卷（） 100 分，卷（） 50 分，共计 150 分 考试时间： 120 分钟 卷（） 一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 1. 某影院有 40 排，每排 46 个座位，一次新片发布会坐满了记者，会后留下了每排 20 号的记者进行座谈，这样的抽样方法是 A. 抽签法 B. 随机数表法 C. 系统抽样法 D. 分层抽样法 2. 下列命题中，正确命题的个数是 有三个公共点的两个平面重合 梯形的四个顶点在同一平面内 三条互相平行的直线必共面 四条线段顺次首尾相接，构成平面图
2、形 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A. 41 B. 8? C. 21 D. 4? 4. ABC 中，若 B 45， 22,334 ? cb ，则 A A. 15 B. 75 C. 75或 105 D. 15或 75 5. 甲、乙两人掷骰子，若甲掷出的点数记为 a，乙掷出的点数记为 b，则 a b 1 的概率为 A. 94 B. 187 C. 92 D. 91 6. 若 a， b 是异面直线，则与 a， b 都平行的
3、平面 A. 不存在 B. 有无穷多个 C. 有且仅有一个 D. 不一定存在 7. ABC 中，若 ABC 4? ， 3,2 ? BCAB ，则 sin BAC - 2 - A. 1010 B. 510 C. 10103 D. 55 8. 有 5 个大小相同的球，上 面分别标有 1， 2， 3， 4， 5，现任取两个球，两个球序号相邻的概率是 A. 52 B. 53 C. 54 D. 103 9. 某学校随机抽查了本校 20 个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（单位：分钟），根据所得数据的茎叶图，以 5 为组距将数据分为 8 组，分别是 0， 5）， 5， 10），?， 35， 4
4、0，作出频率分布直方图如图所示，则 原始的茎叶图可能是 10. 台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动，离台风中心 30 千米内的地区为危险区，城市 B 在 A 的正东 40 千米处， B 城市处于危险区内的时间为 A. 0.5 小时 B. 1 小时 C. 1.5 小时 D. 2 小时 二、填空题：（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11. 某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有 40 种、 10种、 30 种、 20 种，现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测。若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植 物油类与果蔬
5、类食品种数之和是 _。 12. 甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次，三人的测试成绩如下表， s1、s2、 s3 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则 s1、 s2、 s3 的大小关系是_。 甲的成绩 乙的成绩 丙的成绩 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 - 3 - 频数 5 5 5 5 频数 6 4 4 6 频数 4 6 6 4 13 ABC 中，若 )sin1(2, 22 Abacb ? ，则 A _。 14. 集合 6,5,4,3,2,1,46| ? nnyyA ，集合 6,5,4,3,2,1,2| 1 ? ? nyy
6、B n ，若任意 A B 中的元素 a，则 ?a A B 的概率是 _。 15. ABC 的三边长分别为 4、 5、 6，若将三边都减少 x 后构成一个钝角三角形，则实数 x的取值范围是 _。 16. 下列四个命题： 样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度； 基本事件空间是 1， 2， 3， 4， 5， 6，若事件 A 1， 3， B 3， 5， 6， A， B为互斥事件，但不是对立事件； 某校高三（ 1）班和高三（ 2）班的人数分别是 m， n，若一模考试数学平均分分别是 a，b，则这两个班的数学平均分为 nmbmna? ； 如果平面外的一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，那
7、么这条直线与这个平面的位置关系为平行或相交。 其中真命题的序号是 _。 三、解答题（本大题共 3 小题，共 26 分） 17. （本小题满分 6 分） 已知：正方体 ABCD A1B1C1D1，如图， （）若 E、 F 为 AA1、 CC1的中点，画出过 D1、 E、 F 的截面； （）若 M、 N、 P 为 A1B1、 BB1、 B1C1上的点（均不与 B1 重合），求证： MNP 是锐角三角形。 18. （本小题满分 10 分） 手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之- 4 - 间所能维持的时间称为手机的待机时间。 为了解 A， B 两个不同型号手机的
8、待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取 A， B 两个型号的手机各 5 台，在相同条件下进行测试，统计结果如下： 手机编号 1 2 3 4 5 A 型待机时间（ h） 120 125 122 124 124 B 型待机时间（ h） 118 123 127 120 a 已知 A， B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等。 （）求 a 的值； （）求 A 型号被测试手机待机时间方差和标准差的大小； （）从被测试的手机中随机抽取 A， B 型号手机各 1 台，求至少有 1 台的待机时间超过122 小时的概率。 （注： n 个数据 , 21xx ? nx, 的方差 ? 22212 )()(1 xx
9、xxns? )( 2xxn ? ，其中x 为 数据 , 21xx ? nx, 的平均数） 19. （本小题满分 10 分） 已知： ABC 中，三边 cba, 的对角为 A， B， C，且 b caBC ? 3coscos ， （）求 Bsin 的值； （）若 24?b ，且 ca? ，求 ABC 的面积。 卷（） 一、选择题：（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 1. ABC 中，给出以下条件，有唯一解的是 A. 5,4 ? ba ， A 30 B. 4,5 ? ba ， A 60 C. 2,3 ? ba ， B 120 D. 6,3 ? ba ， A 60 2. 同时投掷两
10、枚骰子，计算向上的点数之和，则以下各数出现概率最大的是 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 某科研小组有 20 个不同的科研项目，每 年至少完成一项。有下列两种完成所有科研项目的计划： A 计划：第一年完成 5 项，从第一年开始，每年完成的项目不得少于次年，直到全部完成为止； - 5 - B 计划：第一年完成项数不限，从第一年开始，每年完成的项目不得少于次年，恰好 5 年完成所有项目。 那么，按照 A 计划和 B 计划所安排的科研项目不同完成顺序的方案数量 A. 按照 A 计划完成的方案数量多 B. 按照 B 计划完成的方案数量多 C. 按照两个计划完成的方案数量一样多 D. 无法判
11、断哪一种计划的方案数量多 二、填空题：（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 4. 变量 X 与 Y 相对应的 5 组数据和变量 U 与 V 相对应的 5 组数据统计如下表： X 10 11.3 11.8 12.5 13 U 10 11.3 11.8 12.5 13 Y 1 2 3 4 5 V 5 4 3 2 1 用 b1表示变量 Y 与 X 之间的回归系数， b2表示变量 V 与 U 之间的回归系数，则 b1与 b2的大小关系是 _。 5. 从 n 个正整数 1， 2，?， n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于 5 的概率为 141 ，则 n _。 6. 已知 *N
12、n? ，则以 3， 5， n 为边长的钝角三角形的个数是 _。 三、解答题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分） 7. 某人隔河看到两目标 A 与 B，但都不能到达，该人在此岸选取相距 3 公里的 C， D 两点，测得 ACB 75， BCD 45， ADC 30， ADB 45，如果 A， B， C， D 共面，求 A与 B 的距离。 8. 袋中有 a 个黑球和 b 个白球，随机地每次从中取出一球，每次取后不放回，记事件 A 为“直到第 k 次才取到黑球”， 其中 1 k b；事件 B 为“第 7 次取出的球恰好是黑球”，其中 1 k b。 （）若 a 5， b 3， k 2
13、，求事件 A 发生的概率； （）判断事件 B 发生的概率是否随 k 取值的变化而变化？并说明理由； - 6 - （）比较 a 5， b 9 时事件 A 发生的概率与 a 5， b 10 时事件 A 发生的概率的大小，并说明理由。 - 7 - 【试题答案】 卷（） 1-10 C B B D A B C A B B 11. 6； 12. 312 sss ? ； 13. 4? ； 14. 31 ； 15. （ 1， 3）； 16. 17.（） 3 分） （）证明： 设 cPBbNBaMB ? 111 , ， 则 222222222 , acMPcbNPbaMN ? ， 则 MNP 中， 02 22c
14、 o s 2222 ? ? MNMP bMNMP NPMNMPM 同理可得 cosN 0， cosP 0， 则 M、 N、 P 均为锐角，即 MNP 是锐角三角形。 6 分 18. 解：（） )(1235 44250120 hxA ?， 1 分 - 8 - 5 )120(0732120 ? ax B ， 2 分 由 BA xx ? ，解得 127?a 。 3 分 （）设 A 型号被测试手机的待机时间的方差为 2As ， 则 ? 22212 )()(1 AAA xxxxns? )( 2An xx ? 516)123124()123124()123122()123125()123120(51 22
15、222 ? 标准差 554?As 6 分 （）设 A 型号手机为 A1， A2， A3， A4， A5； B 型号手机为 B1， B2， B3， B4， B5，从被测试的手机中随机抽取 A， B 型号手机各 1 台，不同的抽取方法有 25 种 . 7 分 事件 C：“至少有 1 台的待机时间超过 122 小时” 事件 C ：“抽取的两台手机待机时间都不超过 122 小时”的选法有：（ A1， B1），（ A1， B4），（ A3， B1），（ A3， B4），共 4 种 . 8 分 因此 254)( ?CP ，所以 2521)(1)( ? CPCP 。 10 分 19. 解：（ 1）由正弦定理
16、及 b caBC ? 3coscos ，有 B CABC sin sinsin3coscos ? ， 即 BCBACB c o ssi nc o ssi n3c o ssi n ? ，所以 BACB co ssin3)sin ( ? ， 又因为 ACBCBA s in)s in (, ? ? ，所以 BAA cosin3sin ? ， 因为 0sin ?A ，所以 31cos ?B ，又 ?B0 ，所以 3 22co s1s in 2 ? BB 。 6 分 （ 2）在 ABC 中，由余弦定理可得 323222 ? acca ，又 ca? ， 所以有 3234 2 ?a ，即 242?a ，所以 ABC 的面积为 28sin21 ? BacS 。 10 分 卷（） 1. B 2. C
